初一数学培优汇总(精华)

20132013初一数学培优汇总（精华）第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：m3、有理数的本质定义，能表成一（n丰0,m,n互质）。n4、性质：①顺序性（可比较大小）；四则运算的封闭性（0不作除数）；稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：①Ia1=；"""-0）②非负性（Ia1>0,a2>0）[-a（a<0）③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】：1、若abf0,则—+型-凹的值等于多少？abab2、如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求x2—（a+b+cd）x+（a+b）2oo6+（—cd）2007的值。aQb4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么Ia—bI+1a+bI化简的结果等于（A.2aB.—2aC.0D.2b5、已知（a—3）2+Ib—2I=0，求ab的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么口,出,C—a中有几个负数？b一cc一aa一b0，7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b,a的形式式，又可表示为0，，b的形式，求a2006+b2007。a

8、三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且abc|ab||bc||ac|X=+++++则ax3+bx2+cx+1的值是多少？|a||b||c|abbcac9、若a,b,c为整数，且Ia-bI2007+|c-aI2007=1，试求|c-aI+1a-bI+1b-cI的值。三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+・・・+2005+20062、计算：1X2+2X3+3X4+…+n(n+1)91733651293、计算：一+一++++已知a,b为非负整数，且满足丨a-bI+ab=1，求a,b的所有可能值。5、若三aIIbIIcIIabcI个有理数a,b,c满足一+一+=1，求的值。abcabc第二讲数系扩张--有理数(二)一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义丨aI=Ia-0I表示数a对应的点到原点的距离。丨a-bI表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1、(1)若-2<a<0，化简丨a+2I+1a-2I2）若xp0，化简2）若xp0，化简x-3I-1xI2、设ap0，且x＜缶，试化简Ix+1I-1x-2I3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?Ia+Ia+bI=IaI+1bI;Ia-bI=Ib-aI;IabI=IaIIbI;若IaI=b贝Ua二b20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总(精华)若|apIbI，则apb(6)若afb，则丨aIfIbI4、若Ix+5I+1x-21=7，求x的取值范围。5、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果Ia-bI+1b-cI=Ia-cI，那么B点在A、C的什么位置？6、设apbpcpd，求Ix-aI+1x-bI+1x-cI+1x-d丨的最小值。7、abcde是一个五位数，apbpcpdpe,求Ia-bI+1b-cI+1c-dI+1d-eI的最大值。8、设a,a,a,L,a都是有理数，令M=(a+a+a+L+a)12320061232005(a+a+a+L+a),N=(a+a+a+L+a)(a+a+a+L+a),试^匕234200612320062342005较M、N的大小。三、【课堂备用练习题】：1、已知f(x)=Ix-1I+1x-2I+1x-3I+L+1x-2002I求f(x)的最小值。2、若Ia+b+1I与(a-b+1)2互为相反数，求3a+2b-1的值。3、如果abc丰0，求空+型+勺的值。abc4、x是什么样的有理数时，下列等式成立？丨(丨(x-2)+(x-4)I=Ix-21+1x-411(7x+6)(3x-5)I=(7x+6)(3x-5)5、化简下式：5、化简下式：Ix-1xIIx第三讲数系扩张--有理数(三)一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。6cVLQn2。2)减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、【典型例题解析】：(3、(5、(1、1、计算：0.75+-23+(+0.125)+|—12—+—4-14丿17丿18丿2、计算：(1)、56+(-0.9)+4.4+(-8.1)+1(1、(1、(1\+-31++6-+-2113J12丿14丿（-43）(-1|I-(+（-43）(-1|I-(+1.75)3)、4、（2（3（4）3.75-04、（2（3（4）3.75-0+1-(7、(1、(1、(1、—4-—-51+—4-—+3-18丿12丿14丿18丿(3「(5「(1「2—++4-「8丿<6丿「2丿3化简：计算：（1）(—1)—(3「-(+5)-(4]「-丿「-丿-0.125+|-4|(2)(3)(5)x+1-13丿14丿16丿(1)(1)(1)—1—+—4———2—12J14丿13丿3、计算：①（七）757-4.035X12+7.535X12-36X(-—-+—)9618(2「(2)8(13)—2-x—1-<-丿15丿——14丿3—(—3)23)⑵一a*一（-。也x5、计算：(1)(-2)3+3—(—3)23)⑵一a*一（-。也x1—0.5十2x-r<1+1(3丫1x(—2)4(-6—14丿6、计算：6、计算：TOC\o"1-5"\h\z)—10—-—0.54丿134711137、计算：(一—一)x[0.25-+(——)3]—(5-—1.25—4―)一[(0.45)2+(2一)-]+(—1)200281634242001

