中考复习§二次函数教学课件

中考数学

§3.4二次函数中考数学

§3.4二次函数考点一二次函数的图象与性质1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7

B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7

D.y=(x+4)2-25答案

B

y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.考点一二次函数的图象与性质1.(2018山西,9,3分)用22.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 ()A.2>y1>y2

B.2>y2>y1C.y1>y2>2

D.y2>y1>2答案

A由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧,y随x的增

大而减小,又∵1<2,∴2>y1>y2,故选A.2.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B33.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是 ()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案

D图象的对称轴为直线x=-

=-1,在y轴的左侧,故A错;∵当x=0时,y=-8,∴图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;∵y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),∴图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)2≥0,∴(x+1)2-9≥-9,∴y的最小值为-9,故D正确.中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件3.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+244.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位,则平移

后得到的抛物线的顶点一定在 ()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

D解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3=

+

,∴平移后得到的抛物线的顶点坐标为

.∵m>1,∴

>0,-m2+6m-13=-(m-3)2-4<0,即

<0.∴顶点在第四象限,故选D.解法二:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3.∵m>1,∴Δ=b2-4ac=[-(m-1)]2-4(m-3)=(m-3)2+4>0.∵m>1,∴

>0,∴对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,∴顶点在第四象限.故选D.中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件4.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线55.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对

称,则符合条件的m、n的值分别为()A.

,-

B.5,-6

C.-1,6

D.1,-2答案

D若两条抛物线关于y轴对称,则两条抛物线的对称轴关于y轴对称,两条抛物线与y轴交于同一

点,由

解得

故选D.中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件5.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛66.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方

形有公共点,则实数a的取值范围是 ()

A.

≤a≤3

B.

≤a≤1C.

≤a≤3

D.

≤a≤1答案

A当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a=

,由图象可知

≤a≤3,故选A.中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件6.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标77.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下

表:x…-2-1012…y…m0-3n-3…(1)根据以上信息,可知抛物线开口向

,对称轴为

;(2)求抛物线的表达式及m,n的值;(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P',描出相应的点P',再把相应的点

P'用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线;(4)设直线y=m(m>-2)与抛物线及(3)中的点P'所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请

根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系:

.中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件7.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+8解析(1)上;直线x=1.详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上.由题表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的对称轴为直线x=

=1.(2)由题表可知抛物线过点(0,-3).∴y=ax2+bx-3.将(-1,0),(2,-3)代入,得

解得

∴y=x2-2x-3.当x=-2时,m=(-2)2-2×(-2)-3=5;当x=1时,n=12-2×1-3=-4.(3)如图1所示,点P'所在曲线是抛物线.详解:设P(x',y'),P'(x,y),∵P'是OP的中点,∴x'=2x,y'=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-2×2x-3,即中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件解析(1)上;直线x=1.中考复习§二次函数教学课件中考复9y=2x2-2x-

,为点P'所在曲线的表达式,∴点P'所在曲线是抛物线.(4)A3A4-A1A2=1.详解:如图2.设点A1,A2,A3,A4对应的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,∴A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,∴A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1)

=x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x1,x4,∴x1+x4=2,令y=2x2-2x-

=m,可得2x2-2x-

-m=0,它对应的两个根应为x2,x3,∴x2+x3=1,∴A3A4-A1A2=2-1=1.中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件y=2x2-2x- ,为点P'所在曲线的表达式,∴点P'所在108.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.解析(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,∴-

=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2. (2分)当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去.当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.∴k=-3. (4分)(2)∵点P到y轴的距离为2,∴点P的横坐标为-2或2.又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且由(1)知k=-3,∴当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5. (6分)∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5). (8分)中考复习§二次函数教学课件中考复习§二次函数教学课件8.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x211易错警示(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-

.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.易错警示(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴12考点二系数a、b、c的作用1.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,

m)在抛物线上,则下列结论中错误的是 ()

A.ab<0B.一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间C.a=

D.点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t>

时,y1<y2

考点二系数a、b、c的作用1.(2020云南昆明,13,413答案

D∵抛物线的开口向上,∴a>0,根据对称轴在y轴右侧可知-

>0,∴b<0,所以ab<0,A选项结论正确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次

方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,B选项结论正确;易知x=-

=1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,-2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=

