向量在代数学和几何学中的应用

向量在代数学和几何学中的应用江华二中何云摘要：向量是中学数学里的重要内容之一，本文对向量在代数和几何中的应用做介绍通过具体的问题说明在有的问题中运用向量方法可以极大的简化运算，降低问题的难度，开拓学生的思维关键词：向量；中学数学；应用在教课书中，向量是即具有大小又具有方向，是我们从实际生活中抽象出来的一个量在实际生活中向量的运用非常的广泛，在物理学中向量也具有重要的作用，当然，在数学里向量也有其重要的意义向量知识在代数学、几何学当中都有涉及，特别是在立体几何中的运用相当的广泛，几乎是我们省每年必考的一个知识点从此可见向量在数学中的地位了而从另一方面看，运用向量的方法来解题，可以使问题更直观，将我们在脑海中想象不到的立体图形呈现在图纸上，将抽象的事物具体化、简单化，降低我们的思维难度，提高学生的学习效率和学习兴趣，也丰富了我们的学习内容和思维方式1向量在代数学中的应用在向量的代数运算中，我们学习了加法、减法的运算法则；实数与向量乘法法则；向量数量积运算法则其中在平面向量的数量积中，，也就是有这个不等式看起来很简洁，但它的内容丰富，许多的代数中的等式或者是不等式的问题转化成向量坐标问题再利用这个不等式可以很容易的解决问题而在一些求解方程组和求最值问题中，利用向量的坐标来运算，可是问题的难度进一步降低，最终求得我们所要的答案用向量来证明等式例1已知，求证：分析首先看到这个题目，大多数同学的第一反映就是将已知条件两边平方，然后在进行一系列的繁琐的化简、变形，最终幸运的同学能够得出答案，当然，得不出答案的同学也有好多好多学习了向量的运算后，我们用向量的运算使问题更容易证明构造向量由向量点积的坐标运算由向量点积的运算公式则两向量平行，即有化简后可得即证用向量来证明不等式例2设求证：分析构造合适的向量是本题解题的关键证明构造向量由不等式得化简得得证用向量来求解方程组在求解方程组时，我们一般是不敢尝试用向量的，或者说是不知道还有向量的方法可以用，那么通过一个例子我们来体会一下用向量达到简化解题的目的例3求三个实数使得它们满足方程组分析对于这种有三个未知数，但只有两个方程的方程组，很多人都不敢动手去做，根本就无从下手今天我们就从向量的角度来解题解由得：把改写成：设则平行，从而由得：用向量求函数的最值求函数的最值的问题有定义法、图像法、不等式法等很多种方法，不同的方法虽然都能够解答出答案，但是思路却是各不一样的在这里，介绍一种可能很多人都不会用的向量法，增加我们的思路例4求的最大值分析仔细观察题目中式子的特点，利用向量方法来解题解令点则2向量在几何中的应用在几何问题中使用向量是我们处理几何问题时常用的方法，它可以将几何元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性和易操作性代替形的直观性和难以想象控制性，并且极大的降低了空间几何对空间想象力要求的难度，也使得思路更加清晰，更容易理解向量在解析几何中的应用在平面解析几何中，特别是我们已经学到了一些特殊的图形以及它们的一些性质、定理，这些性质、定理在处理问题中也相当的方便，但是在有的问题中我们适当的建立平面直角坐标系，用向量的方法来解题，则更有柳暗花明的心情例5如图，设和为抛物线上原点以外的两动点，已知，，求点的轨迹方程分析题目中告诉了两个垂直关系，联想到向量中两个垂直向量的数量积为零，于是此题用向量法是比较好的解因为点、在抛物线上，设即又、均不过原点①有，以题意可知即②又且直线与直线共线化简得③把①、②带入③得即、是除原点以外的两点点的轨迹是以为圆心，以为半径去掉原点的圆向量在立体几何中的应用在立体几何中，距离问题、夹角问题和体积问题既是重点，又是难点，解这类问题的综合性很强，灵活性很大，没有一般的规律可循，但用向量的知识来解题，则很有规律，思路清晰，格式也规范例6在长方体中，已知，，、分别为、的中点，求异面直线与所成角的大小分析利用现成的垂直关系可以建立空间直角坐标系，由向量夹角的余弦公式，结合向量坐标运算，可以避开复杂的空间想象解如图所示建立空间直角坐标系由题意可得、、、,则有,设与的夹角为，则，即与所成的角为：3总结中学阶段，用向量的方法来解题是一个重点，这点在高考中有重要的体现我们一般情况是在立体几何中有用到，尤其是建立适当的平面直角坐标系或者是空间直角坐标系时使问题更加的简单，降低了我们的思维，也使得一切都更规范化了而本文不仅在立体几何中用到了向量知识，甚至在代数学中也有体现，这说明向量知识是非常的广泛的，它可以简单的用符号来表示，也可以用坐标来表示在解题的过程中，要选择合适的向量参数，这就需要我们要有敏锐的洞察力和足够的创新能力，敢于用其它的方法才解题，开拓自己的思维，从不同的角度来思考问题本文只列举出了一些比较具体和定型的例子，而在浩瀚的数学世界里，还有很多很多的题型和方法等着我们来挑战，开发我们的智力参考文献：[1]课程教材研究所，中学数学课程教