《生物统计学》方差分析课件

第八章方差分析生物统计学第八章方差分析生物统计学第八章方差分析第一节方差分析的基本问题第二节单因素方差分析第三节双因素方差分析第八章方差分析第一节方差分析的基本问题学习目标解释方差分析的概念解释方差分析的基本思想和原理掌握单因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用学习目标解释方差分析的概念第一节方差分析的基本问题一.方差分析的内容二.方差分析的原理三.F分布第一节方差分析的基本问题一.方差分析的内容什么是方差分析？

(AnalysisofVariance,ANOVA)什么是方差分析？

(AnalysisofVarianc什么是方差分析?

(概念要点)检验多个总体均值是否相等通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个总体均值是否相等2. 变量1个定类尺度的自变量2个或多个(k个)处理水平或分类1个定距或比例尺度的因变量3.

用于分析完全随机化试验设计什么是方差分析?

(概念要点)检验多个总体均值是否相等什么是方差分析?

（一个例子）表8-1某草莓四个变种的株高（cm）调查结果株号变种A1变种A2变种A3变种A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某农场培育出一种新型草莓品种。在该草莓新品种的培育过程中，由于遗传变异产生了四个异化的变种，分别为变种A1、变种A2、变种A3

和变种A4。这四个变种的种植环境和管理措施等可能影响其生长的因素全部相同。现希望了解变异对株高的影响，调查数据见表8-1。试分析该品种草莓的变异是否对株高产生影响。什么是方差分析?

（一个例子）表8-1某草莓四个变种的株什么是方差分析?

（例子的进一步分析）检验变异对草莓株高是否有影响，也就是检验四个变种的平均株高度是否相同设1为变种A1的平均株高，2为变种A2的平均株高，3为变种A3的平均株高，4为变种A4的平均株高，也就是检验下面的假设H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等检验上述假设所采用的方法就是方差分析什么是方差分析?

（例子的进一步分析）检验变异对草莓株高是方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）因素或因子所要检验的对象称为因素或因子要分析遗传变异对草莓株高是否有影响，变异是要检验的因素或因子水平因素的具体表现称为水平A1、A2、A3、A4四种变异就是因素的水平观察值在每个因素水平下得到的样本值每种变异的株高就是观察值方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）因素或因子方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）试验这里只涉及一个因素，因此，称为单因素四水平的试验总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如，A1、A2、A3、A4四种变异，可以看作是四个总体样本数据上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）试验方差分析的基本思想和原理比较两类误差，以检验均值是否相等比较的基础是方差比如果系统(不同水平或处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的误差是由各部分(同一水平内和各水平间)的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理比较两类误差，以检验均值是否相等方差分析的基本思想和原理

（两类误差）随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异比如，同一种变异的草莓不同抽样个体的株高是不同的不同抽样个体株高的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差

系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，同一抽样编号，不同变异的草莓株高也是不同的这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于变异本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差方差分析的基本思想和原理

（两类误差）随机误差方差分析的基本思想和原理

（两类方差）组内方差因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，变种A1的5个样本株高的方差组内方差只包含随机误差组间方差因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四个变种株高之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和原理

（两类方差）组内方差方差分析的基本思想和原理

（方差的比较）如果不同变异(水平)对株高(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异方差分析的基本思想和原理

（方差的比较）如果不同变异(水平)方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本例如，每种变异的草莓株高必须服从正态分布各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取例如，四种变异的草莓株高的总体方差都相同观察值是独立的每个编号样本的株高都与其他编号样本的株高独立方差分析中的基本假定每个总体都应服从正态分布方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断变异对株高是否有显著影响，实际上也就是检验具有相同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题。如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近。四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断变异对株高是否有显方差分析中基本假定

如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=m4四种变异草莓的株高的均值都相等没有系统误差这意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体。Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果原假设成立，即H0:m1=方差分析中基本假定如果备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体

Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果备择假设成立，即H1:mi(i=第二节单因素方差分析一.单因素方差分析的步骤二.方差分析中的多重比较三.单因素方差分析中的其他问题第二节单因素方差分析一.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的数据结构

观察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…

水平Ak12::n

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n

x2n…

xkn单因素方差分析的数据结构观察值(j)因素(A)i单因素方差分析的步骤提出假设构造检验统计量统计决策单因素方差分析的步骤提出假设提出假设一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k个水平）H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等对前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4变异对株高没有影响H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等变异对株高有影响提出假设一般提法构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量

构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和平均平方(MS,MeanSquare)

构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量构造检验的统计量

(计算水平的均值

)假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为式中：ni为第i个总体的样本观察值个数

xij为第i个总体的第j个观察值

构造检验的统计量

(计算水平的均值)假定从第i个总体中抽取构造检验的统计量

(计算全部观察值的总均值

)全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为构造检验的统计量

(计算全部观察值的总均值)全部观察值的总构造检验的统计量

(前例计算结果

)表8-2四种变异草莓的株高及均值（cm）株号(j)水平A(i)变种A1变种A2变种A3变种A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值观察值个数x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值x=28.695构造检验的统计量

(前例计算结果)表8-2四种变异构造检验的统计量

(计算总离差平方和

SST)全部观察值与总平均值的离差平方和SST反映全部观察值的离散状况其计算公式为(SumofSquaresforTotal)

前例的计算结果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295构造检验的统计量

(计算总离差平方和SST)全部观察值构造检验的统计量

(计算误差项平方和

SSE)每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和SSE反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和该平方和反映的是随机误差的大小计算公式为(SumofSquaresforError)

前例的计算结果：SSE=39.084构造检验的统计量

(计算误差项平方和SSE)每个水平或组的构造检验的统计量

(计算水平项平方和

SSA)各组平均值与总平均值的离差平方和SSA反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和该平方和既包括随机误差，也包括系统误差计算公式为(SumofSquaresforfactorA)

前例的计算结果：SSA=76.8455构造检验的统计量

(计算水平项平方和SSA)各组平均值构造检验的统计量

(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系SST=SSE+SSA构造检验的统计量

(三个平方和的关系)总离差平方和(SST构造检验的统计量

(三个平方和的作用)SST反映了全部数据总的误差程度SSE反映了随机误差的大小SSA反映了随机误差和系统误差的大小构造检验的统计量

(三个平方和的作用)SST反映了全部数据总构造检验的统计量

(三个平方和的作用)若原假设成立，即μ1＝μ2

＝…＝μk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间差异不仅有随机误差，还有系统误差构造检验的统计量

(三个平方和的作用)若原假设成立，即μ1＝构造检验的统计量

(三个平方和的作用)判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量构造检验的统计量

(三个平方和的作用)判断因素的水平是否对其构造检验的统计量

(计算均方

MS)各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值数目对离差平方和大小的影响，需要计算其平均值，这就是均方，也称为方差计算方法是用离差平方和除以相应的自由度三个平方和的自由度分别是SST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)个数SSE的自由度为n-k构造检验的统计量

(计算均方MS)各离差平方和的大小与观察构造检验的统计量

(计算均方

MS)SSA的均方也称为组间方差，记为MSA，计算公式为SSE的均方也称为组内方差，记为MSE，计算公式为构造检验的统计量

(计算均方MS)SSA的均方也称为组间方构造检验的统计量

(计算检验的统计量

F)将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F当H0为真时，二者的比值服从第一自由度为k-1、第二自由度为n-k的F分布，即构造检验的统计量

(计算检验的统计量F)将MSA和MSE构造检验的统计量

(F分布与拒绝域)如果均值相等，1a

F分布F(k-1,n-k)0拒绝H0不能拒绝H0F构造检验的统计量

(F分布与拒绝域)如果均值相等，统计决策

将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相应的临界值F

若F>F

，则拒绝原假设H0

，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响若FF

，则不能拒绝原假设H0

，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响统计决策将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F单因素方差分析表