第四讲数系扩张--有理数（四）、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0）；①凑整（凑0）；②巧用分配律1、③去、添括号法则；④裂项法综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】341、③去、添括号法则；④裂项法综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】34、计算：237970.7xl—-6.6x--2.2一-+0.7x—+3.3一-3118111t1.41t1.411TL—)x(—\-H\-L31996234111x(—++—+L+)2341996(1+需)—(1—1一1—L—需)兀3、计算：①一22+(—2)2—13.14—兀I——I—3.141(-1)3②5—3x{-2+4x[—3x(—2)2—(—4)-(—1)3]—7}4、化简：(x+y)+(2x+y)+(3x+y)+L(9x+y)并求当x=2,y=9时TOC\o"1-5"\h\z1x22x38x9的值。5、计算：6、比较S22+132+142+1n5、计算：6、比较S=+++L+22—132—142—1n2—1234n=—+—+—++L+与2的大小。48162»134711137、计算：(一—一)x[0.253+(——)3]—(5-—1.25—4―)一[(0.45)2+(2——)3]+(—1)2002816342420018、已知a、b是有理数'且a8、已知a、b是有理数'且apb，含c=弓x=，y=，请将3a,b,c,x,y按从小到大的顺序排列。三、【备用练习题】：11112221、计算(1)—+一+一+——+一(2)++L+2870130208lx33x599xlOl2、计算:2007—-2006—+2005—-2004—+L1—-—323233、计算:3、计算:20064、如果(a-"2+|b+21二0，求代数式(b-a)2+(a+b)2006的值。2ab+(a+b)20055、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求a2-b2+一（】一2m+m2）的值。cd第五讲代数式（一）一、【能力训练点】:1）列代数式；（2）代数式的意义；3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】:1、用代数式表示:（1）比x与y的和的平方小x的数。（2）比a与b的积的2倍大5的数。（3）甲乙两数平方的和（差）。（4）甲数与乙数的差的平方。（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差（7）比a的平方的2倍小1的数。（8）任意一个偶数（奇数）（9）能被5整除的数。10）任意一个三位数。20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总(精华)2、代数式的求值：已知口=5，求代数式2(2a-b)+3也的值。a+ba+b2a-b已知x+2y2+5的值是7,求代数式3x+6y2+4的值。已知a二2b;c二5a，求6"十2b_C的值(c丰0)a—4b+c12a-2b-ab已知—-—=3，求的值。baa—b+2ab已知：当x二1时，代数式Px3+qx+1的值为2007,求当x=-1时，代数式Px3+qx+1的值。已知等式(2A—7B)x+(3A—8B)=8x+10对一切x都成立，求A、B的值。已知(1+x)2(1-x)=a+bx+cx2+dx3，求a+b+c+d的值。当多项式m2+m-1=0时，求多项式m3+2m2+2006的值。3、找规律：I.(1)(1+2)2-12二4(1+1)；(2)(2+2)2-22二4(2+1)(3+2)2-32二4(3+1)(4)(4+2)2-42二4(4+1)第N个式子呢？第N个式子呢？22II.已知2+—=22x一；33+上=42x_±；151533+-=32x-；88若10+=102xbb(a、b为正整数)，求a+b二?III.13=12；13+23二32；13+23+33=62；1+23+33+43=1。2；猜想:13+23+33+43+L+n3=?三、【备用练习题】：1、若(m+n)个人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要多少天？32、已知代数式3y2-2y+6的值为8,求代数式一y2—y+1的值。23、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，

而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？4、已知a—1(n—1,2,3,L,2006)求当a—1时，n+1r111+—anaa+aa+L+aa122320062007第六讲代数式（二）一、【能力训练点】：（1）同类项的合并法则；（2）代数式的整体代入求值二、【典型例题解析】：1、已知多项式2y+5x2-9xy2+3x+3nxy2-my+7经合并后，不含有y的项,求2m+n的值。2、当50-（2a+3b）2达到最大值时，求1+4a2-9b2的值。3、已知多项式2a3-a2+a-5与多项式N的2倍之和是4a3-2a2+2a-4，求N?4、若a,b,c互异，且==—，求x+y+Z的值。a一bb一cc一a5、已知m2+m一1=0，求m3+2m2+2005的值。6、已知m2一mn=15,mn一n2=-6，求3m2一mn一2n2的值。7、已知a，b均为正整数，且ab=1，求汩+岛的值。8、求证112L31??242等于两个连续自然数的积。9、2006个1已知9、2006个1已知abc=12006个2求一a一+

ab+a+1bbc+b+1c+ac+c+1的值。10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？三、【备用练习题】：N=ab+——1+a1+b1、已知N=ab+——1+a1+bM=丄+苗，