,C选项结论正确;易证当t=

时,y1=y2;当t<

时,点P1距离对称轴较远,y1>y2,当t>

时,点P2距离对称轴较远,y1<y2,D选项结论错误.故选D.答案

D∵抛物线的开口向上,∴a>0,根据对称轴在y142.(2020新疆,8,5分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=

在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ()

2.(2020新疆,8,5分)二次函数y=ax2+bx+c的15答案

D由抛物线开口向上可得a>0.∵抛物线的对称轴x=-

在y轴右侧,∴-

>0,而a>0,∴b<0.由抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上可得c>0.当a>0,b<0时,一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限;当c>0时,反比例函数y=

的图象经过第一、三象限,故选D.答案

D由抛物线开口向上可得a>0.163.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x…-2-1012…y=ax2+bx+c…tm-2-2n…且当x=-

时,与其对应的函数值y>0.有下列结论:①abc>0;②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;③0<m+n<

.其中,正确结论的个数是 ()A.0

B.1

C.2

D.33.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c17答案

C由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(0,-2),(1,-2),∴对称轴为直线x=

=

,c=-2,由题意可知,a>0,b<0,c<0,∴abc>0,∴①正确.根据二次函数图象的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=

的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t(a≠0)的两个根,∴②正确.∵对称轴为直线x=

,∴-

=

,∴b=-a,∵当x=-

时,y>0,∴

a-

b-2>0,即

a+

a-2>0,∴a>

.∵对称轴为直线x=

,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,m),(2,n),∴m=n,又当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,∴m+n=4a-4,∵a>

,∴4a-4>

,∴③错误.故选C.答案

C由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c(a18考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时,

对应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为 ()A.0

B.-1

C.-

D.-

答案

D依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴.∴-(a+2)=0,解得a=-2.∴方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2,∴x1·x2=-

,故选D.解题关键明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键.考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020内蒙古192.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m

=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是

 ()A.-2或0

B.-4或2

C.-5或3

D.-6或42.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+20答案

B∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,∴由抛物线的对称性可知,函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-1,又∵关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,∴当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m>0)有两个根,其中一个根是3.则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,设直线y=-m(m>0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3,由对称性得点A的横坐标是-5,如图所示.

设直线y=-n(0<n<m)与函数y=ax2+bx+c的图象交于C、D,点C的横坐标为x1,点D的横坐标为x2,∵a<0,∴-5<x1<-3,1<x2<3,∵关于x的方程ax2+bx+c=-n(0<n<m)有两个整数根,∴这两个整数根是-4或2,故选B.答案

B∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-213.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=

x+

上,若抛物线y=ax2-x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是 ()A.a≤-2

B.a<

C.1≤a<

或a≤-2

D.-2≤a<

3.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知22答案

C令ax2-x+1=

x+

,即ax2-

x+

=0,若直线与抛物线有两个不同的交点,则有

-4×

a>0,解得a<

.若抛物线与线段AB有两个不同的交点,则①当a<0时,

解得a≤-2,∴a≤-2;②当a>0时,

解得a≥1,∴1≤a<

.综上所述,1≤a<

或a≤-2,故选C.答案

C令ax2-x+1= x+ ,即ax2- x+234.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-

x2+

x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,Q两点,则线段PQ的长为

 ()

A.3

B.1+

C.4

D.2

4.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=- x224答案

D在y=-

x2+

x+2中,令x=0,则y=2,∴C(0,2);令y=0,则-

x2+

x+2=0,解得x=-2或4,∴A(-2,0).∵CD∥AB,∴点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2,令y=2,则-

x2+

x+2=2,解得x=0或2,∴D(2,2).设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0),将(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得

解得

∴直线AD的解析式为y=

x+1,令y=

x+1中的x=0,则y=1,∴E(0,1).令-

x2+

x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1±

,所以PQ=(1+

)-(1-

)=2

,故选D.思路分析根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CD∥AB,所以点

D的纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系

数法求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q

的横坐标,进而可求出PQ的长.答案

D在y=- x2+ x+2中,令x=0,则y=255.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有

