一元二次方程之韦达定理课件

韦达定理韦达定理1.他是十六世纪法国著名的数学家；2.我们曾学过以他的名字命名的定理；3.这个定理研究的是一元二次方程中根与系数的关系.韦达1.他是十六世纪法国著名的数学家；2.我们曾学过以他的名字一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X1,2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)X1,2=一.定理的内容设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1,x2，

那么（⊿≥0）一.定理的内容设一元二次方程ax2+bx+c=0(a二.定理的由来∵x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴∴简而言之，由来于“求根公式”二.定理的由来∵x1,x2为一元二次方程ax2+算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3-4-4-1--2算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为△≥0一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq推论如果方程x2+px+q=0的两根是－Pq推论说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。

求：(1)

(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=

-3(1)=

==(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2

-2×(-3)＝6典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解1：设方程的另一个根为x1.答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。由韦达定理，得x1＋2=k+1x1

*2=3k解这方程组，得x1=－3k=－2典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解2：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由韦达定理，得x1*2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个你会做吗？你会做吗？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=

1,x2=2

(2)x1=

3,x2=-6(3)x1=

-,x2=(4)x1=

-2+

,x2=-2-你会做吗？你会做吗？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根2、设x1,今天我学会了......1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a≠0（2）根的判别式△≥0今天我学会了......1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3∴当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0解：设2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=02、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实二个核心和为积为三个体验A分类性

B整体性C探索性四个注意一个定理

(表述根与系数关系)①韦达喜欢一般式②

韦达重视关系式③韦达要求△≥0④韦达可以逆着用四.回顾与思考说一说二个核心和为积为三个体验A分类性B整体性韦达定理韦达定理1.他是十六世纪法国著名的数学家；2.我们曾学过以他的名字命名的定理；3.这个定理研究的是一元二次方程中根与系数的关系.韦达1.他是十六世纪法国著名的数学家；2.我们曾学过以他的名字一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X1,2=一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)X1,2=一.定理的内容设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1,x2，

那么（⊿≥0）一.定理的内容设一元二次方程ax2+bx+c=0(a二.定理的由来∵x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根∴∴简而言之，由来于“求根公式”二.定理的由来∵x1,x2为一元二次方程ax2+算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3-4-4-1--2算一算（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为△≥0一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq推论如果方程x2+px+q=0的两根是－Pq推论说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。

求：(1)

(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=

-3(1)=

==(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2

-2×(-3)＝6典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解1：设方程的另一个根为x1.答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。由韦达定理，得x1＋2=k+1x1

*2=3k解这方程组，得x1=－3k=－2典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解2：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由韦达定理，得x1*2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个你会做吗？你会做吗？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=

1,x2=2

(2)x1=

3,x2=-6(3)x1=

-,x2=(4)x1=

-2+

,x2=-2-你会做吗？你会做吗？已知x1,x2是方程3x2+px+q=0试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根2、设x1,今天我学会了......1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a≠0（2）根的判别式△≥0今天我学会了......1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3∴当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0解：设2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2