大学物理：第5章波动学基础

第5章波动学基础1第5章波动学基础声波、水波、电磁波都是物理学中常见的波，它对应一种物质波。波即可以是运动状态的传递而非物质的自身运动，也可以是物质本身的运动结果，甚至把波直接看作一种粒子。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子—光子的运动。机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。下面以机械波为例介绍波的一些物理概念。但它们都有类似的波动方程。2§5-1机械波的产生和传播类型弹性介质是指由弹性力组合的连续介质。波源——波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。1.弹性介质和波源

（机械波产生的条件）3t=00481620

············12······

··

·

········t=T/4·····················t=T/2·······

·························t=3T/4·······················t=T····················4结论：(1)

质元并未“随波逐流”波的传播不是媒质质元的传播(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动

(4)同相点----质元的振动状态相同波长相位差2相邻2.波是相位的传播沿波的传播方向上,各质元的相位依次落后。(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现波是振动状态的传播5

·

·abxxu传播方向图中b点比a点的相位落后3.波形曲线(波形图)oxut不同时刻对应有不同的波形曲线(后面再讲）y61)纵波和横波：横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波2)波线、波面、波前波线（或波射线)—波的传播方向称之为波射线或波线。波面（或相面、波阵面）—某时刻介质内振动相位相同的点组成的面称为波面。任一波例如，水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。波前—某时刻处在最前面的波面。7波线波面波面波线3)波的周期性和波速

波长、波速和频率：波长——振动相位相同的两个相邻波面之间的距离是一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称为波长，用表示。在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直.４.平面波球面波柱面波8波速—单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速，也称之相速。频率—单位时间内质点振动的次数波动的频率，等于介质中质点的振动频率。——表示波在空间的周期性——表示波在时间上的周期性通过波速联系起来波的周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周期T。9显然，这里波长远大于媒质分子间距离，即假设弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时，相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播声波，就是由于这原因。101.惠更斯原理媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的子波源(点波源)。在以后的任一时刻,这些子波面的包络面就是实际的波在该时刻的波前。2.应用:t时刻波面

t+t时刻波面波的传播方向惠更斯原理11平面波t+t时刻波面·····ut波传播方向t时刻波面球面波············

··tt+t3.波的衍射(绕射)1.)现象波传播过程中当遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而传播的现象。

不足:只能解决波的传播方向,不知道波的强度分布.122.)作图可用惠更斯原理作图···a·比较两图★如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧)13§5-2平面简谐波运动学方程以横波为例说明平面简谐波的波函数。下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移，这样的函数称为行波的波函数。已知o点振动表达式：y表示各质点在Y方向上的位移，A是振幅，是角频率或叫圆频率，为o点在零时刻的相位。o点振动传到p点需用1.平面行波(波动方程)14相位落后，所以

p点的运动方程：定义为角波数因此下述几式等价：也即p点的相位落后于o点相位：

。这就是右行波的波方程。15因此下述几式等价：16左行波的波函数：也即p点的相位超前于o点相位：所以p点的运动方程，也就是左行波的波方程：

p点运动传到o点需用时间：17（1）x一定时,为该处质点的振动方程,对应曲线为该处质点振动曲线；（2）t一定时为该时刻各质点位移分布,对应曲线为该时刻波形图；（3）t、x都变化时，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况行波。若:(可作图说明)2.一维简谐波表达式的物理意义：18若这两处相位相同，则有：可见波速就是相位传播的速度19即就是波形向前传播的速度。时刻的波形完全相同。波动方程描述了波形的传播故为行波方程例已知：u=20m/s,t=0的波形如图所示:求：振幅，波长，波的周期、波函数及质元振动速度表达式

解：由图知：3.描述简谐波的物理量20处由旋转矢量法得：0点的初相位:u=20m/s,设o点振动方程为:21因为：所以22例一平面简谐波沿X轴正方向传播,其振幅为A,频率为,波速为u。设t＝t’时刻的波形典线如图所示,求:(1)x=0处质点的振动方程;(2)该波的波动方程A0解：设(2)波方程23机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的质量密度,亦即决定于这种波在媒质中传播的机构。5.2.2机械波的速度(P170--172本节只了解下面概念.u的公式不要求)24体变l0l0+l