下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-3<a+b<3.其中,正确结论的个数为 ()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),其对称轴在y轴右侧,∴抛物线不能经过

点(1,0),∴①错误.∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,∴抛物

线开口向下,与直线y=2有两个交点,∴方程ax2+bx+c=2(a≠0)有两个不相等的实数根,故②正确.∵抛物线

的对称轴在y轴右侧,∴-

>0.∵a<0,∴b>0.把(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,∴b=a+3,a=b-3.∴-3<a<0,0<b<3.∴-3<a+b<3.故③正确.故选C.5.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+266.(2020内蒙古包头,19,3分)在平面直角坐标系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点,将抛

物线y=x2+bx+1向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n的最小值为

.答案4解析∵抛物线过点A(-1,m),B(5,m),∴(-1)2-b+1=52+5b+1,解得b=-4,∴y=x2-4x+1=(x-2)2-3,∴抛物线的顶

点坐标为(2,-3).将抛物线y=(x-2)2-3向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n>3.

∴n的最小值为4.6.(2020内蒙古包头,19,3分)在平面直角坐标系中,已277.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是

.答案

k>-1解析若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则Δ=4+4k>0,解得k>-1.7.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+288.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-

bx的解是

.答案

x1=-2,x2=5解析解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的

横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以

将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2

=5.解法二:依题意,得

解得

所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x,化简得x2-3x-10=0,解得x1=-2,x2=5.8.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+29考点一二次函数的图象与性质教师专用题组1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内,下列说法正确的

是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D.

考点一二次函数的图象与性质教师专用题组1.(2019浙江温302.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在 ()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

C当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-

=-

<0,

=

=

<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a313.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为 ()A.-1

B.2

C.0或2

D.-1或2答案

D

y=x2-2x+1=(x-1)2,当a≥1时,在a≤x≤a+1时,y随x的增大而增大,函数的最小值为a2-2a+1,则a2-2

a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+1≤1,即a≤0时,在a≤x≤a+1时,y随x的增大而减小,函数的最小值为(a+

1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0<a<1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,

不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D.3.(2018湖北黄冈,6,3分)当a≤x≤a+1时,函数y324.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为 ()A.y=3(x-3)2-3

B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3

D.y=3x2-6答案

A直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.选A.4.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右335.(2020四川南充,10,4分)关于二次函数y=ax2-4ax-5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2

-m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则-

<a≤-1或1≤a<

;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a<-

或a≥1.其中正确的结论是

()A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③5.(2020四川南充,10,4分)关于二次函数y=ax2-34答案

D∵抛物线y=ax2-4ax-5(a≠0)的对称轴为直线x=-

=2,且x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称,∴对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等.故①正确.当x=3时,y=-3a-5,当x=4时,y=-5.若a>0,当3≤x≤4时,-3a-5≤y≤-5,∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,∴-9<-3a-5≤-8,∴1≤a<

.若a<0,当3≤x≤4时,-5≤y≤-3a-5,∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,∴-2≤-3a-5<-1,∴-

<a≤-1.故②正确.答案

D∵抛物线y=ax2-4ax-5(a≠0)的对35若a>0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,得Δ=16a2+20a>0,即a(4a+5)>0,可得a>0.∵AB≤6,抛物线对称轴为直线x=2,∴当x=5时,y=25a-20a-5=5a-5≥0,∴a≥1.若a<0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,得Δ=16a2+20a>0,即a(4a+5)>0,可得a<-

.∵AB≤6,抛物线对称轴为直线x=2,∴当x=5时,y=25a-20a-5=5a-5≤0,解得a≤1.∴a<-

.综上所述,当a<-

或a≥1时,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6.故③正确.故选D.若a>0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,36思路分析由题意可得抛物线的对称轴为直线x=-

=2,由对称性可判断①正确;分a>0和a<0两种抛物线开口方向讨论②③,当x=3时,y=-3a-5,当x=4时,y=-5.根据函数图象的性质可得-3a-5≤y≤-5或-5≤y≤-3

a-5.当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,可以得出-3a-5的取值范围,进而得出a的取值范围,判断出②正

