一阶逻辑等值演算与推理课件

第五章一阶逻辑等值演算与推理主要内容：重要的等值式①在有限个体域内消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式基本规则①置换规则②换名规则③代替规则前束范式与公式的前束范式自然推理系统F第五章一阶逻辑等值演算与推理主要内容：要求：深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则准确地求出给定公式的前束范式正确地使用UI,UG,EG,EI规则，特别要注意它们之间的关系对给定的推理，正确地构造出它的证明

要求：一、量词否定等值式例：设P(x)：X今天去过操场（1）不是所有人今天去过操场存在一些人今天没有去过操场（2）不存在一些人今天去过操场所有人今天都没有去过操场。5.1一阶逻辑等值式与置换规则一、量词否定等值式例：设P(x)：X今天去过操场5.1一阶证：设个体域中的客体变元为证：设个体域中的客体变元为二、量词辖域的扩张与收缩等值式二、量词辖域的扩张与收缩等值式例：证明：证：例：证明：证：类似的可以推出：

例如类似的可以推出：例如三、量词分配等值式例如联欢会上所有人既唱歌又跳舞和所有人唱歌且所有人跳舞。这两个语句意义相同。根据上式亦有：三、量词分配等值式例如联欢会上所有人既唱歌又跳舞和所有人唱四、多个量词的使用对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。存在一个乙村的人，甲村的人和他同姓。四、多个量词的使用对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。存在全称量词与存在量词在公式中出现的次序，不能随意更换。具有两个量词的谓词公式，有如下一些蕴含关系。存在一个甲村的人，乙村的人都和他同姓。对于乙村的人，甲村都有人和他同姓。全称量词与存在量词在公式中出现的次序，不能随意更换。具有两个五、量词分配中的一些推理关系式这些学生都聪明或这些学生都努力这些学生都聪明或努力。这些学生都聪明或努力这些学生都聪明或这些学生都努力。五、量词分配中的一些推理关系式这些学生都聪明或这些学生都努力说明:以上五种单个量词的谓词演算式可类似推广到多个量词的情况。类似的有：说明:以上五种单个量词的谓词演算式可类似推类似的有：5.2一阶逻辑前束范式前束范式：谓词公式具有形式：则该公式叫前束范式。其中Ｑi是量词或，A是不含量词的谓词公式。方法：利用换名规则及代替规则求前束范式5.2一阶逻辑前束范式前束范式：谓词公式具有形式：方法例:求下列公式的前束范式.１、原式例:求下列公式的前束范式.１、原式一阶逻辑等值演算与推理课件４、４、１、全称量词消去规则（UＩ）5.3一阶逻辑推理理论x是Ａ(x)中自由出现的个体变项；y为任意不在Ａ(x)中约束出现的个体变项；c为任意的个体常项。2、全称量词引入规则（UG）y在Ａ(y)中自由出现，且y取任何值时Ａ均为真；取代y的x不能在Ａ(y)中约束出现，否则会产生错误。１、全称量词消去规则（UＩ）5.3一阶逻辑推理理论x例：证明苏格拉底的三段论（2）(1)ＵＩ（3）A（S）（4）M（S）证明：A(x):x是一个人M(x)：x是要死的S:苏格拉底

（1）前提引入前提引入（2)(3)假言推理例：证明苏格拉底的三段论（2）(1)ＵＩ（3）A（S）（（3）存在量词引入规则（ＥＧ）（4）存在量词消去规则（EＩ）c是特定的个体常项；取代c的x不能已在Ａ(c)中出现过。c是使Ａ为真的特定的个体常项；c不曾在Ａ(x)中出现过；Ａ(x)中除x外还有其他自由出现的个体变项时,不能用此规则。（3）存在量词引入规则（ＥＧ）（4）存在量词消去规则（EＩ）证明：(2)EI(3)化简(1)UI(4)(5)假言推理(7)(8)合取引入(9)EG例：证明前提引入前提引入(3)化简(6)化简证明：(2)EI(3)化简(1)UI(4)(5)假言推理(7例证明证明：用反证法：设为附加前提（1）P（2）T（1）E（3）T（2）I（4）T（3）E（5）T（2）I（6）T（5）E（7）ES（4）（8）US（6）（9）T（7）（8）I例证明证明：用反证法：设为附加前提（1）P（2）T（1（10）（11）（12）（13）T（9）EPUST（10）（12）I矛盾原命题成立（10）（11）（12）（13）T（9）EPUST（1证法2：用CP规则