FF长变在液体和气体只能传播纵波，其波速为：B为媒质的体变弹性模量;为质量密度正弹力F切切变F切切弹力25可以证明：对于柔软的绳索和弦线中横波波速为

T为绳索或弦线中张力;为质量线密度细长的棒状媒质中纵波波速为Y

为媒质的杨氏弹性模量;为质量密度各向同性均匀固体媒质横波波速G为媒质的切变弹性模量;为质量密度在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。量纲!*震中26平面波动的动力学方程见书P173式(5.3.6)和(5.3.12)5.3平面波的动力学方程p172—177(不要求)27有一行波：质元的振动速度:质量为的媒质其动能为：以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：1.波的能量§5-4波的能量和能流

y28单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一半。应变=代入上式得在体积内其势能为：动能为：29总机械能为：对于横波，推导过程中只需用切变模量代替杨氏模量，其结果相同。能量密度随时间周期性变化,不守恒。定义：能量密度＝单位体积内的总机械能定义：平均能量密度（对时间平均)其中30*任意时刻，体元中动能与势能相等，同相位的随时间变化。即动能与势能同时达到最大或极小。这不同于孤立振动系统。*能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。讨论：*能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均成正比。因为波是能量传播的一种形式，下面讨论。31波动的能量与振动能量是有区别的。振动孤立的振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零；

波是能量传播的一种形式32wk、w

p均随t周期性变化(1)固定x

物理意义wk=wp

(2)固定twk、w

p随x周期分布y=0wkwp最大y最大

wkwp为0(1/4)2A2oyTtwkwpx=x0(1/4)2A2xowkwpt=t0uy33对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变，即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播。34能流—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。为截面所在位置的能量密度所以，能流为：显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值2.能流，能流密度设波速为u，平面波在时间内通过垂直于波速截面的能量:35在一个周期内能流的平均值称为平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。声学中声强就是上述定义之一例

平均能流其方向与波速方向相同。能流密度是矢量36借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。平面波和球面波的振幅证明：因为在一个周期内通过和面的能量应该相等所以,平面波振幅相等：37所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为球面波由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：§5.5

声波、超声波和次声波

(p183-187)不要求381.波的叠加原理（独立性原理）若

、分别是它的解，则也是它的解,即上述波动方程遵从叠加原理。上式就是波动方程。它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理。§5-6波的叠加原理波的干涉驻波392.波的干涉稳定的波的叠加图样是指在媒质中某些位置的点振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用。叠加原理不成立能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合40波的干涉之模拟演示图41波的干涉之模拟演示图42相干条件：设有两个频率相同的波源和其振动表达式为：满足相干条件的波源称为相干波源。具有恒定的相位差振动方向相同（或称为具有相同的偏振面)两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显。两波源具有相同的频率43其振动表达式为：传播到P点引起的振动为：在P

点的振动为同方向同频率振动的合成。44下面讨论干涉现象中的强度分布在P

点的合成振动为：其中：由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。45干涉相长的条件：干涉相消的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：称为波程差相长干涉相消干涉46例:

作业

波动（三）如图所示，两列相干波在P点相遇。一列`波在B点引起的振动是另一列波引起C点引起的振动是（SI）（SI）若振幅保持不变，求P点的合振动方程。BP=0.45mCP=0.30m两列波的速度

u=0.20m/sPBC47解：B点发出的波在P点的初相48（SI）所以：P点合振动方程为49驻波是干涉的特例。当频率与绳长调整适当，绳上分段振动，某些点振幅特大，某些点几乎不动，称为驻波。驻波的特点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。分别沿X轴正、负方向传播的同频率、同振幅同初相位的两列相干波，其合成波就是典型的驻波3.驻波产生驻波的演示实验弦线长度等于半波长的整数倍时才能形成驻波。——驻波条件50设有两列相干波，分别沿X轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：驻波的表达式其合成波称为驻波其表达式：51

驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而成的。OACEFGHBD虚线向右实线向左X52利用三角函数关系求出驻波的表达式：简谐振动简谐振动的振幅但是这一函数不满足所以它不是行波。它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。53振幅最大的点称为波腹，对应于的各点；因此波腹的位置为：波节的位置为：驻波的振幅驻波的特点不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动振幅为零的点称为波节，对应于的各点。即即XY054从上式得相邻波腹间的距离为：可得相邻波节间的距离也为波腹与波节间的距离为因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。应用驻波的相位时间部分提供的相位对于所有的x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。55*

