cfd1答案by向星皓-1-二阶方程分类

《偏微分方程1【知识点提示

§2二阶方程的 【重、难点提示 【.目的为。初步了解如何辨别椭圆型偏微分方程，双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。。2auxx2buxycuyyduxeuyguf

其中abcdeg 和f都是xy 的已知函数,且在xoy平面上的某区域内具有二阶连续偏导数.假设在内的每一点处,abc都不同时为零.换句话说,方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关．3在讨论二阶偏微分方程的分类过程中,常包含有化方程为标准形式的问题,这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用 ,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时,先运用自变量变换或函数变换将方程的形式尽量化简,使其具有典型性.P(x0y0)(2.1)dyb dyb dx dx

其中b ac通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变4(x(x A22BC2

B2AC之间有如下关系J2J表示变换(2.3)的Jacobi

5 J uuux x xuuu

2x2

2

6 2u u u

y

2y

2

y

y2y2 A22BC27 A()a22bc2 通过简单的计算，我们知道(2.5)成立注1关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)J8注2在可逆自变量变换(2.3)(2.1)仍化为线性二阶偏微分方程(2.4).事实上,由2

J3 知 C()不同时为零9定义

设R2是一个区域,(x0y0若(x0y0)0,则称方程(2.1)在点(x0y0)处为双曲型偏 若在内的每一点处,方程(2.1)都是双曲型的,则称(2.1)若(x0y0)0,则称方程(2.1)在点x0y0处为抛物型偏微分方程在内的每一点处,方程(2.1)抛物型的,则称(2.1)在内为抛物型偏微分方程;若(x0y0)0,则称方程(2.1)(x0y0)处为椭圆型偏微分方程,若在内的每一点处,方程(2.1)都是椭圆型的,则称(2.1)注3根据连续性，由在一点大于零或小于零可推得在该点的某邻域中也是如此.所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一个区域中成立的,即若方程(2.1)在点(x0y0)是双曲型或椭圆型的，则它必在(x0y0的某邻域内是双曲型或椭圆型的.反之，在一点定义

若方程(2.1)在的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)中为的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域中 双曲型方程;若方程(2.1)在区域的一个子区域上椭圆型的，在的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区域中为 由(2.5)我们知道,在可逆自变量变换(2.3)下,方程的类型保持不变,即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程,椭圆型偏微分方程).因此,为了求解方程(2.1),我们常常需要找一个可逆的自变量变换,将方程(2.1)化成简单形式, (2.1)auxx2buxycuyyduxeuyguf(x 其中abcde 都是常数,由于判别式b ac是常数(i)当0时,其特征线是两族不同的实曲线(xy)y1x(xy)yxc 其中1 2 且c1 (xy)y1x(xy)yx

uDuEuGu

其中DEG都是常数.我们称这一形式为双曲型方程的第 xyuuDuE GuF(xy)xx y 其中D1E1G1都是常数.我们称这一形式为双曲型方程的第 a当0时,此时1 aa(xy)ybxcaa(xy)ybx(xy)y即可.这样方程(2.6)就可化成uD2uE2uG2uF2() a中D2E2和G2都是常数.方程(2.10)称为抛物型方程 当 时,这时没有实的特征曲线,变换(2.7)1i2

i

b

a

a(2.7)a1() 1() 2ybx acacb x 应用变换(2.11)就可把方程(2.6)化成(见本节的习题5,u

uD3uE3uG3u

其中D3E3和G3都是常数.我们称方程(2.12)为椭圆型方程 的问题,虽然我们只对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论,但对变系数方程(2.1)同样是成立的.这里要特别 的是,对变系数方程来说,它的类型与点的位置有关,即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另例 uy yux

就是如此,其判别式 ,对于y0它是双曲型的;对y0xi方程(2.13)化 情形1:当y0(2.13)dy dy dx dx 3x2y c13x2y

c2其中c1c2 33x2y33x2y 3u

1uu 0 情形2y0 x

2(y)21321u

u

3u 0例14uxx5uxyuyyuxuy2解:b2ac904

d 1d d d yxcyxc c1c2yyx u

1u

80 st u1u1u8

1u1u8

例2判断下面方程的类型并将它化 uxxuxyuyyux解:b2ac