确;抛物线与x轴交于不同两点,说明Δ=16a2+20a>0.然后根据AB≤6,可得当x=5时函数值y满足的条件,得

出a的取值范围,进而可知③正确.思路分析由题意可得抛物线的对称轴为直线x=- =2,由对称376.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=

x2-6x+a+27,下列说法错误的是

()A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5B.当x=12时,y有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大7D.当a<0时,图象与x轴有两个不同的交点6.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y= x38答案

C

y=

x2-6x+a+27=

(x-12)2+a-9,将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=

(x-10)2+a+1,当x=4,y=5时,5=

×(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确.当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确.当x=2时,y=

×(2-12)2+a-9=a+16,a+16-(a-9)=25,故C中说法错误.∵Δ=(-6)2-4×

×(a+27)=36-a-27=9-a,∴当a<0时,Δ>0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C.答案

C

y= x2-6x+a+27= (x-1397.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交

于点B,连接AB,将Rt△OAB向右上方平移,得到Rt△O'A'B',且点O',A'落在抛物线的对称轴上,点B'落在抛

物线上,则直线A'B'的表达式为 ()A.y=x

B.y=x+1C.y=x+

D.y=x+2答案

B令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y=

x-3.∵将Rt△OAB向右上方平移得到Rt△O'A'B',且点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,∴点B'的横坐标

为4,代入抛物线表达式可得B'(4,5).∵A'B'∥AB,∴可设直线A'B'的表达式为y=x+b,将点B'(4,5)代入可得b=

1,∴直线A'B'的表达式为y=x+1,故选B.思路分析首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以

向右上方平移后O'B'∥x轴,A'B'∥AB,又点O'、A'落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B'的横坐标为4,从

而可求点B'的坐标,将点B'的坐标代入所设的直线A'B'的表达式中即可得解.7.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标408.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交

于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是

.答案

a>1或a<-1解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),

与y轴的交点为(0,1-a).分两种情况:①当a<0时,如图(1),要满足题意,则需a-1>2a,可得a<-1;②当a>0时,如图(2),要满足题意,则需a-1>0,可得a>1.综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.8.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x41解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且P,Q都在x轴的下方,∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.令y=x2-2ax<0,当a>0时,解得0<x<2a;当a<0时,解得2a<x<0.分两种情况:①当a>0时,若

有解,则a-1>0,解得a>1;②当a<0时,若

有解,则2a<a-1,解得a<-1.综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.难点突破根据二次函数图象的特点分a<0和a>0两种情况考虑是解答本题的突破口.解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的429.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-

x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1

向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

9.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系43解析(1)令y=0,则-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y≥0时,-2≤x≤6.(2)由题意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=

=2.∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分别为

,1.解析(1)令y=0,则- x2+2x+6=0,44考点二系数a、b、c的作用1.(2020天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c>1)经过点(2,0),其对称轴是直线x=

.有下列结论:①abc>0;②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;③a<-

.其中,正确结论的个数是 ()A.0

B.1

C.2

D.3考点二系数a、b、c的作用1.(2020天津,12,3分)45答案

C抛物线的对称轴是直线x=

,即-

=

,∴-

=1,∴a+b=0,ab<0.①∵ab<0,c>1,∴abc<0,①错误;②抛物线经过点(2,0),将(2,0)代入得4a+2b+c=0,又∵a+b=0,∴2a+c=0,即c=-2a,方程ax2+bx+c=a可化为ax2

+bx+c-a=0,Δ=b2-4a(c-a)=b2-4ac+4a2=a2+8a2+4a2=13a2,∵a≠0,∴Δ=13a2>0,∴方程有两个不等的实数根,②正确;③∵c>1,∴c=-2a>1,∴a<-

,③正确.故正确结论的个数是2.故选C.解题关键本题结合一元二次方程、一元一次不等式考查二次函数的图象和性质,题目比较综合.根据

对称轴方程找到a,b的关系和将(2,0)代入得到a,c之间的关系是解题的关键.答案

C抛物线的对称轴是直线x= ,即- = ,解题462.(2020广东,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1.下列结论:①abc>0;②b2-4ac>0;③8a+c<0;④5

a+b+2c>0,正确的有 ()

