高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章线性空间§1集合映射一授课内容：§1集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和谢谢阅读号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念谢谢阅读设是集合,与的公共元素所组成的集合谢谢阅读B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并精品文档放心下载集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为精品文档放心下载与B的差集,记做。精品文档放心下载法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为感谢阅读精品文档放心下载的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又感谢阅读是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.精品文档放心下载设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。当然也可以写成，。（2）求和号的性质·６０·容易证明,,.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：谢谢阅读§2线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.精品文档放心下载三教学重点：线性空间的定义与简单性质。四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间)设VV上有一个二元运感谢阅读K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,精品文档放心下载且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律,有；3、4、存在负元，即，存在，使得;5、“16、数乘结合律,都有；7、分配律,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:感谢阅读线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。谢谢阅读（2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义，线性空间的加法和谢谢阅读数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题4。1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.·６１·证明:设与均是零元素，则由零元素的性质,有；，设都是的负向量，则,于是命题得证。由于负向量唯一，我们用代表的负向量.定义4。2(减法）我们定义二元运算减法“-”如下:谢谢阅读定义为。命题4。2线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、加法满足消去律;2、可移项；3、可以消因子且，则；4、。(3）线性空间的例子例4。1令V表示在上可微的函数所构成的集合,令,V中加法的定义感谢阅读就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法，V构成K上的线感谢阅读性空间.4。1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关精品文档放心下载精品文档放心下载性无关组。定义给定VK内s个数，谢谢阅读称为向量组的一个线性组合.定义4.4(线性表出)给定V内一个向量组,设是V内的一个向量，如感谢阅读果存在K内s个数，使得，则称向量可以被向量组线性表出.谢谢阅读定义4.5（向量组的线性相关与线性无关)给定V内一个向量组，如感谢阅读果对V内某一个向量，存在数域K精品文档放心下载性相关；若由方程必定推出,则称向量组线性无关。命题4。3设，则下述两条等价:1)线性相关；·６２·2）某个可被其余向量线性表示.证明同向量空间。定义4。6（线性等价）给定V内两个向量组（Ⅰ）,（Ⅱ）,如果（Ⅰ）中任一向量都能被（Ⅱ）线性表示,反过来，(Ⅱ)中任一感谢阅读向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.定义给定V内一个向量组，如果它有一感谢阅读个部分组满足如下条件：则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题谢谢阅读中并没有用到的一些特有的性质，于是那些命题在线性空间中依然成立。谢谢阅读定义一个向量组的任一极大线性无关部分组中均谢谢阅读包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例4.2求证：向量组的秩等于2(其中).精品文档放心下载于，等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是.谢谢阅读所以线性无关,向量组的秩等于2.证毕。方法二：若在上，两端求导数，得，以代入，有而,于是.证毕.§3维数、基与坐标一授课内容：§3维数、基与坐标·６３·二教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间的基与维数，向量的坐精品文档放心下载标的有关定义及性质。三教学重点：基与维数、向量坐标的有关定义。四教学难点:基与维数、向量坐标的有关定义.五教学过程：1.线性空间的基与维数，向量的坐标设V是数域K上的线性空间，则有:定义4。9(基和维数)如果在V中存在n个向量,满足：精品文档放心下载1)线性无关；2）V中任一向量在K上可表成的线性组合，则称为V的一组基。基即是V的一个极大线性无关部分组.基的个数定义为线性空间的维谢谢阅读数.命题4。4设V是数域K上的n维线性空间,而.若V中任一向量皆谢谢阅读可被线性表出,则是V的一组基。证明：由与V的一组基线性等价可以推出它们的秩相等.感谢阅读命题4。5设V为K上的n维线性空间,，则下述两条等价：精品文档放心下载1）线性无关；2)V中任一向量可被线性表出。定义设V为K上的n维线性空间,是它的一组谢谢阅读基.任给,由命题4。4,可唯一表示为的线性组合，即，使得,于是我们称谢谢阅读为在基下的坐标。易见,在某组基下的坐标与V/K中的向量是一一对应的关系。感谢阅读§4基变换与坐标变换一授课内容:§4基变换与坐标变换二教学目的：通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算,精品文档放心下载坐标变换公式。·６４·三教学重点：基变换与过渡矩阵的定义、运算,坐标变换公式。感谢阅读四教学难点:坐标变换公式的应用。五教学过程：1。