2、已知x2—x—1=0，求x3—2x+1的值。3、已知===K，求K的值。y+zx+zx+y4、a=355,b=444,c=533，比较a,b,c的大小。5、已知2a2—3a—5=0，求4a4—12a3+9a2—10的值。第七讲发现规律一、【问题引入与归纳】我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。二、【典型例题解析】1、观察算式：+3=凹纟,1+3+5=皿3,1+3+5+7上公4,1+3+5+7+9=35丄,2222按规律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+（2n—1）=？2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了多少块石子？■*'3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖*第2个第g个（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第n第2个第g个4、观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n个图形中三角形的个数为多少？$5、观察右图，回答下列问题：®@@@応Lt®@@@（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？（3）某一层上有77个点，这是第几层？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？K⑸sEu。bsE6V7O°IcCig0i。6、读一读：式子“1+2+3+4+5+・・・+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为100n，这里“Z”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+・・・+99”（即从1开始的100门以内的连续奇数的和）可表示为0（2n-1）;又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示为010n3，同学们，通过以上n=1材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+-+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；mVtXJz6。mXWvmON。QQTQawA。（2）计算：0（n2-1）=（填写最后的计算结果）。n=17、观察下列各式，你会发现什么规律？3X5=15，而15=42-15X7=35，而35=62-111X13=143，而143=122-1TOC\o"1-5"\h\z将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。r一i2348、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出2~*2468—*■S69L213+23+33+…+1003的值。.f—K，1S1216TOC\o"1-5"\h\z三、【跟踪训练题】11、有一列数a,a,a,aLa,其中：a=6X2+1，a=6X3+2，a=6X4+3，a=61234n1234X5+4;…则第n个数a=，当a=2001时，n=。nn

2、将正偶数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826TOC\o"1-5"\h\z根据上面的规律，则2006应在行列。3、已知一个数列2,5,9,14,20,x,35…则x的值应为：（）4、在以下两个数串中：3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…，1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个。A.333334C.335D.336△△△△5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6△△△△种规定填写下表的空格：拼成一行的桌子数123•••n人数46•••6、给出下列算式：2一12=8X1TOC\o"1-5"\h\z2一32=8x272一52=8x392一72=8x4AAAAA观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：7、通过计算探索规律：152=225可写成100X1X（1+1）+2520132013初一数学培优汇总(精华)20132013初一数学培优汇总(精华)252=625可写成100X2X(2+1)+25352=1225可写成100X3X(3+1)+25452=2025可写成100X4X(4+1)+25752=5625可写成归纳、猜想得：(10n+5)2=根据猜想计算：19952二8、已知12+22+32+A+n2=-n(n+l)2n+1),计算:6112+122+132+…+192=；9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，呼+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？第八讲综合练习(一)—曲2叫1、若口=5，求上二+5X±^的值。x+y2x+2y3x-3y2、已知丨x+y-91与(2x-y+3)2互为相反数，求yx。3、已知Ix-21+x-2=0，求x的范围。4、判断代数式的正负。x|abcd||a||b||c||d|5、若=—1，求一+一++的值。abcdabcd6、若丨ab-2I+(b-1)2二0，求丄+1+1+Lab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)1(a+2007)(b+2007)7、已知-2pxp3，化简|x+2|-|x-3|8、已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值等于2,P是数轴上的表示原点的数，求P1000-cd+a+b+m2的值。abcd9、问□中应填入什么数时，才能使I2006xW-2006l=2006

10、a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简：Ia+bI+1b-II—Ia-c丨一11-cI-12b-3111、若af0,bp0，求使Ix-aI+1x-bI=Ia-bI成立的x11、12、计算.(212、计算.(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)232-12004x2004-200472005x2005-2005、已知a=-，b=-2003x2003+20032004x2004+20042006x2006-2006c=-，求abc。2005x2005+20051399911914、已知P=,q=，求P、q的大小关系。99999015、有理数a,b,c均不为0,且a+b+c=0。设x=|丄卩+丄刃-+丄门-1，求代数b+cc+aa+b式x19-99x+2008的值。第九讲一元一次方程(一)、知识点归纳：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、元一次方程的解的理解与应用。43、二、典型例题解析：「解下列方程"「解下列方程"呼=罟-1--1]-2=x+2;2L314丿」0.5⑶0.7+型-0'2=1.5-5x

0.20.5TOC\o"1-5"\h\zb+3b+32、能否从(a-2)x=b+3;得到x=，为什么？反之，能否从x=得a—2a—2到(a-2)x=b+3，为什么？3、若关于x的方程竺严=2+丁，无论k为何值时，它的解总是％=1，求m、m、n的值。4、若(3x+1)5二ax5+ax4+L+ax+ao＜求a—a+a—a+a—a的值。54105432105、已知x二1是方程丄mx=3x-的解，求代数式(m2-7m+9)2007的值。226、关于x的方程(2k-1)x=6的解是正整数，求整数K的值。7、若方程2x—上竺=4—6x与方程2mx—土5=2—竺二1同解，求m的值。468、关于x的一元一次方程(m2—1)x2—(m+1)x+8=0求代数式200(m+x)(x一2m)+m的值。9、解方程丄+亠+亠+L+x=20061x22x33x42006x200710、已知方程2(x+1)=3(x—1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)—3(x—a)]=3a的解。11、当a满足什么条件时，关于x的方程Ix—21—Ix—51=a，①有一解；②有无数解；③无解。第十讲一元一次方程(2)一、能力训练点：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题(如经济问题、利润问题、增长率问题)二、典型例题解析。1、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？vcmHEbS。oaOwCyf。3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？vz8r1hvH1qZ0BDl7uXqWp20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总（精华）4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1后，用水加满，第二次倒出它3的1后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%,求原来酒精溶液的浓度vakZsE32vakzsE3。8、某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？9、1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从

