人教版数学八年级上册14-公式法(第2课时)课件

14.3.2公式法第2课时运用完全平方公式分解因式14.3.2公式法第2课时运用完全平方公式分解因式1学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）21.什么是因式分解？把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？（1）提公因式法；（2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).复习引入1.什么是因式分解？把一个多项式转化为几个整式的积的形式.23

你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？拼出图形为：aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式新课讲解你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的4这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababa²ababb²（a+b）2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：新课讲解这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）25a2+2ab+b2a2－2ab+b2

我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.中间项第一项和第三项底数的积的±2倍.新课讲解a2+2ab+b2a2－2ab+b2我们把a²+26完全平方式的特点：

1.必须是三项式（或可以看成三项）；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

完全平方式：新课讲解完全平方式的特点：完全平方式：新课讲解7简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.

凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.将这样的三项式写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.新课讲解简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些83.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm-33x2m3新课讲解3.a²+4ab+4b²=()²+2·(9下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）ab不是a与b的积的2倍.新课讲解下列各式是不是完全平方式？是（2）只有两项；不是（3）4b²10

如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故N=(-3)2=9.【变式】如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，∴m=±8.±8新课讲解例1如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N是11解题技巧：解此类题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算时，要注意积的2倍的符号，避免漏解．新课讲解解题技巧：解此类题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数12

分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2abb2a2(2)中，首项有负号，一般先利用添括号法则将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.例2新课讲解分解因式：分析：(1)中，16x2=(4x)213解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

=-[x2-2·x·2y+(2y)2]新课讲解解：(1)16x2+24x+914

分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例3新课讲解分解因式：解：(1)原式=3a（x2+2xy+y215

利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.新课讲解利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等16【练习】因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．新课讲解【练习】因式分解：＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：17

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)²

(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.＝2500.例4新课讲解把下列完全平方公式分解因式：解：(1)原式=（18

已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1

的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.解题技巧：解此类题常通过配方将原式转化为非负数的和的形式，再利用非负数性质求解．例5新课讲解已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，19

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a22b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△ABC是等边三角形．解：△ABC是等边三角形．理由如下：即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，例6新课讲解已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a201.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为______．±4随堂即练1.下列四个多项式中，能因式分解的是()2215.把下列多项式因式分解.

（1）x2－12x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1－x2.

(2)原式=[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b－1)2.解：(1)原式=x2－2·x·6+62=(x－6)2.

(3)原式=(y+1)²－x²=(y+1+x)(y+1－x).随堂即练5.把下列多项式因式分解.(2)原式=[2(2a+b)]22(2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.随堂即练(2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9237.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；

(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．解：(1)∵a－b＝3，∴a(a－2b)＋b2＝a2－2ab＋b2

＝(a－b)2

＝32＝9.(2)∵ab＝2，a＋b＝5，

∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)

＝ab(a＋b)2

＝2×52＝50.随堂即练7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；解：(24完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点（1）多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负课堂总结完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点25►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。26►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满27►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢晶的。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热2814.3.2公式法第2课时运用完全平方公式分解因式14.3.2公式法第2课时运用完全平方公式分解因式29学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）301.什么是因式分解？把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？（1）提公因式法；（2）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).复习引入1.什么是因式分解？把一个多项式转化为几个整式的积的形式.231

你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？拼出图形为：aabbabababa²b²ab用完全平方公式分解因式新课讲解你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的32这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababa²ababb²（a+b）2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：新课讲解这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）233a2+2ab+b2a2－2ab+b2

我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.中间项第一项和第三项底数的积的±2倍.新课讲解a2+2ab+b2a2－2ab+b2我们把a²+234完全平方式的特点：

1.必须是三项式（或可以看成三项）；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

完全平方式：新课讲解完全平方式的特点：完全平方式：新课讲解35简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.

凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.将这样的三项式写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2

两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.新课讲解简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些363.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm-33x2m3新课讲解3.a²+4ab+4b²=()²+2·(37下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）ab不是a与b的积的2倍.新课讲解下列各式是不是完全平方式？是（2）只有两项；不是（3）4b²38

如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故N=(-3)2=9.【变式】如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，∴m=±8.±8新课讲解例1如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N是39解题技巧：解此类题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算时，要注意积的2倍的符号，避免漏解．新课讲解解题技巧：解此类题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数40

分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2abb2a2(2)中，首项有负号，一般先利用添括号法则将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.例2新课讲解分解因式：分析：(1)中，16x2=(4x)241解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

=-[x2-2·x·2y+(2y)2]新课讲解解：(1)16x2+24x+942

分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.例3新课讲解分解因式：解：(1)原式=3a（x2+2xy+y243

利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.新课讲解利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等44【练习】因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．新课讲解【练习】因式分解：＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：45

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)²

(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.＝2500.例4新课讲解把下列完全平方公式分解因式：解：(1)原式=（46

已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1

的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.解题技巧：解此类题常通过配方将原式转化为非负数的和的形式，再利用非负数性质求解．例5新课讲解已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，47

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a22b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△ABC是等边三角形．解：△ABC是等边三角形．理由如下：即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，例6新课讲解已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a481.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．BB14.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为______．±4随堂即练1.下列四个多项式中，能因式分解的是()2495.把下列多项式因式分解.

（1）x2－12x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1－x2.

(2)原式=[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b－1)2.解：(1)原式=x2－2·x·6+62=(x－6)2.

(3)原式=(y+1)²－x²=(y+1+x)(y+1－x).随堂即练5.把下列多项式因式分解.(2)原式=[2(2a+b)]50(2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.随堂即练(2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9517.(1)已知a－b＝3