高等数学(上册)教案22 定积分的概念与性质

第5章定积分的概念与性质1.理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2.理解定积分的概念及其性质；3.掌握定积分的几何意义;1.定积分的概念及其性质；1.曲边梯形面积求法的思维方法；学时

【教学过程】:感谢阅读案例研究曲边梯形的面积问题感谢阅读面图形（如图5—1所示)．下面来求该曲边梯形的面积．精品文档放心下载分析变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算。感谢阅读相应的也就变化不大.于是，考虑用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干似代替整个曲边-15—2当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。感谢阅读图根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积。（1）分割在闭区间上任意插入个分点，,将闭区间分成个小区间，它们的长度依次为，过每一个分点作平行于轴的直线，把曲边梯形分成个小曲边梯形；感谢阅读（2）取近似在每个小区间上任取一点,以小区间为底，为高作小矩形，用

小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，即感谢阅读，感谢阅读面积的近似值，即

；（4）取极限当分点个数无限增加，且小区间长度的最大值（）趋于零时,

上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值,即精品文档放心下载。5.1.1定积分的定义1设函数在闭区间上有界，在闭区间中任意插入个分点谢谢阅读，将区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作和，记感谢阅读,，极限值称为函数在上的定积分，记为精品文档放心下载。即，其中称为积分变量，称为被积函数,称为被积表达式，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间，符号读作函数从到的定积分。

按定积分的定义,两个引例的结果可以分别表示为：

感谢阅读关于定积分的定义作以下几点说明：（1）和式的极限存在（即函数在上可积)是指不论对区间怎样分法,也不论精品文档放心下载对点怎样取法,极限都存在.感谢阅读么字母无关，即

。(3）定义中要求积分限，我们补充如下规定：当时，当时，（4）函数可积的两个充分条件：若上连续，则上可积.若上有界，且只有有限个第一类间断点,则上可积。定积分的几何意义感谢阅读与轴所围成的曲边梯形的面积；精品文档放心下载负值，如图5－3；当在上有正有负时,定积分在几何上表示轴，曲线及两直线所围成的各个曲

边梯形面积的代数和（见图5－4)，即。感谢阅读5.1.2定积分的性质以下性质中函数均为可积函数.性质1函数和(差）的定积分等于它们定积分的和(差）,谢谢阅读即。性质1可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2被积函数的因子可以提到定积分的符号外图4

即，（为常数）。感谢阅读性质3如果在区间上，则

，特别地，时,.性质3的几何意义如图5－7所示.性质如果积分区间被点分成两个区间和,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和，即

。精品文档放心下载注意:无论的相对位置如何，总有上述等式成立.

性质5如果在区间上，,则.谢谢阅读性质6（定积分的单调性）如果在区间上，有,则。例2比较下列各对积分值的大小（1）与（2）与解(1）由幂函数的性质，在上，有由定积分性质，得（2）在内有，得性质7（估值定理）如果函数在闭区间上的最大值为,最小值为，则。谢谢阅读性质7精品文档放心下载大致范围.例3估计定积分的值。解先求在区间上的最大值和最小值，为此求得，令，得驻点,比较驻点处感谢阅读与区间端点处的函数值：,,得最小值,最大值，再根据估值定理,得。性质8（积分中值定理）如果