获悉到追及小孩各需多少时间？数形结合谈数轴一、阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：1、利用数轴能形象地表示有理数；2、利用数轴能直观地解释相反数；3、利用数轴比较有理数的大小；4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。二、知识点反馈1、利用数轴能形象地表示有理数；例1:已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，那么（）A.ab<bB.ab>bc.a+b>0D.a一b>0拓广训练：1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b,b-2a,|a-b|,|b|—|a|中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2c.3D.43、把满足2<a<5中的整数a表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2:如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为。拓广训练：1、在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则a-3二.2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点0的距离之和等于。（北京市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例3:已知a>0,b<0且a+b<0，那么有理数a,b,-a,|b|的大小关系是。（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）拓广训练:1、若m<0,n>0且mi>W，比较一m,-n,m+n,m一n,n一m的大小，并用“>”号连接。例4:已知a例4:已知a<5比较与4的大小拓广训练：1、已知a>-3，试讨论|a|与3的大小2、已知两数a,b,如果a比b大，试判断|a|与|b|的大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a++|b一化简结果为「‘・A）-1aO1beA.2a+3b一cB.3b一cc.b+cd.c一b拓广训练：1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b\—|b—1|—|a—c\—1—c|的结果>为。baOe12、已知|a2、已知|a+b\+|a—b|=2b，在数轴上给出关于b0a~*②是—①ba,b的四种情况如图所示，则成立的0ba*④3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图：则|c—1|+|a—c|+|a—b\化简后的结果是（）（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）1OA.b-1b.2a-b-1C.1+2a-b-2cCd.1—2c+b三、培优训练1、已知是有理数，且（x|—1）+1、已知是有理数，且（x|—1）+（2y+1》=0，那以x+y的值是（133C.2或一2D—1或213B.—22（07乐山）如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B,位长度到达点C.若点C表示的数为1,则点A表示的数为A.7B.3C.—3D.—23、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，A.2、5Bor——-J<再向右移动5个单点A、B、C、D对应的数分别是整数a,b,c,d且d—2a=10，那么数轴的原点应是（）A.A点B.B点C.C点D.D点4、数a,b,c,d所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么a+c与b+d的大小关系是()A.a+c小关系是()A.a+c<b+dB.a+c=b+幺Dc.』+dD.不确定的5、不相等的有理数a,b,c在数轴上对应点分别为A，B，C,若|a—b|+|b—c|=|a—c|，那么点B（）A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在A、C点之间D.以上均有可能6、设y=|x—1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）