(基本结构)方差来源平方和SS自由度df均方MSF值组间(因素影响)组内(误差)总和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE单因素方差分析表

(基本结构)方差来源平方和SS自由度均方F单因素方差分析

（Excel的输出结果）单因素方差分析

（Excel的输出结果）单因素方差分析

（一个例子）【例8.2】为了对几个养鸡场的蛋鸡品质进行综合评价，经济动物协会在阿狗鸡场、阿蛇鸡场、阿猫鸡场、阿龙鸡场分别抽取了不同的样本，其中阿狗鸡场抽取7只蛋鸡，阿蛇鸡场抽取了6只蛋鸡，阿猫鸡场抽取5只蛋鸡、阿龙鸡场抽取了5只蛋鸡，然后，记录三个月中蛋鸡的产蛋个数，结果见表6.3。试分析这四个养鸡场的蛋鸡产蛋量是否有显著差异？(＝0.05)单因素方差分析

（一个例子）【例8.2】为了对几个养鸡场的蛋单因素方差分析

（一个例子）表8.3四个养鸡场蛋鸡的产蛋数量(单位:个)

观察值(j)养鸡场(A)阿狗鸡场阿蛇鸡场阿猫鸡场阿龙鸡场12345675755464554534762496054565551494855477068636960单因素方差分析

（一个例子）表8.3四个养鸡场蛋鸡的产蛋数单因素方差分析

（计算结果）

解：设四个养鸡场的蛋鸡产蛋个数的均值分别为m1、m2

、m3、m4

，则需要检验如下假设H0:m1=m2=m3

=

m4(四个鸡场的蛋鸡产蛋量无显著差异)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有显著差异)Excel输出的结果如下

结论：拒绝H0，四个养鸡场的蛋鸡产蛋量有显著差异。单因素方差分析

（计算结果）解：设四个养鸡场的蛋鸡方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较

（作用）多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验具体哪些均值之间存在差异多重比较方法有多种，这里介绍Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSD，该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的

t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的方差分析中的多重比较

（作用）多重比较是通过对总体均值之间的方差分析中的多重比较

（步骤）提出假设H0:mi=mj

(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj

(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)检验的统计量为若|t|t，拒绝H0；若|t|<t，不能拒绝H0方差分析中的多重比较

（步骤）提出假设若|t|t，拒方差分析中的多重比较

（基于统计量xi-xj的LSD方法）通过判断样本均值之差的大小来检验H0检验的统计量为：xi–

xj检验的步骤为

提出假设H0:mi=mj(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)计算LSD若|xi-xj|LSD，拒绝H0，若|xi-xj|<LSD

，不能拒绝H0方差分析中的多重比较

（基于统计量xi-xj的LSD方法方差分析中的多重比较

（实例）根据例8.1的计算结果:x1=27.3;x2=29.5;x3=26.4;x4=31.4提出假设H0:mi=mj

；H1:mi

mj计算LSD方差分析中的多重比较

（实例）根据例8.1的计算结果:方差分析中的多重比较

（实例）|x1-x2|=|27.3-29.5|=2.2>2.096

A1与A2的草莓株高有显著差异|x1-x3|=|27.3-26.4|=0.9<2.096

A1与A3的草莓株高没有显著差异|x1-x4|=|27.3-31.4|=4.1>2.096

A1与A4的草莓株高有显著差异|x2-x3|=|29.5-26.4|=3.1>2.096

A2与A3的草莓株高有显著差异|x2-x4|=|29.5-31.4|=1.9<2.096

A2与A4的草莓株高没有显著差异|x3-x4|=|26.4-31.4|=5>2.096

A3与A4的草莓株高有显著差异方差分析中的多重比较

（实例）|x1-x2|=|27第三节双因素方差分析一.双因素方差分析的基本问题二.双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的步骤一个应用实例第三节双因素方差分析一.双因素方差分析的基本问题双因素方差分析的基本问题双因素方差分析的基本问题双因素方差分析

