2020高中数学 课时素养评价十三 余弦定理、正弦定理应用举例-距离问题 2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例--距离问题(25分钟·50分）一、选择题(每小题4分，共16分）1.（2019·诸暨高一检测)如图所示,设A，B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50m，∠CAB=105°，则A,B两点间的距离为 （)A。50m B。50C.25m D.252【解析】选A.由题意知,在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°,所以∠CBA=180°-45°-105°=30°，所以由正弦定理可得，AB=ACsin∠ACB2.（2019·苏州高一检测)某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，CA。4km B.6C.7km 【解析】选C.如图所示，由题意可知AB=33，BC=2,∠ABC=150°，由余弦定理得AC2=27+4-2×33×2×cos150°=49，所以AC=7，所以A，C两地距离为73。台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为 （）A.0.5小时 B.1小时C。1.5小时 D.2小时【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内,则由余弦定理得：（20t)2+402-2×20t×40cos45°=302.化简得：4t2-82t+7=0，所以t1+t2=22，t1t2=74从而｜t1-t2｜=(t4.如图,某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点。已知△ACD为正三角形，且DC=3km，当目标出现在B点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是 (）A。1。1kmC.2。9km 【解析】选C.∠CBD=180°—∠BCD—∠CDB=60°.在△BCD中由正弦定理得BD=CDsin75°在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理,得AB2=AD2+BD2—2AD·BDcos105°=3+6+222+2×3=5+23.所以AB=5+23≈答：炮兵阵地与目标的距离约为2。9二、填空题(每小题4分，共8分)5。《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2019年第1号台风“帕布"(热带风暴级)登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断。某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号【解析】如图所示，设树干底部为O,树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB=75°,∠ABO=45°，所以∠OAB=60°.由正弦定理知，OAsin45°=AB所以OA=1063米，AB=15所以OA+AB=52+5答案:（52+56）6。（2019·宁德高二检测）一艘船以每小时20km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶2h后，船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为【解析】由题意知,△ABC中,AC=20×2=40，∠BAC=30°，∠B=180°—30°-(90°+15°)=45°，由正弦定理得，BC=AC=40×12所以船与灯塔的距离为202答案：202三、解答题（共26分)7.(12分）海上某货轮在A处看灯塔B,在货轮北偏东75°，距离为126nmile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83nmile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：(1）A处与D处的距离.(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意，画出示意图,如图所示。(1)在△ABD中，由已知∠ADB=60°，∠DAB=75°，则B=45°。由正弦定理，得AD=ABsin45°答：A处与D处之间距离为24nmile。(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos30°=242+（83)2-2×24×83×32=(83)2所以CD=83（nmile）。答：灯塔C与D处之间的距离为83nmile。【加练·固】如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C,D（CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A,B（AB与河岸平行)，测得数据：AB=6m，∠ABD=60°,∠DBC=90°,∠DAB=75°。试求C，D【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°,所以∠C=180°-150°=30°,∠ADB=180°—75°-60°=45°。△ABD中，由正弦定理得AD=AB·sin∠由余弦定理得BD=AD2+AB2-2AD·AB·cos即CD的长为（6+63）m。8.(14分）（2019·眉山高一检测)如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P,C间的距离。【解析】在△ABP中，AB=30×4060∠APB=30°，∠BAP=120°，由正弦定理得BP=ABsin∠BAPsin∠在△BPC中，BC=30×8060由已知∠PBC=90°,所以PC=PB2=207（海里).答:P，C间的距离为207（15分钟·30分)1.（4分)如图所示为起重机装置示意图。支杆BC=10m，吊杆AC=15m,吊索AB=5m，A.30m B.152C.15m D.45【解析】选B.在△ABC中，AC=15m,AB=519由余弦定理得cos∠ACB=AC2=—12,所以sin∠ACB=3又∠ACB+∠ACD=180°，所以sin∠ACD=sin∠ACB=32在Rt△ACD中，AD=ACsin∠ACD=15×32=1532。（4分)甲船在岛B的正南A处，AB=10km,甲船以4km/h的速度向正北航行,同时乙船自岛B出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，A。1507min B。157C。21。5min D.2.15h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图,设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图.则BC=10—4t,BD=6t，∠CBD=120°，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2—20t+100，所以当t=514时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以此时它们的航行时间是15073.（4分）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，A，B,C,D四点共圆,则AC的长为________.

【解析】因为A，B,C，D四点共圆，所以∠D+∠B=π.在△ABC和△ADC中由余弦定理可得82+52—2×8×5×cos（π-D）=32+52-2×3×5×cosD，整理得cosD=—12代入得AC2=32+52-2×3×5×-12=49，答案：74。（4分)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD,AD=10km,AB=14∠BCD=135°,则两景点B与C的距离为________（精确到0。1km)。2≈1。414，3≈1。732,5≈2。236. 【解析】在△ABD中，设BD=xkm,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA，即142=x2+102—2·10x·cos60°，整理得,x2-10x-96=0，解得，x1=16,x2=-6(舍去)，故BD=16又因为∠BDA=60°，AD⊥CD，所以∠CDB=30°。由正弦定理，得：BCsin∠CDB所以BC=16sin135°·sin30°=8所以两景点B与C的距离约为11.3答案：11。35.（14分)（2019·怀化高二检测)轮船A从某港口C将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时,轮船B位于港口C北偏西30°且与C相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以v海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇，若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度应为多少？ 【解析】设相遇时轮船A航行的距离为S海里，则S=900=900t2-所以当t=13时,Smin=103，v=1031答：轮船A以303海里/小时的速度航行，相遇时轮船A1。如图,一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6A.8km/h B.6C.2km/h D.10【解析】选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ=0.61=35，从而cosθ==110×22+12—2×110×2×1×42。如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后,最少要经过多少小时才能和考察船相遇？ 【解析】设快艇驶离港口B后，经过x小时,在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示,连接CD，则快艇沿线段BC,CD航行.在△OBC中由题意易得∠BOC=30°，∠CBO=60°,所以∠OCB=90°,因为BO=120，所以BC=60，OC=603.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1。在△OCD中，由题意易得∠COD=30°，OD=20x，CD=60（x-2)。由余弦定理，得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD，所以602（x-2）2=(20x)2+(603)2—2×20x×603×cos30°。解得x=3或x=38,因为x>1,所以x=3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇【加练·固】如图所示，海中小岛A周围38nmile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30nmile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向,继续向南航行，有无触礁的危险？【解题指南】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38nmile的大小,于是我们只要先求出AC或AB的