A.y没有最小值B.只一个x使y取最小值有限个x（不止一个）使y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值117、在数轴上，点A,B分别表示-3和5，则线段AB的中点所表示的数8、若a>0,b<0，则使|x-a\+|x-b|=a-b成立的x的取值范围是c9、10095x+x+9、10095x+x+221221x是有理数，则的最小值10、已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示:dbOac且6||a|=6b|=3C|=4d\=6,求|3a-2d|-|3b-2a|+|2b-c|的值。11、（南京市中考题）（1）阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数a,b，A、B两点这间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有当A、B两点都不一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，IABI=OB=|b|=当A、B两点都不在原点时，①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=OB-|OA|=|b|在原点时，①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=OB-|OA|=|b|-|a|=b-a=O(A)B才oba-bO②如图3,点A、B都在原点的左边|AB|=OB—|OA|=bl—ia=-b—(—a)=|a—彳;③如图4,点A、b在原点的两边|ab|=OA+OB=\a+bi=a+(-b)=a-b。B~b~BOao_>aoA_（2）回答下列问题：boa综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|。①数轴上表示2和5两点之间的距离，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离；②数轴上表示x②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果|AB=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x-2取最小值时，相应的x的取值范围是④求|x—1|+|x—2+|x—3*卜|x—1997］的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总(精华)1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法去绝对值符号法则：a(a>0)|a|=<0(a=0)-a(a<0)2、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看|a|表示数a的点到原点的距离；|a-b\表示数a、数b的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质①问>0②a2=|a|2=a2③|ab|=|a|•|b||a+b<|a|+b|⑥|a-b\>|a|-|b|二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例1：已知|a|=5,b|=3且|a-b|=b-a那么a+b=拓广训练：1、已知a=1,b|=2,c=3,且a>b>c，那么(a+b—c)2=。(北京市“迎春杯”竞赛题)2、若|a|=&|b|=5，且a+b>0，那么a-b的值是()A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-132、恰当地运用绝对值的几何意义例2：|x+1|+|x—1|的最小值是()A.2B.0C.1D.-1解法1、分类讨论当x<-1时，x+1|+x—1==-(x+1)-(x-1)=-2x>2；当一15x口1时，|x+1|+|x—1|=x+1-(x—1)=2；|=x+1+(x—1)=2x>2。当x>1时|x+1|+|x-1比较可知，|x+1|+|x—1|的最小值是2，故选A。解法2、由绝对值的几何意义知|x-1|表示数x所对应的点与数1所对应的点之间的距离；x+1|表示数x所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；Ix+1|+|x-1|的最小值是指x点x-1x1x到1与-1两点距离和的最小值。如图易知当一1Wx<1时，|x+1|+|x—1|的值最小，最小值是2故选A。拓广训练：1、已知|x—3+|x+2的最小值是a，|x—3—|x+2的最大值为b，求a+b的值。三、培优训练TOC\o"1-5"\h\z1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示：-2_-10~b1则在a+b,b一2a，—|aI，|a一bI，|a+2|,-|b一4|中,负数共有（）（湖北省荆州市竞赛题）A.3个B.1个C.4个D.2个2、若m是有理数，则m—m一定是（）A.零氏非负数C.正数D.负数3、如果|x—2+x—2=0，那么x的取值范围是（）A.x>2b.x<2c.x>2d.x<24、a,b是有理数，如果|a—b\=a+b，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中（）（第15届江苏省竞赛题）A.只有（1）正确B.只有（2）正确C.（1）（2）都正确D.（1）（2）都不正确5、已知a=—a，则化简a—1—a—2所得的结果为（）A.—1B.1C.2a—3D.3—2a6、已知0<a<4，那么|a—2+3—a|的最大值等于（）A.1B.5C.8D.97A.1B.5C.8D.97、已知a,b,c都不等于零，且x=ab—+同+cabc—+~\，根据a,b,c的不同取值，x有（）abcA.唯一确定的值B.3种不同的值C.4种不同的值D.8种不同的值8、满足|a—=|a|+b|成立的条件是（）（湖北省黄冈市竞赛题）A.ab>0B.ab>1C.ab<0D.ab<19、若29、若2<x<5x—5则代数式——-x—5+的值为x10、若ab>0则尬+10、若ab>0则尬+M—卑的值等于abab11、已知a,b,c是非零有理数且a+b+c=0,abc>0，ab求万+囚+|b|cabc—+~-~I的值。cabc12、已知a,b,c,d是有理数，|a—b—9,|c—d—16,且|a—b—c+d|=25,求|b—a—|d—c的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：x(x>0)我们知道|x|=<0(x=0),现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如-x(x<0)化简代数式|x+1+|x—2时，可令x+1=0和x—2=0，分别求得x=—1,x=2(称—1,2分别为|x+1|与|x—2的零点值)。在有理数范围内，零点值x=—1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：当x<—1时，原式二一Cx+1)—Cx—2)=—2x+1;当一1—x<2时，原式二x+1—(x—2)=3；当x>2时，原式二x+1+x—2=2x—1。—2x+1(x<—1)综上讨论，原式二<3(—1—x<2)x—1(x>2)通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|x+2|和|x一4的零点值；(2)化简代数式|x+2|+|x一4|14、⑴当x取何值时，|x—3有最小值？这个最小值是多少？(2)当x取何值时，5—|x+2|有最大值？这个最大值是多少？(3)求|x一4+|x一5|的最小值。(4)求|x—7+|x—8+|x—9的最小值。15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？laLQuADCB16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：DrX5l2fd。d1NTq8oA1_A?(P).A3—甲~F®乙甲乙②丙如图①，如果直线上有2台机床(甲、乙)时,很明显P设在A和A之间的任何地方都行,12

因为甲和乙分别到P的距离之和等于A到A的距离.12如图②，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床A处最合2适，因为如果P放在A处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为A到A的距离；而如果P213放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是A到A的距离，可是乙还得走13从A到D近段距离，这是多出来的，因此P放在A处是最佳选择。不难知道，如果直线上22有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）:有n机床时，P应设在何处？问题（2）根据问题⑴的结论，求|x—1|+|x—2+|x—3*卜|x—617|的最小值。有理数的运算一、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算.也就是通常说的符号演算。QbcM7Jfl7DhRKrkl4KrhCBuB数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。二、知识点反馈利用运算律：加法运算律I加法交换律a+b=b+a乘法运算律［加法结合律a+（b+c）=（a+b）+c乘法交换律a-b=b-a＜乘法结合律a-(b-c)=(-b)-c乘法分配律a(b+c)=ab+ac23r2)r2)—2.75+T—13丿13丿例1：计算：22解：原式二4.6+4+—2.75—7—=4.6—2.75—3=4.6—5.75=—1.15拓广训练：2752)、计算(1)—0.6—0.08+——0.92+2+2)511113159+—411r11r713+——6+—14丿111丿4420132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总（精华）例2：计算：f-924]I25丿x50f1)f1、10——x50二—10x50一——x50125丿125丿解：原式=-(500-2)=-498拓广训练：2、裂项相消⑷彳2彳)-2、裂项相消⑷彳2彳)-n(n+1)(i+2)nn+f1111)f2345丿11n(n+1Tn-11、计算：(2x3x4x5)x1nzr；(3)⑴鑒二-+1；⑵ababm11

