5 采用矩量法计算输电线路杆塔再辐射场强

第5篇采用矩量法计算输电线路杆塔再辐射场强清华大学电机系邹军，袁建生求解细长圆柱导体端口电压的积分方程在已知外加场E，的作用下，用迟后位的积分来表示c和j产生的散射场Es,则在导体表面有如下边界条件nx(E，+Es)=0。当待求的导体为有源的发射天线时，E，=0，则边界条件即为导体表面处：nxEs=0。另外，对于任意的圆导线、杆件等细长导体，如直径一长度比＜0.01,可作如下的近似［i］：电流只沿导体的轴向流动；导体的电流和电荷密度近似为，位于轴线上的线电流I和线电荷线密度a只对导线表面上的轴向切向分量使用边界条件，如合成电场切向分量为0(忽略表面阻抗时)。求解空间中的电场强度E的公式为：Ei牝0(1-1).8①-Ei=-仙A-旬(1-2)A=|J1(/)竺dls4nR(1-3)中=1fa(l)e^dl£s4nR(1-4)18Ia=-j①8l(1-5)式(1-2)〜(1-5)中：E，为导体表面轴向上的导体产生的电场强度Ai为导体表面轴向上的矢量磁位，A为空间中的矢量磁位①为导体表面处的电位标量R为空间磁导率R为轴线上的源点到导体表面的场点的距离1(/)为导体上的线电流。(l)为导体上的线电荷密度k=2兀,夕称为相位常数，单位1/m，力为电源频率e为介电常数«为角频率矩量法原理简介矩量法(MethodOfMoments，简写为MOM)是求解算符方程的一种普遍方法。20世纪70年代，R.F.Harrington将矩量法全面引入对电磁场问题的求解中。假设有非齐次方程TOC\o"1-5"\h\zLu=f(2-1)式中L为线性算符，u为待求的场函数，f为已知源函数。在函数空间中，将u展开为一组完备基函数之和，即令u=党c甲(2-2)k=1式中，ck是系数，中k被称为展开函数或者基函数。当式(2-2)取无穷项之和时，u可获得精确解。当u取有限项时，则为近似解u〃，代入方程(2-2)，得^^cLp=f(2-3)=1规定一个适当的内积＜f,g＞，在Lu的值域上定义n个权函数或称检验函数*，门，W，…，.。根据算符方程等号两边同时做内积相等的原则，对每个.取式(2-3)两边的内积，形成矩阵方程TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Yc<即，w>=<f,w>(i=1,2,3,....,n)(2-4)kkiik=1写成矩阵形式为虹]Ck]=[矣](2-5)式中]=内1’W1内「W2>,>,<L甲，w>,，c]=「c]1c，[g]=「<f,*>]<f,w>21<L中，w22>,ik|AAAa|k2Mi2M求解矩阵方程(2-5)，得到待定系数七(k=1,2,3,...,n)，由此即可得到近似解七。求解一个特定问题时，采用矩量法的关键在于选择适当的基函数甲k和权函数wk。通常，在实际问题中，求矩阵元素1广＜即i,wk＞中的积分是很困难的。因此，选择基函数时，除可采用全域基函数外，一种更实用的近似方法是分域基函数。在分域基法中，每个基函数wk只在定义域的分域上存在。这种方法可以简化矩阵元素的计算。矩量法求解a-e积分方程式(1-1)〜式(1-5)的积分方程组描述了线天线的电流与表面电场的关系，在已知边界条件的情况下，求解式(1-1)~式(1-5)即可得到天线的电流和电荷密度分布。采用矩量法求解式(1-1)〜式(1-5)的步骤如下：3.1选取基函数和匹配函数如图1所示，对线天线进行离散化，将导体沿轴向剖分单元，设置节点。在单元内分别取电流和电荷的一组基函数，即用分段插值的方法近似表示电流和电荷的分布。本文对电流分布采用线性插值，对电荷分布采用恒值插值，所以电流的基函数沿轴向为三角波，而线电荷密度沿轴向为矩形波。电流即表示为：(3-1)1(/)=弋(I甲(/)+1甲'(/))kkk+1k

(3-1)其中，基函数为中(l)、中'(/)定义在区间［l,l］的线性函数(也称为形状函数)，此时，kkkk+1待求量即为节点电流。通过式(1-5)，电荷密度可由电流表示(3-2)因此方程的待求量仅为节点电流。ooNooN图1线天线的剖分和插值示意图将(3-1)、(3-2)分别带入(1-3)、(1-4)得到(3-3)(3-4)A(l)=-^]E(IJ甲(l)4dl+1J甲'(l)ejdl)

4nk/krk+1/kr(3-3)(3-4)k=11须I—Ie-'jkR中(l)=-^^-k+1kJ——dlk=1完成单元剖分和基函数选取之后，选取匹配线段和检验函数。如图2所示，设置匹配线段于导线表面，对匹配线段进行剖分，将匹配线段的起始点选在相邻单元的中点，匹配函数选为wk(l)=1(k=1,2,...,n)。

