大学物理：第14章光的衍射

第14章光的衍射11.光的衍射现象波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进;并出现光强不均匀分布的现象。这种偏离直线传播的现象称为衍射现象。§14.1光的衍射现象2*S衍射屏观察屏a

10-3a*S衍射屏观察屏LL2.惠更斯——菲涅耳原理波传到的任何一点都是子波的波源，··pdE(p)rQdSS(波前)设初相为零n各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。3P处波的强度取决于波前上Q点处的强度K():方向因子4例.根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S，则S的前方某点P的光强度决定于波阵面S上所在面积元发出的子波各自传到P点的（A）振动振幅之和；（B）光强之和；（C）振动振幅之和的平方；（D）振动的相干叠加。[D]5光源障碍物接收屏光源障碍物接收屏*衍射的分类菲涅耳衍射夫琅和费衍射光源—障碍物—接收屏(或两者之一)距离为有限远。光源—障碍物—接收屏距离为无限远。光的衍射单缝衍射光栅衍射6对衍射角，两边缘光线A、B的光程差是fopAaB*SC当衍射角

=0时，=BC=asin所有光线相互加强，形成中央明纹。设平行单色光垂直入射。§14.2单缝的夫琅和费衍射7菲涅耳半波带法2

两个相邻波带所发出的光线会聚于屏幕上时全部相干相消。

如果单缝被分成偶数个波带，相邻波带成对相干相消，屏幕上对应点出现暗纹。如果单缝被分成奇数个波带，相邻波带相干相消的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏幕上对应点出现亮纹。

单缝相应就被分成若干等宽的窄带菲涅耳半波带。22ABaC作一系列相距/2且垂直于BC的平面,••••••8

单缝衍射明暗纹的中心位置是:暗纹(k=1,2,3,…)亮纹(k=1,2,3,…)

零级(中央)亮纹直线条纹波带数注意：1.k=1...2.明暗相反3....4.波带数fopAaB*SC9

中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的2倍)。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于k越大,分成的波带数越多,而未被抵消的波带面积越小的缘故。1.光强分布

sin相对光强曲线1.0oaa2a2a102.中央亮纹宽度

中央亮纹范围：中央两旁两个第一级暗纹间的区域，即

-<asin<(很小,有sin)

中央亮纹半角宽度：

中央亮纹的线宽度：x单缝透镜观测屏fa——衍射反比定律11(2).其他明纹(次极大)４).波长对条纹宽度的影响

５).缝宽变化对条纹的影响波长越长，条纹宽度越宽缝宽越小，条纹宽度越宽当时屏幕是一片亮I0sin12条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹由紫红。该衍射图样称为衍射光谱。几何光学是波动光学在时的极限情况。当或时会出现明显的衍射现象。当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。结论发生衍射现象。13

书p200

*14.2.3单缝衍射光强度的推导----P201不要求

P202例14.2.1,例14.2.2要要求

14解由单缝的暗纹条件：

k=1,

=30°,得：a=2。

(半)波带数=(半)波带数=2一般计算波带数的方法是：2k=2。

例题14-1

波长的单色光垂直照射单缝，第一级暗纹衍射角为30°，求狭缝的缝宽及对应此衍射角狭缝的波阵面可分为几个半波带。15

解明纹:很小sin在可见光波波长范围，取

k=3，=6000Å,相应单缝被划分为7个半波带；

k=4，=4667Å,相应单缝被划分为9个半波带。opfx

例题14-3

单缝宽a=0.6mm，透镜焦距

f=40cm。平行光垂直照射,距中心o点x=1.4mm的P点处恰为一明纹中心,求入射光的波长及对应P点单缝被划分为几个半波带。16§14.3光栅衍射

a—透光缝宽度；

b—不透光部分宽度；

d=(a+b)—光栅常数。光栅分为透射光栅反射光栅1.光栅abfoEp

大量等宽、等间距的平行狭缝的集合—光栅。实用的光栅每厘米有成千上万条狭缝。17设平行光线垂直入射。平面透射光栅abfoEp

对于缝间干涉，两相邻狭缝光线：d=k

,主极大(亮纹)(

k=0,±1,±2,…)