（概念要点）分析两个因素(因素A和因素B)对试验结果的影响

分别对两个因素进行检验，分析是一个因素起作用，还是两个因素都起作用，还是两个因素都不起作用如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析如果除了A和B对试验结果的单独影响外，因素A和因素B的搭配还会对试验结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析对于无交互作用的双因素方差分析，其结果与对每个因素分别进行单因素方差分析的结果相同双因素方差分析

（概念要点）分析两个因素(因素A和因素B)对双因素方差分析的基本假定每个总体都服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的观察值是独立的双因素方差分析的基本假定每个总体都服从正态分布双因素方差分析的数据结构

因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…

BrA1A2::Ak

x11x12…

x1rx21x22…

x2r::::::::xk1

xk2…

xkr

::平均值

…双因素方差分析的数据结构因素A因素(B)j平均值双因素方差分析的数据结构

是因素A的第i个水平下各观察值的平均值

是因素B的第j个水平下的各观察值的均值

是全部kr个样本数据的总平均值双因素方差分析的数据结构是因素A的第i个水平双因素方差分析的步骤双因素方差分析的步骤提出假设对因素A提出的假设为H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk(mi为第i个水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)

不全相等对因素B提出的假设为H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr(mj为第j个水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)

不全相等提出假设对因素A提出的假设为构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量

构造统计量需要计算总离差平方和水平项平方和误差项平方和均方

构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量构造检验的统计量

(计算总离差平方和

SST)全部观察值与总平均值的离差平方和反映全部观察值的离散状况计算公式为构造检验的统计量

(计算总离差平方和SST)全部观察值构造检验的统计量

(计算SSA、SSB和SSE)因素A的离差平方和SSA因素B的离差平方和SSB误差项平方和SSE构造检验的统计量

(计算SSA、SSB和SSE)因素A的离差构造检验的统计量

(各平方和的关系)

总离差平方和(SST)、水平项离差平方和(SSA和SSB)、误差项离差平方和(SSE)之间关系SST=SSA+SSB+SSE构造检验的统计量

(各平方和的关系)总离差平方和(SST构造检验的统计量

(计算均方

MS)各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差计算方法是用离差平方和除以相应的自由度三个平方和的自由度分别是总离差平方和SST的自由度为kr-1因素A的离差平方和SSA的自由度为k-1因素B的离差平方和SSB的自由度为r-1随机误差平方和SSE的自由度为(k-1)×(r-1)构造检验的统计量

(计算均方MS)各离差平方和的大小与观察构造检验的统计量

(计算均方

MS)因素A的均方，记为MSA，计算公式为因素B的均方，记为MSB

，计算公式为随机误差项的均方，记为MSE

，计算公式为构造检验的统计量

(计算均方MS)因素A的均方，记为MSA构造检验的统计量

(计算检验的统计量

F)为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量构造检验的统计量

(计算检验的统计量F)为检验因素A的影响统计决策

将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临界值F

若FAF

，则拒绝原假设H0

，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的因素(A)对观察值有显著影响若FBF

，则拒绝原假设H0

，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素(B)对观察值有显著影响统计决策将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F双因素方差分析表

(基本结构)方差来源平方和SS自由度df均方MSF值

因素A

因素B误差总和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB双因素方差分析表

(基本结构)方差来源平方和自由度均方F值双因素方差分析

（一个例子）表8.4不同品种的水稻在五个镇的销售量数据(吨)品种(因素A)销售地(因素B)B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例8.3】有四个品种的水稻稻种在五个镇销售，为分析水稻稻种的品种(因素A)和销售地(因素B)对销售量是否有影响，对每个品种在各地的销售量取得以下数据，见表8.4。试分析水稻品种和销售地对水稻稻种的销售量是否有显著影响？双因素方差分析