匹配点图2匹配线段的示意图3.2形成矩阵方程匹配点图2匹配线段的示意图式(1-2)两端同时与匹配函数做内积即得到8中“，一(3-5)(—E：)dl=—jojAdl—J-8^dl(k=1,2,...,n)SkSk(3-5)可进一步整理得到(3-6)△U=—joJAdl—△中(k=1,2,...,n)k、.-k(3-6)式中，Sk为第k段匹配线段，AUk为第k段匹配线段两端的电压差匹配线段两端的标量电位差。将各节点电流和匹配线段两端的电压差整理成矩阵形式，定义矩阵「/]AU11IAU2V=1M「/]AU11IAU2V=1MMInAUn，(3-7)将式(3-3)、(3-4)带入式(3-6)，经过整理之后式(3-6)可写成矩阵形式V=ZI(3-8)至此，式(1-1)〜(1-5)的积分方程已变换为一组联立的代数方程。其中，I为待求的未知量。由式(1-1)给出的边界条件可知:△U=—』Eidl=0(k=1,2,...,n)ksk1(3-9)V=0(3-10)求出矩阵Z的元素即可解出I，矩阵Z的元素中包含了积分:Jsk、J(J中'(I)Mdl)dl、j^^dlJsksk••kRk、sk以上积分的求解须借助数值积分的方法，本文采用高斯积分的方法来求解。所谓高斯积分法，就是在单元内选择某些积分点(称为高斯采样点)，求出积分点处的被积函数值，然后用一些权因子乘这些函数值，再求总和，便可得到积分值回。一般每个单元设置3个高斯点，将积分区间归一化为［0，1］后，3个高斯采样点的高斯积分公式为：J1f(x)dx牝0.2778f(0.1127)+0.5f(0.5)+0.2778f(0.8873)(3-11)-1求解矩阵Z的部分元素时，源点单元与匹配线段产生重合，于是在戒1-3)、(1-4)中Rr0，产生奇异积分。遇到奇异积分时，应增加高斯点数量，例如将高斯点采样数量增至30个，高斯点和全因子的求解可参考文献［iii］。3.3矩阵方程的修正在解出矩阵Z的全部元素后，还需根据电流注入情况和导体的联结情况等，对线性方程(3-8)进行必要的修正。假设注入电流为II，注入点位于导体第k个节点处。此时，第k节点处的电流即为注入电流，即I*=七(3-12)为保证求解方程(3-8)时，(3-12)式成立，令矩阵Z中的元素2炊=1,Z^.=0(i。k)(3-13)同时AU=I(3-14)金属杆件可能具有复杂的联结关系，根据联结关系对矩阵元素进行修正。将细长杆件的两端称为端点。按照联结关系，端点分为两类：交点和非交点。非交点的端点条件是给定的端点电流值。对于交点，则可利用相邻匹配线段的电压平衡与交点电流平衡关系列出端点条件，据此修改矩阵方程。具体修改方法以图3所示情形为例，假设端点4为交点，与节点1、2、3相邻，各匹配线段上的电压差为AU14、A%、AU43，在矩阵方程中占据3行。令

U12=U14一U24U23=U24+U43(3-15)(3-16)则方程中的3行变为2行，余下1行用节点电流平衡关系补上图3交点处的端点条件-I]-12+13=0(3-17)(3-15)(3-16)图3交点处的端点条件当考虑导体的表面阻抗时Ei+Es=ZI/L(3-18)式中Z为表面阻抗，L为导体横截面圆周长，则式(1-1)应修改为E：=ZI/L(3-19)将式(3-19)代入式(3-9)，据此修改列向量V完成对矩阵的全部修改后，求解方程(3-8)，即可求出全部节点的电流值I=[1,12,...,In]，将节点值代入(3-3)、(3-4)，得到空间中的A-p，最终求出导体上任意点的电压。杆塔的电磁散射模型对于垂直极化电磁波，杆塔中散射电流主要在杆塔的垂直方向的导体中流动，因此，对于杆塔中水平方向的导体可以适当略去。为了进一步减小矩量法的计算负担，这里建立的杆塔电磁散射如图4所示。此模型的特点是考虑杆塔的四个主柱，杆塔的塔脚接地。由于特高压直流输电线路杆塔的横担较大，因此，在杆塔的顶部设置两根导体模拟横担