两个相邻波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。相位为相位为相位不传播——“驻”。相邻两波节之间相位相同,同一波节两边半波长范围相位相反。XY056波形不传播；能量不传播——“驻”。OFHBD57

讨论驻波的能量由上式可知：各质点位移达到最大时,动能为零，势能为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。所以驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。讨论：XY058当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。反之，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。半波损失：入射波在反射时发生反相的现象称为半波损失。折射率较大的媒质称为波密媒质；折射率较小的媒质称为波疏媒质.有半波损失某一时刻无半波损失59——无半波损失——有半波损失相位突变称为半波损失。4.简正模弦上的一些可能的振动方式称为简正模式最低的频率称为基频其他为二次，三次谐频。L602）入射波在反射点的振动方程由于反射处固定，反射波有相位突变。故反射波在反射点的振动方程为：所以反射波的波动方程为：解：1）已知例:

一沿弹性绳的简谐波的波动方程为x=Acos2(10t-y/2)，波在y=11m处的固定端反射，设传播中无能量损失，反射是完全的，试求：1）该简谐波的波长和波速。2）反射波的波动方程；3）驻波方程，并确定波节的位置。61波节的位置满足：，即所以：3）驻波方程注意：此反射波是沿y

轴负方向传播的。62例：波源位于O点处，振动方程为：，在处的Q点有一反射墙壁。求：(1).沿x轴正向、负向传播的波动方程(2).反射的波动方程(3).OQ区域内合成波的方程(4).x>0区域内的合成波动方程xQyO解：(1).沿x轴正向传播的波动方程沿x轴负向传播的波动方程(2).反射的波动方程:入射到Q点的振动方程为考虑到墙壁引起的相位突变，Q点的振动方程为63故QO区域内反射波的方程为在x>0区域内反射波的方程为即，反射波波动方程可以统一表示为(3).OQ区域内合成波的方程xQyO64(4).x>0区域内的合成波动方程例：长为l的绳两端固定，线密度为

，张力为T求：此弦中的振动频率（固有振动的本征频率）解：弦两端固定，端点应为节点。而驻波相邻两点的距离为/2的整数倍。于是其中于是基频为，基频取决于绳子的长度、密度、张力65表示波源相对于媒质的运动速度。表示观察者相对于媒质的运动速度。波源的频率

是单位时间内波源振动的次数或发出的“完整波”的个数.观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。当鸣笛的火车开向站台，站台上的观察者听到的笛声变尖，即频率升高；相反，当火车离开站台，听到的笛声频率降低。§5-7多普勒效应定义例如约定66观察者接受到的频率

是观察者在单位时间内接受到的振动数或完整的波数；波的频率是媒质质元在单位时间内振动的次数或单位时间内通过媒质质元某点的完整波的个数。波速为，单位时间内相位传播的距离。波源的频率

是单位时间内波源振动的次数或发出的‘完整波’的个数；1.相对于媒质，波源和观察者都不动的情况所以波源相对于媒质静止时波长是，

:单位时间波在媒质中传播距离。是波的频率67若观察者以速度离开波源运动，同理可得观察者接受到的频率：频率降低。频率升高因为此时波源的频率就是波的频率(波源不动)2.相对于媒质，波源不动，观察者以速度向着波源运动。68因为波源所发出的相邻的两个同相振动状态是在不同地点发出的，这两个地点相隔的距离为。3.相对于媒质观察者不动，波源以速度向着观察者运动式中为波源的周期。如果波源是向着观察者运动的，这后一地点到前方最近的同相点之间的距离是现在媒质中的波长69若波源静止时媒质中的波长为波源运动，在媒质中的波长：此时波的频率为：由于观察者静止，所以他接受到的频率就是波的频率：频率升高70当波源以速度远离观察者运动时，可得观察者接受到的频率：频率降低相对于媒质波源和观察者同时运动综上所述，可得当波源和观察者相向运动时，观察者接受到的频率为：当波源和观察者彼此离开时，观察者接受到的频率为：注：以上讨论限于成立71对于弹性波，不存在横向多普勒效应。因此，如果波源和观察者的运动不是沿它们连线方向（纵向〕，则以上公式中应理解为波源和观察者在它们连线方向上的速度分量(即纵向分量