（一个例子）表8.4不同品种的水稻在五个双因素方差分析

（提出假设）对因素A提出的假设为H0:m1=m2=m3=m4

(水稻品种对销售量没有影响)H1:mi

(i=1,2,…,4)

不全相等

(水稻品种对销售量有影响)对因素B提出的假设为H0:m1=m2=m3=m4=m5

(地区对销售量没有影响)H1:mj

(j=1,2,…,5)

不全相等

(地区对销售量有影响)双因素方差分析

（提出假设）对因素A提出的假设为双因素方差分析

（Excel输出的结果）

结论：

FA＝18.10777>F＝3.4903，拒绝原假设H0，说明水稻的品种对销售量有显著影响

FB＝2.100846<F＝3.2592，接受原假设H0，说明销售地对水稻稻种的销售量没有显著影响双因素方差分析

（Excel输出的结果）结论：本章小结方差分析(ANOVA)的概念方差分析的思想和原理方差分析中的基本假设要求掌握利用Excel和SPSS进行方差分析的基本技术本章小结方差分析(ANOVA)的概念为了调查三块小麦田的出苗情况，在每块麦田中按均匀分布原则设立了一些取样点，每取样点记录30㎝垅长的基本苗数，所得结果列于下表。三块田的出苗情况是否有差异？田

块基

本苗数121292422253027262202525232931242620213242228252126小练习为了调查三块小麦田的出苗情况，在每块麦田中按均匀分布原则设立Thanks!Thanks!第八章方差分析生物统计学第八章方差分析生物统计学第八章方差分析第一节方差分析的基本问题第二节单因素方差分析第三节双因素方差分析第八章方差分析第一节方差分析的基本问题学习目标解释方差分析的概念解释方差分析的基本思想和原理掌握单因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用学习目标解释方差分析的概念第一节方差分析的基本问题一.方差分析的内容二.方差分析的原理三.F分布第一节方差分析的基本问题一.方差分析的内容什么是方差分析？

(AnalysisofVariance,ANOVA)什么是方差分析？

(AnalysisofVarianc什么是方差分析?

(概念要点)检验多个总体均值是否相等通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个总体均值是否相等2. 变量1个定类尺度的自变量2个或多个(k个)处理水平或分类1个定距或比例尺度的因变量3.

用于分析完全随机化试验设计什么是方差分析?

(概念要点)检验多个总体均值是否相等什么是方差分析?

（一个例子）表8-1某草莓四个变种的株高（cm）调查结果株号变种A1变种A2变种A3变种A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某农场培育出一种新型草莓品种。在该草莓新品种的培育过程中，由于遗传变异产生了四个异化的变种，分别为变种A1、变种A2、变种A3

和变种A4。这四个变种的种植环境和管理措施等可能影响其生长的因素全部相同。现希望了解变异对株高的影响，调查数据见表8-1。试分析该品种草莓的变异是否对株高产生影响。什么是方差分析?

（一个例子）表8-1某草莓四个变种的株什么是方差分析?

（例子的进一步分析）检验变异对草莓株高是否有影响，也就是检验四个变种的平均株高度是否相同设1为变种A1的平均株高，2为变种A2的平均株高，3为变种A3的平均株高，4为变种A4的平均株高，也就是检验下面的假设H0:1234

H1:1,2,3,4

不全相等检验上述假设所采用的方法就是方差分析什么是方差分析?