dsin

上式称为光栅方程。每条狭缝有衍射,缝间光线还有干涉,可以证明:屏上合成光强

=单缝衍射光强×缝间干涉光强182.光栅衍射1.)多光束干涉oP焦距

f缝平面G观察屏透镜L

dsindk=0,1,2,3…光栅方程设每个缝发的光在对应衍射角方向的P点的光振动的振幅为EpP点为主极大时NEpEp明纹(主极大)条件：19暗纹条件：又由(1),(2)得暗纹间距=相邻主极大间有N－1个暗纹和N－2个次极大。20如N=4,有三个极小1234

/241

1234

3

/20/d-(/d)-2(/d)2/dII0sinN=4光强曲线/4d-(/4d)21在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻主极大之间有(N-2)个次极大。当N很大时，在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。

N=2N=6光栅衍射的光强分布具有下述特点:亮纹明亮又细锐，中间隔着较宽的暗区(即在黑暗的背景上显现明亮细窄的谱线。下面的分析可以看出：这些谱线的亮度不象多光束干涉那样是等亮度的而是受到单缝衍射因子的调制。。22*光栅衍射图样##单缝的夫琅和费衍射图样与缝在垂直与透镜L的光轴方向上的位置无关。衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。OaOa换句话说，单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化。23##多缝干涉若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。各狭缝上的子波波源一一对应，且满足相干条件。相邻狭缝对应点在衍射角方向上的光程差满足：FG=(a+b)sin

=k

多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹AabPOfEFGk=0,±1,±2,±3···则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多，条纹就越明亮。24###光栅衍射光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来自各单缝对应的子波彼此相干叠加而形成。因此，它是单缝衍射和多缝干涉的总效果。sinIsinI多缝干涉单缝衍射25*光栅衍射图样的几点讨论#主极大明条纹中心位置：(a+b)sin

=k

k=0,±1,±2,±3···a·sin

=k'

k'=±1,±2,···#缺极时衍射角同时满足：(a+b)·sin

=k

k=0,±1,±2,···即：k

就是所缺的级次26sin0I单I0单-2-112(/a)单缝衍射光强曲线IN2I0单048-4-8sin(/d)单缝衍射轮廓线光栅衍射光强曲线sinN2sin2N/sin204-8-48(/d)多光束干涉光强曲线27

14-4

波长=6000Å的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主级大的衍射角为30o且第三级是缺级，1)光栅常数等于多少；2)透光缝可能的最小宽度a

等于多少；3)选定了上述d和a

后，求在屏幕上可能呈现的主级大的级次。2）由光栅公式知第三级主级大的衍射角

关系式：由于第三级缺级，对应于最小可能的a，

的方向应是单缝衍射第一级暗纹的方向，即比较两式得：1）由光栅衍射，主极大公式：解：283)由因为第3级缺级，所以实际呈现得等各级主级大。P203~2061.光栅光强分布2.衍射条纹的位置分布（不要求）29k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3

例：(1)a=b,d=a+b=2a,则k=2k=2,4,6,…级缺。

(2)b=2a,d=a+b=3a,则k=3k=3,6,9,…级缺。3.光栅光谱如果用白光照射光栅,

dsin=k,亮纹(k=0,±1,±2,…)

则同一级谱线中，不同波长的谱线(除中央零级外)由中央向外波长由短到长的次序分开排列，形成颜色的光带—光栅光谱。这就是光栅的色散特性。30光谱级的重叠k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3

如果不同的波长1

，2同时满足：

dsin=k11=k22

1

的k1级和2的k2级发生了重叠。

在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重叠。级次愈高，重叠愈复杂。如：dsin=3×4000Å=2×6000Å4.光栅光谱,光栅的色散本领、分辨本领(不要求)P206----P209不要求31