（2）T（1）E（3）ES（2）证法2：用CP规则（2）T（1）E（3）ES（2）下列推理是否严密？例：任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。下列推理是否严密？例：任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此一阶逻辑等值演算与推理课件分析带量词的谓词公式，在进行逻辑推证时，必须正确使用US,UG,ES,EG这几个消去量词和扩张量词的规则。在推理过程中，谓词公式只能应用表2-1所列的蕴含式和等价式，除表中所列的代量词公式外，一般的不能在量词后面的辖域内进行蕴含推导或等价变换。如：但在推理中不能作为公式引用，因为它未列入公式推理表中。根据以上分析：分析带量词的谓词公式，在进行逻辑推证时，必须正确使用US,一阶逻辑等值演算与推理课件一阶逻辑等值演算与推理课件第五章一阶逻辑等值演算与推理主要内容：重要的等值式①在有限个体域内消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式基本规则①置换规则②换名规则③代替规则前束范式与公式的前束范式自然推理系统F第五章一阶逻辑等值演算与推理主要内容：要求：深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则准确地求出给定公式的前束范式正确地使用UI,UG,EG,EI规则，特别要注意它们之间的关系对给定的推理，正确地构造出它的证明

要求：一、量词否定等值式例：设P(x)：X今天去过操场（1）不是所有人今天去过操场存在一些人今天没有去过操场（2）不存在一些人今天去过操场所有人今天都没有去过操场。5.1一阶逻辑等值式与置换规则一、量词否定等值式例：设P(x)：X今天去过操场5.1一阶证：设个体域中的客体变元为证：设个体域中的客体变元为二、量词辖域的扩张与收缩等值式二、量词辖域的扩张与收缩等值式例：证明：证：例：证明：证：类似的可以推出：

例如类似的可以推出：例如三、量词分配等值式例如联欢会上所有人既唱歌又跳舞和所有人唱歌且所有人跳舞。这两个语句意义相同。根据上式亦有：三、量词分配等值式例如联欢会上所有人既唱歌又跳舞和所有人唱四、多个量词的使用对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。存在一个乙村的人，甲村的人和他同姓。四、多个量词的使用对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。存在全称量词与存在量词在公式中出现的次序，不能随意更换。具有两个量词的谓词公式，有如下一些蕴含关系。存在一个甲村的人，乙村的人都和他同姓。对于乙村的人，甲村都有人和他同姓。全称量词与存在量词在公式中出现的次序，不能随意更换。具有两个五、量词分配中的一些推理关系式这些学生都聪明或这些学生都努力这些学生都聪明或努力。这些学生都聪明或努力这些学生都聪明或这些学生都努力。五、量词分配中的一些推理关系式这些学生都聪明或这些学生都努力说明:以上五种单个量词的谓词演算式可类似推广到多个量词的情况。类似的有：说明:以上五种单个量词的谓词演算式可类似推类似的有：5.2一阶逻辑前束范式前束范式：谓词公式具有形式：则该公式叫前束范式。其中Ｑi是量词或，A是不含量词的谓词公式。方法：利用换名规则及代替规则求前束范式5.2一阶逻辑前束范式前束范式：谓词公式具有形式：方法例:求下列公式的前束范式.１、原式例:求下列公式的前束范式.１、原式一阶逻辑等值演算与推理课件４、４、１、全称量词消去规则（UＩ）5.3一阶逻辑推理理论x是Ａ(x)中自由出现的个体变项；y为任意不在Ａ(x)中约束出现的个体变项；c为任意的个体常项。2、全称量词引入规则（UG）y在Ａ(y)中自由出现，且y取任何值时Ａ均为真；取代y的x不能在Ａ(y)中约束出现，否则会产生错误。１、全称量词消去规则（UＩ）5.3一阶逻辑推理理论x例：证明苏格拉底的三段论（2）(1)ＵＩ（3）A（S）（4）M（S）证明：A(x):x是一个人M(x)：x是要死的S:苏格拉底

（1）前提引入前提引入（2)(3)假言推理例：证明苏格拉底的三段论（2）(1)ＵＩ（3）A（S）（（3）存在量词引入规则（ＥＧ）（4）存在量词消去规则（EＩ）c是特定的个体常项；取代c的x不能已在Ａ(c)中出现过。c是使Ａ为真的特定的个体常项；c不曾在Ａ(x)中出现过；Ａ(x)中除x外还有其他自由出现的个体变项时,不能用此规则。（3）存在量词引入规则（ＥＧ）（4）存在量词消去规则（EＩ）证明：(2)EI(3)化简(1)UI(4)(5)假言推理(7)(8)合取引入(9)EG例：证明前提引入前提引入(3)化简(6)化简证明：(2)EI(3)化简(1)UI(4)(5)假言推理(7例证明证明：用反证法：设为附加前提（1）P（2）T（1）E（3）T（2）I（4）T（3）E（5）T（2）I（6）T（5）E（7）ES（4）（8）US（6）（9）T（7）（8）I例证明证明：用反证法：设为附加前提（1）P（2）T（1（10）（11）（12）（13）T（9）EPUST（10）（12）I矛盾原命题成立（10）（11）（12）（13）T（9）EPUST（1证法2：用CP规则

（2）T（1）E（3）ES（2）证法2：用CP规则（2）T（1）E（3）ES（2）下列推理是否严密？例：任何人违反交通规则，则要受到罚款，因此，如果没有罚款，则没有人违反交通规则。下列推理是否严密？例：任何人