（例子的进一步分析）检验变异对草莓株高是方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）因素或因子所要检验的对象称为因素或因子要分析遗传变异对草莓株高是否有影响，变异是要检验的因素或因子水平因素的具体表现称为水平A1、A2、A3、A4四种变异就是因素的水平观察值在每个因素水平下得到的样本值每种变异的株高就是观察值方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）因素或因子方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）试验这里只涉及一个因素，因此，称为单因素四水平的试验总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如，A1、A2、A3、A4四种变异，可以看作是四个总体样本数据上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据方差分析的基本思想和原理

（几个基本概念）试验方差分析的基本思想和原理比较两类误差，以检验均值是否相等比较的基础是方差比如果系统(不同水平或处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的误差是由各部分(同一水平内和各水平间)的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理比较两类误差，以检验均值是否相等方差分析的基本思想和原理

（两类误差）随机误差在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间的差异比如，同一种变异的草莓不同抽样个体的株高是不同的不同抽样个体株高的差异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差

系统误差在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，同一抽样编号，不同变异的草莓株高也是不同的这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于变异本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差方差分析的基本思想和原理

（两类误差）随机误差方差分析的基本思想和原理

（两类方差）组内方差因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，变种A1的5个样本株高的方差组内方差只包含随机误差组间方差因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，A1、A2、A3、A4四个变种株高之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差方差分析的基本思想和原理

（两类方差）组内方差方差分析的基本思想和原理

（方差的比较）如果不同变异(水平)对株高(结果)没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接近1如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异方差分析的基本思想和原理

（方差的比较）如果不同变异(水平)方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本例如，每种变异的草莓株高必须服从正态分布各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取例如，四种变异的草莓株高的总体方差都相同观察值是独立的每个编号样本的株高都与其他编号样本的株高独立方差分析中的基本假定每个总体都应服从正态分布方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断变异对株高是否有显著影响，实际上也就是检验具有相同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题。如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近。四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断变异对株高是否有显方差分析中基本假定

如果原假设成立，即H0:m1=m2=m3=m4四种变异草莓的株高的均值都相等没有系统误差这意味着每个样本都来自均值为、方差为2的同一正态总体。Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果原假设成立，即H0:m1=方差分析中基本假定如果备择假设成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的有系统误差这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体

Xf(X)1

2

3

4

方差分析中基本假定如果备择假设成立，即H1:mi(i=第二节单因素方差分析一.单因素方差分析的步骤二.方差分析中的多重比较三.单因素方差分析中的其他问题第二节单因素方差分析一.单因素方差分析的步骤单因素方差分析的数据结构

观察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…

水平Ak12::n

x11x21…

xk1x12x22…

xk2::::::::x1n

x2n…

xkn单因素方差分析的数据结构观察值(j)因素(A)i单因素方差分析的步骤提出假设构造检验统计量统计决策单因素方差分析的步骤提出假设提出假设一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k个水平）H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等对前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4变异对株高没有影响H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等变异对株高有影响提出假设一般提法构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量

构造统计量需要计算水平的均值全部观察值的总均值离差平方和平均平方(MS,MeanSquare)

构造检验的统计量为检验H0是否成立，需确定检验的统计量构造检验的统计量

(计算水平的均值

)假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数计算公式为式中：ni为第i个总体的样本观察值个数

xij为第i个总体的第j个观察值

构造检验的统计量

(计算水平的均值)假定从第i个总体中抽取构造检验的统计量

(计算全部观察值的总均值

)全部观察值的总和除以观察值的总个数计算公式为构造检验的统计量

(计算全部观察值的总均值)全部观察值的总构造检验的统计量

(前例计算结果

)表8-2四种变异草莓的株高及均值（cm）株号(j)水平A(i)变种A1变种A2变种A3变种A41234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合计136.6147.8132.2157.3573.9水平均值观察值个数x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5总均值x=28.695构造检验的统计量

(前例计算结果)表8-2四种变异构造检验的统计量

(计算总离差平方和

SST)全部观察值与总平均值的离差平方和SST反映全部观察值的离散状况其计算公式为(SumofSquaresforTotal)

前例的计算结果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295构造检验的统计量

(计算总离差平方和SST)全部观察值构造检验的统计量

(计算误差项平方和

SSE)每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和SSE反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差平方和该平方和反映的是随机误差的大小计算公式为(SumofSquaresforError)