n(n+m)nn+m例3、计算丄+丄+丄+•••+1x22x33x42009x2010仁1)(11)(11)(1+——+——+•••+—-12丿123丿134丿(200911111111—-+一—-+--+•••+—22334200920101—12009亠2010'20101111+—++•••1x33x55x72007x2009拓广训练：1、计算：解：原式=1]2010丿3、以符代数(71「37)(1217「38)17——+27——11—13—+8———5—1271739丿1172739丿例4：计算：2437766,11二10173939137+27——11—=1617兰+2624—1076二17兰+2624—1076二2A39271739解：分析：17=16,27=2(2727171217387令A=13+8—5，^U17-172739271、计(111)(111)—+—+•••+xf1+—+—+••1232006丿232005丿原式二2A一A=2拓广训练：(111)(111)—x—+—+•••k232006丿k232005丿算4、分解相约例5：解：原式(1x2例5：解：原式(1x2x4+2x(Lx2x4)Fn(1x2x4)]2原式、1x3x9+2x(1x3x9)FFn(1x3x9)丿1x2x4x1x3x9x(1+2FFn)'1x2x4+2x4x8HFn-2n-4n丫dx3x9+2x6x18FFn-3n-9n丿=(1x2x4¥_64=、1x3x9丿_729三、培优训练b20091、a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，则a2007+二200811112、计算：(1)++FF二：x55x77x91997x1999(2)C0.25)4x(—8)3-2+C2)4十(—6)V—丄'二I32丿3、若a与一b互为相反数,1898a3、若a与一b互为相反数,1898a2+99b21997ab4、计算：(13\(135)一+一+一+—+—+•••+144丿1666丿则1+21397)++•••F989898丿5、计算：2—22—23—24—25—26—27—28—29+2105、199797199898—硕,—98，—丽厂99这四个数由小到大的排列顺序是.7、A．2007“五羊杯”)3140B．6288、2005“希望杯”）A．11是.7、A．2007“五羊杯”)3140B．6288、2005“希望杯”）A．11B.C.44计算：3.14x31.4F628x0.686F68.6x6.86二()C．1000D．1200—2+3—4+•••—14+15“等于()—2+4—6+8——•+28—30IID.29、2006“五羊杯”）计算：A．20510B.C.239_25x6十4+2.5x3十2二()2x9十8+1x4.5十440D.9似（2009鄂州中考）为了求1+22+23+A+22008的值，可令S「+2+2+a+2E则心22+23+24+A+22009，因此2S-S=22009—1，所以1+22+23+A+22008