的散射效果。在垂直极化电磁波激励下，如果考虑地线支架的端部和大地之间的端口，可以建立杆塔对外等效的Norton电路模型，如图5所示。图5中等值电流源和等值的导纳，可由矩量法求解图4杆塔散射结构而得。垂直极化Einj入射波Hinc图4杆塔散射计算的几何模型地线支架端点图5杆塔的Norton等效电路模型架空地线的电磁散射模型图4杆塔散射计算的几何模型地线支架端点图5杆塔的Norton等效电路模型对于垂直极化的电磁波，水平方向的地线系统并不能产生垂直方向的散射电场。但是，地线连接杆塔，杆塔中的散射电流可能存在相位差，这样，借助地线系统，地线中会有电流流动。为了考虑地线对杆塔电流分布的影响，建立杆塔的电磁散射模型，如图6所示。对于直流线路，地线均逐塔接地，因此，可以将地线左右两侧的端点连接，从而构成一个二端口系统，其等值电路系统如图7所示，与图5类似，图7中的参数通过矩量法，在设置了对应的端口边界条件后获得。

I.一right,wireIYleft,wireright,wireletf,wiremiddle,wireU*left,wire图7架空地线的等值有源二端口网络模型UfI.一right,wireIYleft,wireright,wireletf,wiremiddle,wireU*left,wire图7架空地线的等值有源二端口网络模型Ufright,wire图5和图7建立杆塔和地线的等值电磁散射模型，在此基础上，对于多杆塔-地线构成的电磁散射系统可用上述模型予以求解。设杆塔-地线系统如图8所示，将杆塔和地线均用等值电路等值，则图8对应的等值二端口网络系统，如图9所示，Tn表示杆塔等值网络，Gn表示地线等值网络系统，子网络中详细电路模型可参见图10。求解图9电路系统，可以得到端口的电压匕。rtn和端口电流/portn。

图8多杆塔地线网络的电磁散射模型IIIIII#1杆塔#2杆塔#3杆塔#4杆塔IIIIII#1杆塔#2杆塔#3杆塔#4杆塔#1杆塔电路模型#1地线电路模型#2杆塔电路模型图#1杆塔电路模型#1地线电路模型#2杆塔电路模型杆塔-架空地线系统对测向台电磁影响的计算步骤小结杆塔-架空地线系统对测向台电磁影响的计算步骤如下:步骤一：确定测向台站天线中心、特高压直流输电线路的杆塔地理坐标，即图7。确定每个杆塔的电磁散射模型和每档地线的电磁散射几何模型，即图4和图6；步骤二：采用矩量法，通过设置端口的边界条件，确定每个杆塔和每档架空地线的等值电流模型，即图5和图7；步骤三：确定杆塔-架空地线系统的等值电路系统，即图8。求解该电路系统，可以得到端口电压和端口电流；步骤四：根据步骤三确定的端口电流，对每个杆塔和每档地线以端口电流为激励电流，应用矩量法，可以确定杆塔和架空地线中散射电流的分布。步骤五：根据步骤四确定的杆塔-架空地线系统的散射电流分布，计算散射电场强度。根据该散射电场强度，计算特高压直流输电线路对中短波测向台（站）的示向度误差。计算与测量结果的比较现场实况：铁塔的结构和参数如图11所示，现场试验的铁塔的外形结构如图12所示。图11铁塔模型的结构和参数（单位：mm）图12现场试验的铁塔无线电发射机放置在#3687铁塔西南方的塔脚边，将1m长的单根铜导线作为发射天线，紧贴在塔腿上，发射机发出不同频率，功率为10W的信号，在距塔一定距离的5-11周围用场强仪测量信号场强（平均值），测量点的位置如图13所示。各测点距#9点的距离（"-”表示观测点位于线路左侧）#1点，-371m；#2点，-350m；#3点，-300m；#4点，-250m；#5点，-200m；#6点，-150m；#3687塔#7点，-100m；#8点，-50m；H17.6m«•a•*••*#1#2#3#4#5#6#7#8#9IV向走路线IV向走路线发射机如图14所示，接收信号的无线电场强测量仪器天线如图15所示。图14发射机图示图15场强接收机天线图示图14发射机图示图15场强接收机天线图示理论计算采用的塔形如图4中所示，铁塔的尺寸如图11所示。计算过程不考虑架空地线的影响，其他条件和实测一致。

接收天线实测场强的dB值和实测场强^V/m的关系为E=20log气，(8-1)Ebase其中E为接收天线实测的场强分贝值，单位为dB；Ee为空间实测电场强的大小，单位为：|iV/m；Eb为基准值，取1^V/mo各观测点测量频率(1.6MHz~25MHz)实测数据和理论计算数据的对比结果如图16-图22所示，其中横坐标是观察点距离铁塔的水平距离(如图13所示)，纵坐标是电场强度(已经折算到dB的值)。实测数据和理论计算数据，均以第一个数据点的值为基准值取差值进行处理，差值跟通入铁塔的电流大小无关，这样实测数据和理论计算数据就有较强的可对比性。如下式(8-2)所示AE(n)=E(n)-E(1)=