线性空间的基变换，基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间,设和是两组基,且将其写成矩阵形式.定义4。11我们称矩阵为从到的过渡矩阵.命题4设在n维线性空间V/K是K上一个n阶精品文档放心下载方阵.命则有是V/K的一组基，当且仅当T可逆。证明:若是线性空间V/K感谢阅读方程,其中,，线性无关.构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程,其中,两边用作用,得到,.证毕。2.向量的坐标变换公式;中的两组基的过渡矩阵(1)向量的坐标变换公式设V/K有两组基为和，又设在下的坐标为，即,在下的坐标为，即·６５·.现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即记于是。于是,由坐标的唯一性，可以知道,这就是坐标变换公式.感谢阅读(2)中两组基的过渡矩阵的求法我们设中两组基分别为和而按定义,T的第i个列向量分别是在基下的坐标.将和看作列向量分别排成矩阵;，A和BA化为单位矩精品文档放心下载阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:。§5线性子空间一授课内容:§5线性子空间二教学目的：通过本节的学习，掌握线性子空间的定义、判别定理.精品文档放心下载三教学重点：线性子空间的定义、判别定理。四教学难点：线性子空间的判别定理.五教学过程:1。线性空间的子空间的定义定义4.12（子空间)设V是数域K上的一个线性空间,M时V的一个精品文档放心下载M关于V内的加法与数乘运算也组成数域K上的一个线性感谢阅读空间，则称为V的一个子空间.·６６·命题设V是K上的线性空间,又设一个非空集合，则是子空间谢谢阅读当且仅当下述两条成立:i）对减法封闭；ii)对于K中元素作数乘封闭.感谢阅读证明:必要性由定义直接得出;充分性:各运算律在V中已有,所以W满足运算律的条件.谢谢阅读只需要证明且对于任意,，且对加法封闭即可。关于加法封闭.于精品文档放心下载是W是V的一个子空间.证毕.事实上,W关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。命题设W是V的一个有限维子空间,则W的任一组基可以扩充精品文档放心下载为V的一组基.若，对作归纳:设为W的一组基,取,则线性无关.于是令,易见,W’是谢谢阅读V的一个子空间,且,此时，对其用归纳假设即可。§6子空间的交与和一授课内容：§6子空间的交与和二教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的交与和的定义、性质及维精品文档放心下载数公式。三教学重点：子空间的交与和的定义及维数公式。四教学难点:子空间的交与和的性质及维数公式.。五教学过程：1。子空间的交与和，生成元集定义4。13设,则是V的一个子空间,称为由生成的子空间,记为.易见，生成的子空间的维精品文档放心下载数等于的秩。定义4。14（子空间的交与和）设为线性空间V/K的子空间，定义感谢阅读,称为子空间的交；·６７·，称为子空间的和。命题4.9和都是V证明:由命题4。7，只需要证明和关于加法与数乘封闭即可.感谢阅读事实上,,则，.由于均是V的子空间，则,于是，关于加法封闭；,,，精品文档放心下载于是,关于数乘封闭.，关于加法封闭；,，使得,由于,则，关于数乘封闭.证毕.精品文档放心下载命题4。10设是V的子空间,则和均为V的子空间。感谢阅读2.维数公式.定理4.1设V为有限维线性空间,为子空间,则谢谢阅读.这个定理中的公式被称为维数公式.谢谢阅读的基,，只需要证明是的一组基即可。首先，易见中的任一向量都可以被线性表出。事实上,,则,其中,而精品文档放心下载于是可被线性表出.只要再证明向量组线性无关即可.设，其中。则(＊)于是，，于是,记为。·６８·则可被线性表示，设，代入（＊)，有,由于是的一组基,所以线性无关,则，代回（*)，又有,于是向量组线性无关.证毕。推论2.1设都是有限为线性空间V的子空间,则:感谢阅读.证明：对t作归纳.§7子空间的直和一授课内容：§7子空间的直和二教学目的:通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性精品文档放心下载质。三教学重点:子空间的直和的四个等价定义。四教学难点:子空间的直和的四个等价定义.五教学过程:1.子空间的直和与直和的四个等价定义定义设V是数域K上的线性空间,是V谢谢阅读一向量,表达式.是唯一的，则称为直和，记为或。定理设为数域K上的线性空间V上的有限为子空间,则下述四条等谢谢阅读价:1）是直和；·６９·2)零向量表示法唯一；3);证明:显然.设则。由2)知，零向量的表示法唯一，于是,即的表示法唯一.由直和的定义可知,是直和.假若存在某个，使得,则存在向量且，于是存在，使得。由线性空间的定义，，则，与零向量的表示法唯一矛盾,于是。若2)不真,则有,其中且。于是，与3)矛盾,于是2）成立。对m作归纳.①=2时,由维数公式得到.②设已证，则对于，而，都有;由归纳假设,可以得到。·７０·,都有，于是.证毕.推论设为V的有限维子空间，则下述四条等价:i)是直和；ii)零向量的表示法唯一;iii）;2。直和因子的基与直和的基命题设，则的基的并集为V的一组基。证明:设是的一组基,则V4.5，感谢阅读它们线性无关，于是它们是V的一组基。证毕.3.补空间的定义及存在性定义设为V的子空间,若子空间满足,则称为的补空间。精品文档放心下载命题有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明：设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间，取的一组基,谢谢阅读将其扩为V的一组基取,则有，且,于是，即是的补空间.证毕.§8线性空间的同构一授课内容:§1线性空间的同构二教学目的：通过本节的学习，掌握线性空间同构的有关定义及线性感谢阅读空间同构的判定.三教学重点:线性空间同构的判定.四教学难点：线性空间同构的判定。五教学过程：1。线性映射的定义·７１·定义设为数域上的线性空间，为映射,且满足以下两个条件：精品文档放心下载i)；ii)，则称为(由到的)线性映射.由数域上的线性空间到的线性映射的全体记为Hom，或简记为Hom.谢谢阅读定义中的i）和ii)二条件可用下述一条代替：.例是上的线性空间,也是上线性空间,取定一个上的矩阵，定义映射感谢阅读则是由到的线性映射。例考虑区间上连续函数的全体，它是R上的线性空间,令精品文档放心下载再令则是由到的一个线性映射。定义设是线性映射i)如果是单射，则称是单线性映射（monomorphism)；感谢阅读感谢阅读iii)如果既单且满，则称为同构映射(简称为同构,isomorphism),并感谢阅读谢谢阅读射的逆映射也是同构映射；iv)的核(kernel)定义为；v）的像(image）定义为,也记为；命题和是的子空间.证明：容易证明它们关于加法和数乘封闭。vi）的余核定义为.命题线性映射是单的当且仅当ker，是满的当且仅当coker。谢谢阅读定理（同态基本定理)设是数域上的线性空间