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个答案

B根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a<0,c>0.又∵抛物线的对称轴是直线x=-

=1,∴b=-2a>0,∴abc<0,故①错误.根据抛物线与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,故②正确.观察题图发现当x=-

2时,y=4a-2b+c<0.又∵b=-2a,∴8a+c<0,故③正确.观察题图发现当x=2时,y=4a+2b+c>0,当x=-1时,y=a-b

+c>0,两式相加,得5a+b+2c>0,故④正确.故选B.2.(2020广东,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx473.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=

的图象如图所示,则一次函数y=

x-b的图象可能是

()

3.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二48答案

B由二次函数的图象可知a<0,b>0,由反比例函数的图象可知c>0,∴

<0,-b<0,∴一次函数y=

x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.答案

B由二次函数的图象可知a<0,b>0,由反比例494.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 (

)A.c<0B.b2-4ac<0C.a-b+c<0D.图象的对称轴是直线x=3答案

D由题图得抛物线与y轴的正半轴相交,所以c>0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;当x=-1

时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c>0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=

=3,选项D正确,故选D.4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2505.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确

的是 ()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0答案

B因为抛物线的开口向上,所以a>0,又对称轴在y轴右侧,所以-

>0,所以b<0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以abc>0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,故选B.思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位

置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.5.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中516.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a

经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,∴B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度得到点C,∴C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1,∴A(-1,0).将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,∴抛物线的对称轴为直线x=-

=-

=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的

对称点(3,0).由(2)得y=ax2-2ax-3a.①a>0时,如图1.6.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直52

图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥

.②a<0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.

53

图2将x=0代入抛物线解析式得y=-3a,∵抛物线与线段BC恰有一个公共点,∴-3a>4,∴a<-

.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.

54

图3将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.综上所述,a≥

或a<-

或a=-1.

55考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是 ()A.0个

B.1个C.2个

D.1个或2个答案

D∵直线y=x+a不经过第二象限,∴a≤0.当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解;当a<0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,Δ=4-4a>0,∴方程有两个解.故方程有1个解或2个解.故选D.易错警示本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C.考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020广东广562.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为

实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2≤t<11

B.t≥2

C.6<t<11

D.2≤t<6答案

A∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,∴b=-2,∴y=x2-2x+3,∴一元二次方程x2+2x+3-t=0有实数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,对于y=x2-2x+3,当x=-1时,y=6,当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时取最小值2,∴2≤t<11.故选A.思路分析根据所给的抛物线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+2x+3-t=0有实

数根看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1<x<4确定y的取值范围即可求解.2.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3573.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整

数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则 ()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确答案

D不妨设c>0.一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y轴向上

平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+

2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c

(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当2<c≤5

时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点,即一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:

y=x+2有唯一公共点.显然c=3,4,5.当直线y=x+2-c为图中l1时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有

唯一公共点.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的结果合在一起也不正确,

故选D.3.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=584.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与

一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是 ()A.b>8

B.b>-8

C.b≥8

D.b≥-8答案

D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.

将①代入②得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0,所以b≥-8,故选D.4.(2017四川绵阳,10,3分)将二次函数y=x2的图象595.(2020湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;②若点C(-5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;③对于任意实数t,总有at2+tb≤a-b;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是

(填写序号).答案①③解析∵点A、B是抛物线与x轴的交点,∴ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4,故①对;由A、B两点可知抛物线

的对称轴方程是x=

=-1,则(-5,y1)关于抛物线的对称轴的对称点为(3,y1),∵a<0,∴抛物线开口向下,∴当x>-1时,y随x增大而减小,∵π>3,∴y2<y1,故②错;当x=-1时,y取得最大值a-b+c,∴对于任意实数t,at2+bt+c

≤a-b+c,即at2+bt≤a-b,故③对;对于a的每一个确定值,若ax2+bx+c=p的根为整数,等价于抛物线y=ax2+bx+

c与直线y=p交点的横坐标为整数,而这样的直线有无数条,即p值有无数个,故④错.解题关键抓住抛物线的对称性和对称轴方程是判断正误的关键.5.(2020湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+606.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△

PAB的周长最小时,S△PAB=

.