220041仿照以上推理计算出1+52+53+A220041仿照以上推理计算出1+52+53+A+52009的值是（52009a,a,a，…a都是正数，如果M=(a+a++a)x(a+a++a123200412200323A、52009—1B、52010—1C、D、2004N=Ca+a+•••+a)x(a+a+•••+a)，那么M,N的大小关系是(122004232003A.M>Nb.M=Nc.M<ND.不确定b12、设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b,a的形式，又可表示为0,—,b的形式,a求a1999+b2000的值（“希望杯”邀请赛试题）13、计算（1）5.7x0.00036—（0.19x0.006—5700x0.000000164）（2009年第二十届“五羊杯”竞赛题）2)(—0.252)(—0.25)4x(—8》+〔-3112—土x(—6.5)+(-2)4丄6)亠r1113J13<32丿北京市“迎春杯”竞赛题）14、已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数，x的绝对值等于3，的值求x3—(1+m+n+ab)x2+(m+nL2001+(—ab)2003的值15、已知|ab—2+a—2=0，求1111~ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+"""+(a+2006)(?+2006)的值(2006，香港竞赛)16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为n(n+1)__2上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数—上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数—23，—22，—21，L，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：二、绝对值的意义:有理魏（1）几何意义（2）代数意义的绝对值，记作二、绝对值的意义:有理魏（1）几何意义（2）代数意义的绝对值，记作|a|。■数轴;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零当a为正也可以写成:Ia1=<0（当a为0）也可以写成:Ia1=<—a©a为负数）说明：（l）|a|M0即|a|是一个非负数；（ll）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例仁（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图:则代数式A.-3a|a|+|a+b|+|c-a|2c—aC.2a—2b-|b-c|的值等于(A)T9O6pB・D.bhJi0解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2.已知：x<0<z，xy>0，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x一y的值（C）A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）1Qt4=020132013初一数学培优汇总(精华)20132013初一数学培优汇总(精华)分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x,乙数为y由题意得：|x|=3y|，数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若X在原点左侧，y在原点右侧，即x<0，y>0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8，所以y=-2,x=6数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8，所以y二-4,x=T2若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8，所以y=4,x=12例4.(整体的思想)方程|x—2008=2008-x的解的个数是(D)A.1个B.2个C.3个D.无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程|a|=—a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5.(非负性)已知|ab—21与|a—l|互为相互数，试求下式的值.1|1|1』|1~ab(a+l)(b+1)(a+2)(b+2)(a+2007)(b+2007)分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab—2|=|a—l|=0，解得：a=1,b=2是1+1+1』|1于是~ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)++(a+2007)(b+2007)11=2211=22x313X4+K+12008x2009=-+-—+—-+K+——2334200820091200920082009在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果.同学们可12008x2010以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,—4与3.并回答下列各题：你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：相等.56s6be4]b6SDML3]pUGDSzF]若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离可以表示为_x—(_1)二x+1分析：点B表示的数为一1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。II-Jr■LI|||：当x<-1时，距离为—X—1,--当—1<x<0一时，距离为x+1,当x>0,距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为IX+1|结合数轴求得|x—2|+|x+3的最小值为,取得最小值时x的取值范围为—3WxW2.分析：IX—2|即X与2的差的绝对值，它可以表示数轴上X与2之间的距离。|x+3|=|x—(—3)|即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，X在数轴上的位置有三种可能：':图1一'*'图2：'二Z^dMCK。图2符合题意(4)满足|x+1|+|x+4>3的x的取值范围为x<-4或x>-1分析：同理IX+11表示数轴上X与-1之间的距离，IX+4I表示数轴上X与-4之间的距离。本题即求，当X是什么数时X与-1之间的距离加上X与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，|A—B\表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总（精华）四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一°5QNrtAE]gOdNdSH]tKWZAZE。2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1.若多项式2mx2一x2+5x+8—Cx2一3y+5x）的值与x无关,求m2一Lm2一（5m一4）+m]的值.分析：多项式的值与X无关，即含X的项系数均为零因为2mx2一x2+5x+8一Cx2一3y+5x）=（2m一8）x2+3y+8所以m=4将m=4代人,所以m=4将m=4代人,m2一2m2一+4m一4=一16+16一4=一4利用“整体思想”求代数式的值例2.x=-2时，代数式ax5+bx3+cx-6的值为8,求当x=2时，代数式ax5+bx3+cx-6的值。分析：因为ax5+bx3+cx一6=8当x=—2时，—25a—23b—2c—6=8得到25a+23b+2c+6=—8，所以25a+23b+2c=—8—6=—14当x=2时，ax5+bx3+cx—6二25a+23b+2c—6—（—14）—6——20例3.当代数式x2+3x+5的值为7时，求代数式3x2+9x—2的值.分析：观察两个代数式的系数由x2+3x+5—7得x2+3x—2，利用方程同解原理，得3x2+9x—6整体代人，3x2+9x—2—4代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握整体代人的方法就是其中之一。例4.已知a2+a—1—0，求a3+2a2+2007的值.分析：解法一（整体代人）：由a2+a—1—0得a3+a2—a—0所以：a3+2a2+2007由a2+=a<—J-—舛2得72=1—a,所以：如级0®2007解法三（降次、消元）:2a±1（消元、、减项）—（1—a）a+2a2+2007a3寸2—淤?00?2+2007—a3士a轴昭切007—a（a±?]-h^a200a2+2007—a-—20020071-20072008例5.（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年第二年第n年B公司：A公司10000；B公司5000+5050=10050A公司10200；B公司5100+5150=10250A公司10000+200(n-1)；[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200（n-1）由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。例6.三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x—丄+£+£+耳+网+貿，abcabacbc20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总(精华)则ax3+bx2+cx+1的值是解：因为abc<0,所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。不妨设a<0，b>0，c>0则ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b<0，c<0时，x=0。另：观察代数式ab++

另：观察代数式ab++

lbc+剛+网+网abacbe交换a、b、c的位置，我们发现代第一列第二列第三列第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725LLL根据上面规律，2007应在A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找3，11，19，27，L规律为8n-5数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：例7.如图，平面内有公共端点的六条射线0A,OB，OC，OD，OE，OF，从射线0A开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2，3，4，5，6，7，・・・.UqTOC\o"1-5"\h\z“17”在射线上,“2008”在射线上.若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为.分析：OA上排列的数为：1,7，13，19，…观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为6n-5因为17=3X6-1，所以17在射线OE上。所以2008在射线所以2008在射线0D上例8.将正奇数按下表排成5列:分析：观察第二、第三列数因为2007=250X8+7=251X8-1所以，2007应该出现在第一列或第五列又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007应该在第251行第5列例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5;

nnF②第三次F①②当n为偶数时，结果为2k（其中k是使2k为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取n=26，则：F②第三次F①F②：44第一次第n分析：问题的难点和解题关键是真正理解乍”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为2k其中k是使2k为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8。三、小结用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法ZQDEJ5Q。第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不

