初二几何中常用辅助线的添加

初二几何中常用辅助线的添加一.教学内容：寒假专题初二几何中常用辅助线的添加一）添加辅助线构造全等三角形例1.已知：AB〃CD,AD〃BC。求证：AB=CD分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义;（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。证明：连结AC•••AB〃CD,AD〃BC.\Z1=Z3,Z2=Z4在AABC和ACDA中Vl=Z3£比二Z4=Z2•••△ABCMCDA（ASA）•••AB=CD（二）截长补短法引辅助线当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：,如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例2.如图，AABC中,ZACB=2ZB,Z1=Z2O求证：AB=AC+CD证法一：（补短法）延长AC至点F,使得AF=AB在AABD和AAED中AB=AF弋厶二Z2AD=ADZ.AABD^^AFD(SAS)•••ZB=ZFVZACB=2ZB•••ZACB=2ZF而ZACB=ZF+ZFDC/.ZF=ZFDC•••CD=CF而AF=AC+CF•••AF=AC+CD•••AB=AC+CD证法二：（截长法）在AB上截取AE=AC,连结DE在AAED和AACD中^AE=AC<Zl=Z2AD二AD•••△AEDMACD(SAS):.DE=DC,ZAED=ZC'：XAED=^B+ZEDS,ZACB=2Z52Z5=Z5+Z5Z55乙EDE:.EB=ED=DC.'.AB=AE+EB=AC^rDC例3•如图，在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE丄BD交BD的延长线于E,证明：BD=2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE,转化为证两线段相等的问题，分别延长BA,CE交于F,证△BEF9ABEC,得込昭押，再证厶ABDMACF,得BD=CF。证明：分别延长BA、CE交于点FTBE丄CF•ZBEF=ZBEC=90°在△BEF和ABEC中V1=Z2<BE=BEAbef=ZBEC•■△BEF竺ABEC(ASA):.CE=陋二学F•••ZBAC=90°,BE丄CF•••ZBAC=ZCAF=90°,Z1+ZBDA=9O°,Z1+ZBFC=90°•••ZBDA=ZBFC在AABD和AACF中^ZBAC=Zcaf:Zbda=ZbfcAB=AC/.△ABD^AACF(AAS)•••BD=CF•••BD=2CE(三)加倍法和折半法证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。例4.已知：如图，AD是AABC的中线，AE是AABD的中线，AB=DC,ZBAD=ZBDAO求证：AC=2AE分析：欲证AC=2AE,只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是△ABD的中线，故考虑延长AE至F,使EF=AE,证AF=AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证△ABF^^ADC,观察图形发现，可以证明AADE^△FBE,则可得出BF=AD,尚需条件ZADC=ZFBA,而这可由外角的性质推出。证明：延长AE至F,使EF=AE,连结BF•••AE是AABD的中线•••BE=ED在△BEF和ADEA中磁=EA<^BEF=XDSABE^DE■•△BEF竺ADEA/.ZEBF=ZBDA,BF=DAVZBAD=ZBDA/.ZEBF=ZBAD■：^adc=乙abd+AbadZfba=Zabd-^Zsb^:.^ADC=ZFBA在△ADC和AFBA中^AB=DC<^FBA=^ADC=DA△ADC竺&BA•AC=AF又•••AF=2AEAC=2AE四）利用角平分线的性质来添加辅助线有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。例5.已知:△ABC的ZB、ZC的外角平分线交于点P。求证：AP平分ZBAC证明：过P点作PD丄AC于D点，PF丄AB于F点，PE丄BC于E点•••PC,BP为AABC的ZB.ZC的外角平分线PD丄AC，PE丄BC•••PD=PE（角平分线性质）同理：PF=PE•••PD=PF（等量代换）•AP平分ZBAC（角平分线性质逆定理）例6・已知：如图,Z1=Z2,P为BN上一点，且PD丄BC于D,AB+BC=2BD。求证:ZBAP+ZBCP=180°分析：要证ZBAP+ZBCP=180°,而由图可知ZBAP+ZEAP=180°,故只要证ZEAP=ZBCP即可。由Z1=Z

2,PD丄BC,想到过P点向BA作垂线PE,有PE=PD,BE=BD,又由A^BC=2BD，得AE=CD,故厶APE9ACPD,从而有ZEAP=ZBCP,问题得证。证明：过点P作PE丄BA于E•••PD丄BC,Z1=Z2•••PE=PD(角平分线的性质)在RtABPE和Rt^BPD中TP二BP\PE=PD:.Rt^BPE^RtABPD(HL)•••BE=BD'：AB^rBC=2BDBC=CD^rBDAB=BE-AE:.AE=CT'：PELBE,PDLBC•：ZPEB=ZPDC=90°在APEA和APDC中应=PD:£PEB=ZPDCAE=CD•：APEA今APDC:.ZPCB=ZEAPVZBAP+ZEAP=180°：.ZBAP+ZBCP=180°ZE=厶亘、AF1CD9ZE=厶亘、AF1CD9垂足为F,1.已知，如图，AB=AE,BC=ED,求证：CF=DF

ADADBC3.已知AD是AABC的中线，E在BC的延长线上，CE=AB，匕—赵