答案

6.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛61解析联立直线与抛物线的解析式得方程组

解得

或

∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),∴AB=

=3

,作点A关于y轴的对称点A',则A'(-1,2),连接A'B与y轴交于P',则当点P与P'重合时,△PAB的周长最小,

设直线A'B的解析式为y=kx+b,k≠0,解析联立直线与抛物线的解析式得方程组 解得 或 62则

解得

∴直线A'B的解析式为y=

x+

,当x=0时,y=

,即点P'的坐标为

,将x=0代入y=x+1中,得y=1,∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°,∴点P'到直线AB的距离是

×sin45°=

×

=

,∴△P'AB的面积是

=

.∴当△PAB的周长最小时,S△PAB=

.则 解得 637.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.解析(1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0,因为Δ=(4+k)2+4>0,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2

,所以△OAB的面积S=

·OC·|x1-x2|=

×1×2

=

.7.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1648.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-

与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P

,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.8.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛65解析(1)∵抛物线y=ax2+bx-

与y轴交于点A,∴点A的坐标为

.∵将点A向右平移2个单位长度,得到点B,∴点B的坐标为

.(2)∵点B

在抛物线上,∴4a+2b-

=-

,即b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=1.(3)点A

,B

,P

.解析(1)∵抛物线y=ax2+bx- 与y轴交于点A,66当a>0时,-

<0,如图1.

图1设抛物线上的点C

.∵当x<1时,y随x的增大而减小,∴yC<-

.设抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随x的增大而增大,∴xD>2.当a>0时,- <0,如图1.67结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a<0时,(i)当-

<a<0时,-

>2,如图2.

图2设抛物线上的点C

.∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>-

.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.68设抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).∵当x>1时,y随着x的增大而减小,∴xD>2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=-

时,A(0,2),B(2,2),P

,Q(2,2),如图3.

图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).设抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).69(iii)当a<-

时,0<-

<2,如图4.

图4设抛物线上的点C

.∵当x<1时,y随x的增大而增大,∴yC>-

.设抛物线上的点D(xD,yD)

,(iii)当a<- 时,0<- <2,如图4.70∵当x>1时,y随x的增大而减小,∴xD<2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a≤-

.解题关键解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等

的关系,进而关注点Q与抛物线的位置关系.∵当x>1时,y随x的增大而减小,∴xD<2.解题关键解决719.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是

该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记

W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.9.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次72解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y

=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,

2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2. (6分)(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0<m<4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点

B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4

的图象上,所以-2

+4=m,即

=2-

,从而BC2=4

=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4),所以m=1时,W取最小值7. (12分)解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0<m<4),过点A且垂直于y轴的直线

与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=

,x2=-

.所以BC=2

,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+

=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4).所以m=1时,W取最小值7. (12分)解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,73A组2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟分值:55分一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020广西崇左江州一模,10)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-m的图象上的三点,则y1,y2,y3

的大小关系是 ()A.y1<y2<y3

B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2

D.y1<y3<y2

答案

B由y=x2+4x-m=(x+2)2-m-4可得抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,∴A(-4,y1),B(-3,y2)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.∵-4<-3,∴y2<y1.根据二次函数图象的对称性可知,C(1,y3)与(-5,y3)关于直线x=-2对称,∴y3>y1.故y3>y1>y2.故选B.A组2018—2020年模拟·基础题组1.(2020广西崇742.(2020海南琼海一模,7)抛物线y=(x-1)2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是 ()A.y=-(x-1)2+3

B.y=(x+1)2+3C.y=(x-1)2-3

D.y=-(x-1)2-3答案

D

∵抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),∴此抛物线关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(1,-3),且开口向下,∴所求抛物线解析式为y=-(x-1)2-3.故选D.2.(2020海南琼海一模,7)抛物线y=(x-1)2+3关753.(2020湖北荆州4月模拟,9)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+ac的图象不经过 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案

D由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得a>0,-

<0,c>0,∴b>0,ac>0.∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选D.3.(2020湖北荆州4月模拟,9)二次函数y=ax