解(1)dsin1=k,dsin2=(k+1)=10=6×10-6m(2)因第4级缺级，由缺级公式：=4，取k=1(因要a最小)求得：a=d/4=1.5×-6m

例题14-5

=6000Å的平行光垂直照射光栅,发现两相邻的主极大分别出现在sin1=0.2和sin2=0.3处，而第4级缺级。求：

(1)光栅常数d=？

(2)最小缝宽a=？

(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。32

dsin

=k

最大k对应

=90°，于是

kmax=d/=10

缺级：

d=6×10-6ma=1.5×10-6m

屏上实际呈现:0，±1，±2，±3，±5，±6，±7，±9共8级，15条亮纹(±10在无穷远处，看不见)。

(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数:abfoEp33=0.048m

(2)d=10-2/200=510-5m

共有3个主极大：k=0,1。dsin

=k,

k=0,1,2,…

asin

=缺级：k=2解

(1)由中央明纹宽度公式

例题14-6一光栅每厘米有200条狭缝，透光缝宽a=2.5×10-5m,透镜焦距f=1m,波长=6000Å的光垂直入射。求：(1)单缝衍射的中央明纹宽度x=？

(2)在此中央明纹宽度内共有几个主极大？344.光线斜入射时的光栅方程i和的符号规定:n

>0i<0入射光衍射光(法线)光栅（+）（-）k确定时，调节i，则相应改变。dsin光栅观察屏LoPfidsiniλ35相对光强曲线I圆孔直径D1.小圆孔的夫琅和费衍射爱里斑的半角宽度：爱里斑(P210—212）§

14.4圆孔衍射和光学仪器的分辨本领362.光学成像仪器的分辨率几何光学：一个点通过透镜成像于一点。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。..不能分辨1.00.8..恰能分辨

瑞利判据:

若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这两个点光源恰能被分辨。37S1S2透镜L透镜直径D

光学仪器的最小分辨角—两光点对透镜中心所张的角(即为爱里斑的半角宽度):分辨率为

对望远镜，不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获1986年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01Å，能观察到单个原子的运动图像。38例14-8设有一单色平面波斜射到宽度为b的单缝上[图（a）]，求各级暗纹的衍射角。解：如图（b）所示，作AC垂直入射波波线，BD垂直衍射波波线，为斜射角，为衍射角。则由图可得光线1与2的光程差为aq(a)(b)qaa12CADB39b(sin-sin)=k,k=1,2,……得AD-BC=bsin

-bsin

由暗纹的条件40例9用每毫米刻有500条栅纹的光栅，观察钠光谱线nm问（1）平行光线垂直入射时；（2）平行光线以入射角入射时，最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？

解:

（1）根据光栅方程得按题意知，光栅常数为k的可能最大值相应于可见41k只能取整数，故取k=3,即垂直入射时能看到第三级条纹。（2）如平行光以角入射时，由光程差的计算公式，光程差为:斜入射时的光栅方程为:代入数值得可以看到:-3,-2,-1,0,1,2,3共7条明纹42而在O点下方观察到的最大级次为k2，取得所以斜入射时，总共有条明纹。同样，k的可能最大值相应于在O点上方观察到的最大级次为k1，取得43第k级亮纹在屏上的位置：相邻亮纹的间距：单缝衍射中央亮纹包迹内，可能有主极大的数目为：解：（1）双缝干涉第k级亮纹条件：例14-10

一双缝，缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.08mm，用波长为=4800Å的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜，求：1)在透镜焦平面处的屏上双缝干涉条纹的间距x；2)在单缝衍射左右亮度范围内的双缝干涉亮纹数目。44例14-11(3530)一衍射光栅,每厘米有200条透光缝,每条缝宽为,在光栅后放一焦距现以的单色平行光垂直照射光栅求,又因所以：双缝衍射5级主极大缺级。在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：透光缝a

的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?(2)在该宽度内,有几个光栅衍射主