前例的计算结果：SSE=39.084构造检验的统计量

(计算误差项平方和SSE)每个水平或组的构造检验的统计量

(计算水平项平方和

SSA)各组平均值与总平均值的离差平方和SSA反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和该平方和既包括随机误差，也包括系统误差计算公式为(SumofSquaresforfactorA)

前例的计算结果：SSA=76.8455构造检验的统计量

(计算水平项平方和SSA)各组平均值构造检验的统计量

(三个平方和的关系)总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和(SSA)之间的关系SST=SSE+SSA构造检验的统计量

(三个平方和的关系)总离差平方和(SST构造检验的统计量

(三个平方和的作用)SST反映了全部数据总的误差程度SSE反映了随机误差的大小SSA反映了随机误差和系统误差的大小构造检验的统计量

(三个平方和的作用)SST反映了全部数据总构造检验的统计量

(三个平方和的作用)若原假设成立，即μ1＝μ2

＝…＝μk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间差异不仅有随机误差，还有系统误差构造检验的统计量

(三个平方和的作用)若原假设成立，即μ1＝构造检验的统计量

(三个平方和的作用)判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量构造检验的统计量

(三个平方和的作用)判断因素的水平是否对其构造检验的统计量

(计算均方

MS)各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值数目对离差平方和大小的影响，需要计算其平均值，这就是均方，也称为方差计算方法是用离差平方和除以相应的自由度三个平方和的自由度分别是SST的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)个数SSE的自由度为n-k构造检验的统计量

(计算均方MS)各离差平方和的大小与观察构造检验的统计量

(计算均方

MS)SSA的均方也称为组间方差，记为MSA，计算公式为SSE的均方也称为组内方差，记为MSE，计算公式为构造检验的统计量

(计算均方MS)SSA的均方也称为组间方构造检验的统计量

(计算检验的统计量

F)将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F当H0为真时，二者的比值服从第一自由度为k-1、第二自由度为n-k的F分布，即构造检验的统计量

(计算检验的统计量F)将MSA和MSE构造检验的统计量

(F分布与拒绝域)如果均值相等，1a

F分布F(k-1,n-k)0拒绝H0不能拒绝H0F构造检验的统计量

(F分布与拒绝域)如果均值相等，统计决策

将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相应的临界值F

若F>F

，则拒绝原假设H0

，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素(A)对观察值有显著影响若FF

，则不能拒绝原假设H0

，表明所检验的因素(A)对观察值没有显著影响统计决策将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F单因素方差分析表

(基本结构)方差来源平方和SS自由度df均方MSF值组间(因素影响)组内(误差)总和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE单因素方差分析表

(基本结构)方差来源平方和SS自由度均方F单因素方差分析

（Excel的输出结果）单因素方差分析

（Excel的输出结果）单因素方差分析

（一个例子）【例8.2】为了对几个养鸡场的蛋鸡品质进行综合评价，经济动物协会在阿狗鸡场、阿蛇鸡场、阿猫鸡场、阿龙鸡场分别抽取了不同的样本，其中阿狗鸡场抽取7只蛋鸡，阿蛇鸡场抽取了6只蛋鸡，阿猫鸡场抽取5只蛋鸡、阿龙鸡场抽取了5只蛋鸡，然后，记录三个月中蛋鸡的产蛋个数，结果见表6.3。试分析这四个养鸡场的蛋鸡产蛋量是否有显著差异？(＝0.05)单因素方差分析

（一个例子）【例8.2】为了对几个养鸡场的蛋单因素方差分析

（一个例子）表8.3四个养鸡场蛋鸡的产蛋数量(单位:个)

观察值(j)养鸡场(A)阿狗鸡场阿蛇鸡场阿猫鸡场阿龙鸡场12345675755464554534762496054565551494855477068636960单因素方差分析