容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数

部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础BDDggHY。典型例题：二、典型例题例1.若关于x的一元一次方程x-3k+=1的解是例1.若关于x的一元一次方程x-3k+=1的解是x=-1，则k的值是（A.B.1C.1311D.0分析：本题考查基本概念“方程的解”20132013初一数学培优汇总(精华)20132013初一数学培优汇总（精华）因为x=-1是关于因为x=-1是关于x的一元一次方程x-3k=1的解,所以2%（-1）-k+土兰=1，解得k二-13211例2．3a-x若方程3x-5=4和方程1—3—=0的解相同则a的值为多少？分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a例2．3a-x若方程3x-5=4和方程1—3—=0的解相同则a的值为多少？分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。CxaCFQA^pQFIBil。解：3x—5=4，3x=9，x=33a-x因为3x—5=4与方程1—3=0的解相同3a-x所以把x=3代人1-3=0中3a-3即1—3=0得3—3a+3=0，-3a=-6,例3.（方程与代数式联系）a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算a=212的值为;(2)当24-12(1-x)5⑴则=18时，x二分析：（1）即a=1.因为ab=ad-be，所以12ed-12b=2，c=-1，d=2，二2—(—2)=4(2)由2(1一x)=18得：10—4(1—x)=18=ad一be-解得x=3所以解得x=3例4.（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）Da+h分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb于是，Sa=V—Sb，V=S（a+b）SaSaa由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为==一VS（a+b）a+b例5.小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里

面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间二转移到B窗口排队所需时间+—解：设开始时，每队有X人在排队，2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6X2+5X2=x-2,亠兀小x-21根据题意，可列方程：一=2++—6—去分母得3x=24+2(x-2)+6去括号得3x=24+2x-4+6移项得3x-2x=26解得x=26所以，开始时，有26人排队。课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：ax二b是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a壬0，所以ax=b不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6.解方程ax二bb解：(分类讨论)当a壬0时，x=a当a=0，b=0时，即0x=0，方程有任意解当a=0，b壬0时，即0x=b，方程无解即方程ax二b的解有三种情况。例7.问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx:(1)有唯一解；(2)有无数解；(3)无解。分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。解：将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4当2+b0当2+b0，即b-2时,方程有唯一解x=当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解,当2+b=0且a-4壬0时，即b=-2且a壬4时，方程无解，x-11-xa+b例8.解方程-=abab分析：根据题意，ab壬0，所以方程两边可以同乘ab去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b去括号，得bx-b-a+ax=a+b移项，并项得(a+b)x=2a+2b

2a+2b当a+b壬0时，x==2a+b当a+b=0时，方程有任意解说明：本题中没有出现方程ax=b中的系数a=0,b壬0的情况，所以解的情况只有两种。二、含绝对值的方程解法例9.解下列方程|5x-2\=3解法1：解法1：5x-2=3，5x=5，x=125x-2=3，5x=5，x=1当5x-2>0时，即x>—,综上，方程的解为x=1综上，方程的解为x=1或1x=——5当5x-2=0时，2即x二—，得到矛盾等式0二3，所以此时方程无解当5x-2<0时，2即x<—，15x-2=-3，x=——121因为x=1符合大前提x>—所以此时方程的解是X=1因为X二——符合大前提X<—，所以此时方程的解是X二——注：求出X的值后应注意检验X是否符合条件解法2：（整体思想）联想：|a|=3时，a二±3类比：|5X—2|=3，则5x-2=3或5x-2=-3解两个一元一次方程，方程的解为x=1解两个一元一次方程，方程的解为x=1或1x=——523x=2,x23x=2,x=3因为x=3不符合大前提X>1所以此时方程无解例10.解方程解：去分母2|x-l|-5=3移项2|x-1|=8|x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11.解方程x—1=—2x+1分析：此题适合用解法2当x-1>0时，即x>1，x-1=-2x+1当X-1=0时，即x=1，0=-2+1，0二-1，此时方程无解20132013初一数学培优汇总（精华）20132013初一数学培优汇总(精华)当x-1<0时，即x<1,1-x=-2x+1,x=0因为x=0符合大前提x<1,所以此时方程的解为x=0综上，方程的解为x=0三、小结1、体会方程思想在实际中的应用2、体会转化的方法，提升数学能力第四讲：图形的初步认识一、相关知识链接：1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2．立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）二、典型问题：（一）正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。

（一）正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种2．下图中,是正方体的展开图是(B)工1A.①②③D.(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种2．下图中,是正方体的展开图是(B)工1A.①②③D.①②④B.②③④④较高要求下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是(A)A.7B.8C.9D.10一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c二(B)A.40B.38C.36D.34分析：由题意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是(C)9.A.C.10.下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是(圆柱圆锥如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：

（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）答案：（1）F；（2）C，A（三）立体图形的三视图如图，从正面看可看到△的是（C）14．如图的几何体，左视图是（)BAB几个相同的小正方小正方体的个数是（B.4D.6a的几何体的三种B)15.如图几何A.3C.514．如图的几何体，左视图是（)BAB几个相同的小正方小正方体的个数是（B.4D.6a的几何体的三种B)15.如图几何A.3C.5（四）新颖题型16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为.主视图甕则搭成这个俯视图左视图面—黄，右面—，后面—紫，下面分析所以，从右到左，，底面依次为：白、绿、黄、紫红口丨黄：左面—绿数字和为：4+6+2+5=1717.观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见