空间向量应用总复习

用空间向量解决立体几何中的平行、垂直和夹角、距离问题空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第1页!一。知识再现空间向量：(1)空间直角坐标系(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第2页!(1)空间直角坐标系zxyoA(x,y,z)空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第3页!(3)夹角和距离公式OjikXYZAB空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第4页!2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.

αn空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第5页!求平面的法向量的坐标的步骤步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第6页!三、建立空间坐标系利用现有三条两两垂直的直线注意已有的正、直条件相关几何知识的综合运用空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第7页!四、常用公式：1、求线段的长度：2、平行3、垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第8页!7、求二面角的平面角:(为二面角的两个面的法向量）8、求二面角的平面角:

（射影面积法）9、求法向量：①找；②求：设

为平面内的任意两个向量，

为α的法向量

则由方程组

可求得法向量．空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第9页!设直线l，m的方向向量分别为

，，根据下列条件判断l，m的位置关系：练习2空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第10页!

例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD

证明：设依题意有，于是∵∴CC1⊥BD

题型一：线线垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第11页!解2：直角坐标法。取由已知条件和正三棱柱的性质，得AMBC,如图建立坐标系m-xyz。则XYZG例2

已知正三棱柱的各棱长都为1，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。题型一：线线垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第12页!ABDCA1B1D1C1例3.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEFxyz即题型二：线面平行空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第13页!A1C1B1ACBEDzxy题型：线面平行、垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第14页!练习2：设平面

，的法向量分别为

，，根据下列条件判断，的位置关系：空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第15页!例7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证：面AED⊥面A1FD1zxy证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),D(0,2,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),F(1,2,0),设平面AED的法向量为n1=(x，y，z)得取z=2，得n1=(-1，0，2)同理可得平面A1FD1的法向量为n2=(2，0，1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD题型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第16页!数量积：

夹角公式：

线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第17页!异面直线所成角的计算空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第18页!例一：题型一：线线角线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第19页!

问题：利用向量坐标法求两条异面直线夹角

的一般步骤是什么？(1)恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得对应点的坐标，空间向量

的坐标表示及其数量积和模；(3)代入空间向量的夹角公式，求得其余

弦值；(4)根据题意，转化为几何结论.空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第20页!PADGFEzxByC2004年福州市次统测试题题型一：线线角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第21页!xPABDCEyz题型一：线线角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第22页!斜线与平面所成角的计算anPAO空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第23页!练习：如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_____.题型二：线面角600空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第24页!在长方体中，N解：如图建立坐标系A-xyz,则即练习1：题型二：线面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第25页!练习2：

的棱长为1.题型二：线面角正方体线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第26页!解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,0)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由得，解得取y=,得n=(3,,0)而∴∴空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第27页!例6

如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。

DBACEPxzy题型二：线面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第28页!xy2003年全国高考题ABCDEGA1B1C1z题型二：线面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第29页!题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第30页!题型三：二面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第31页!例8:如图:直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AB=AA1=4,E为AB的中点求:1)直线BD1与CE所成的角的余弦值;2)二面角A1-CE-D的余弦值.xzyOBACA1D1B1DC1E题型三：二面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第32页!解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由

得

n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为.空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第33页!ABXYZ空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第34页!如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【课后作业】

空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第35页!ABCDMXYZ空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第36页!小结：1.异面直线所成角：

2.直线与平面所成角：

3.二面角：关键：观察二面角的范围空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第37页!题型一：点到直线的距离说明：PABM空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第38页!anPAOMN题型二：点到平面的距离空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第39页!求点P到平面α距离步骤：1.建立适当的空间直角坐标系2.写出点的坐标（点P及α内三点）3.求出向量的坐标（点P与α内一点A连线向量，α内两不共线向量）4.求α的法向量n5.求6.下结论空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第40页!FBACDEGXYZ题型二：点到平面的距离空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第41页!例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1题型三：异面直线的距离空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第42页!会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.xzyPBEADCF题型四：线面与面面的距离空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第43页!ABCFEDXYZ空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第44页!(2)向量的直角坐标运算空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第45页!二.两个重要的空间向量1.直线的方向向量

把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第46页!abnα空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第47页!

2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.ABCDOA1B1C1D1zxy1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.练习1空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第48页!xABC1CA1B1正三棱柱zyxyPBCDA正四棱锥zABCD正三棱锥xyz长方体空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第49页!4、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）5、求直线l与平面所成的角：

，(为的法向量)6、求两异面直线AB与CD的夹角：

空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第50页!垂直与平行的证明直线与直线的平行直线与直线的垂直直线与平面的平行共面向量的充要条件与平面的法向量垂直直线与平面的垂直垂直于平面内不共线的两个向量平面与平面的平行两个平面的法向量平行平面与平面的垂直两个平面的法向量垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第51页!直线与直线的平行与垂直平行：共线向量的充要条件

垂直：向量垂直的充要条件

lmlm空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第52页!例2.已知正三棱柱的各棱长都为1，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。解1：向量解法设，则由已知条件和正三棱柱的性质，得你能建立直角坐标系解答本题吗？题型一：线线垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第53页!直线与平面的平行与垂直设直线l的方向向量分别为

，平面α的法向量为，平面α内两不共线向量，且l

α平行：①共面向量的充要条件

②垂直：①垂直于平面内不共线的两个向量

②ll空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第54页!DACBBCDAFEXYZ评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，再证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。题型三：线面垂直空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第55页!平面与平面的平行与垂直设平面α、β

的法向量分别为平行：

垂直：

空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第56页!XYZ题型四：面面平行空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第57页!三种角的计算异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第58页!求下列两个向量夹角的余弦值（1），

（2）.

空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第59页!异面直线所成角的范围：

思考：结论：题型一：线线角线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第60页!解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：

所以：所以与所成角的余弦值为题型一：线线角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第61页!PADGFEzxByC题型一：线线角解：如图，建立空间直角坐标系。空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第62页!练习：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD题型一：线线角解:以A为原点建立如图所示

的直角坐标系A-xyz,

设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),

B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第63页!练习：题型一：线线角在长方体中，空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第64页!题型二：线面角直线与平面所成角的范围：

思考：结论：题型二：线面角线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第65页!例四：题型二：线面角在长方体中，线线角复习线面角二面角小结引入空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第66页!练习1：在长方体中，又题型二：线面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第67页!练习3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO题型二：线面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第68页!BAOB`A`O`DPXYZ题型二：线面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第69页!解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，设BE=m，则空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第70页!二面角的平面角的计算PBAlabQnm空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第71页!练习：已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.1350题型三：二面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第72页!设平面空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第73页!练习1.在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS题型三：二面角空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第74页!xyzAA1BCDD1C1B1P题型三：二面角练习2：空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第75页!ABXYZ空间向量应用总复习共86页，您现在浏览的是第76页!【巩固练习】

1三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,