（一个例子）表8.3四个养鸡场蛋鸡的产蛋数单因素方差分析

（计算结果）

解：设四个养鸡场的蛋鸡产蛋个数的均值分别为m1、m2

、m3、m4

，则需要检验如下假设H0:m1=m2=m3

=

m4(四个鸡场的蛋鸡产蛋量无显著差异)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有显著差异)Excel输出的结果如下

结论：拒绝H0，四个养鸡场的蛋鸡产蛋量有显著差异。单因素方差分析

（计算结果）解：设四个养鸡场的蛋鸡方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较

（作用）多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验具体哪些均值之间存在差异多重比较方法有多种，这里介绍Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSD，该方法可用于判断到底哪些均值之间有差异LSD方法是对检验两个总体均值是否相等的

t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的方差分析中的多重比较

（作用）多重比较是通过对总体均值之间的方差分析中的多重比较

（步骤）提出假设H0:mi=mj

(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj

(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)检验的统计量为若|t|t，拒绝H0；若|t|<t，不能拒绝H0方差分析中的多重比较

（步骤）提出假设若|t|t，拒方差分析中的多重比较

（基于统计量xi-xj的LSD方法）通过判断样本均值之差的大小来检验H0检验的统计量为：xi–

xj检验的步骤为

提出假设H0:mi=mj(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)计算LSD若|xi-xj|LSD，拒绝H0，若|xi-xj|<LSD

，不能拒绝H0方差分析中的多重比较

（基于统计量xi-xj的LSD方法方差分析中的多重比较

（实例）根据例8.1的计算结果:x1=27.3;x2=29.5;x3=26.4;x4=31.4提出假设H0:mi=mj

；H1:mi

mj计算LSD方差分析中的多重比较

（实例）根据例8.1的计算结果:方差分析中的多重比较

（实例）|x1-x2|=|27.3-29.5|=2.2>2.096

A1与A2的草莓株高有显著差异|x1-x3|=|27.3-26.4|=0.9<2.096

A1与A3的草莓株高没有显著差异|x1-x4|=|27.3-31.4|=4.1>2.096

A1与A4的草莓株高有显著差异|x2-x3|=|29.5-26.4|=3.1>2.096

A2与A3的草莓株高有显著差异|x2-x4|=|29.5-31.4|=1.9<2.096

A2与A4的草莓株高没有显著差异|x3-x4|=|26.4-31.4|=5>2.096

A3与A4的草莓株高有显著差异方差分析中的多重比较

（实例）|x1-x2|=|27第三节双因素方差分析一.双因素方差分析的基本问题二.双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的步骤一个应用实例第三节双因素方差分析一.双因素方差分析的基本问题双因素方差分析的基本问题双因素方差分析的基本问题双因素方差分析

（概念要点）分析两个因素(因素A和因素B)对试验结果的影响

分别对两个因素进行检验，分析是一个因素起作用，还是两个因素都起作用，还是两个因素都不起作用如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析如果除了A和B对试验结果的单独影响外，因素A和因素B的搭配还会对试验结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析对于无交互作用的双因素方差分析，其结果与对每个因素分别进行单因素方差分析的结果相同双因素方差分析

（概念要点）分析两个因素(因素A和因素B)对双因素方差分析的基本假定每个总体都服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布总体的简单随机样本各个总体的方差必须相同对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的观察值是独立的双因素方差分析的基本假定每个总体都服从正态分布双因素方差分析的数据结构

因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…

BrA1A2::Ak

x11x12…

x1rx21x22…

x2r::::::::xk1

xk2…

xkr

::平均值

…双因素方差分析的数据结构因素A因素(B)j平均值双因素方差分析的数据结构

是因素A的第i个水平下各观察值的平均值

是因素B的第j个水平下的各观察值的均值

是全部kr个样本数据的总平均值双因素方差分析的数据结构是因素A的第i个水平双因素方差分析的步骤双因素方差分析的步骤提出假设对因素A提出的假设为H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk(mi为第i个水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)

不全相等对因素B提出的假设为H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr(mj为第j个水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)