初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案

初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案一、选择题1.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数yS的图彖上，对角线&C与BD的交X点恰好是坐标原点0,己知点人（1,1）,ZABC=6Q\则k的值是（）【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值.详解：•・•四边形ABCD是菱形，ABA=BC,AC±BD,•/ZABC=60%••.△ABC是等边三角形，•・•点A（1,1）,•••0A=、②0A-/•B0==\6,530。、•・•直线AC的解析式为尸x,・•.直线BD的解析式为y=x,•.•ob=、6,・••点B的坐标为（-、你，,•・•点B在反比例函数y上的图彖上，解得，k=-3,故选C.点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.2.如图，某地修建高速公路，要从人地向B地修一条隧道（点4，3在同一水平面±）.为了测量4,3两地之间的距离，一架直升飞机从4地起飞，垂直上升looo米到

A.lOOOsma米A.lOOOsma米B.1OOOtaila米C・"°°°米D.屁。米tanasina【答案】C【解析】【分析】在RtAABC中，在RtAABC中，ZCAB=90°,ZB二a,AC=1000米，根据taila=AC~AB,即可解决问题.【详解】解：在RtAABC中，・・・ZG4B=90，ZB=a,AC=1000米,・・•”竺AB:.AB-AC=tana=1000米.taila故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型・3.在RtAABC中，2ZC=90°,如果AC=2,cosA=-,那么AB的长是（）3A.3B.|C.VJD.713【答案】A【解析】AC2根据锐角三角函数的性质，可cosA=—-=然后根据AC=2,解方程可求得AB=3・AB3故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=乙4cosA=乙4的邻边

斜边,然后带入数值即可求解.4.如图，在MBC中，AB=AC,MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点3重合，点N不与点C重合），且MN=丄BC,MD丄BC交AB于点D，NE1BC交2AC于点E，在从左至右的运动过程中，设BM=x,的面积减去46®的面积为y,则下列图象中，能表示）‘与％的函数关系的图彖大致是（）AA【答案】A【解析】【分析】设a=*BC,ZB=ZC=a,求出CN、DM、EN的长度，利用y=Sabmd-Sacne,即可求解.乙【详解】解：设a=—BC,ZB=ZC=a,则MN=a,2/•CN=BC-MN-BM=2a-a-x=a-x,DM=BM-tanB=x-tana,EN=CN<tanC=(a-x)-tana,y=Sabmd—Sacne=—(BM'DM—CN'EN)=1「‘c,/a・tana、—tana-x"-tana(a-x)=(2x—a),•・•"•:皿为常数，・•・上述函数图彖为一次函数图象的一部分，故选：A.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图彖，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程.35.菱形ABCD的周长为20cm,DE丄AB,垂足为E,sinA二「则卞列结论正确的个数有（）3①DE=3cm;（2）BE=lcm;③菱形的面积为15cm2;④BD=2cm.A.1个B・2个C・3个D・4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】•・•菱形ABCD的周长为20cmAAD=5cmVsinA=-5ADE=3cm（①正确）AAE=4cmVAB=5cm:.BE=5-4=lcm（②正确）・•・菱形的面积=ABxDE=5x3=15cm2（③正确）VDE=3cm,BE=lcm:.BD=y/lOcm（④不正确）所以正确的有三个.故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键6.在课外实践中，小明为了测量江中信号塔4离河边的距离AF，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔人的俯角为40。，若DE=55米，DE丄CE,CE=36米，CE平行于AB,BC的坡度为z=l:0.75,坡长BC=140米，则AF的长为（）（精确到0.1米，参考数据：sm40°«0.64,cos40°~0.77,taii40°«0.84）

介BA.7&介BA.7&6米B・78.7米C.78.8米D.78・9米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在RUCBF中求得BF、CF的长，再利用RUADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F,延长DE交AB延长线于点GTBC的坡度为1:0.75•••设CF为xm,则BF为0・75xmVBC=140m•••在RtABCF中，x2+（0.75x）2=140\解得：x=112ACF=112m,BF=84mTDE丄CE,CE〃AB,ADG±AB,AAADG是直角三角形VDE=55m,CE=FG=36mADG=167m,BG=120m设AB=ym•/ZDAB=40°Atan40°=DGAG167Atan40°=DGAG167y+120=0.84解得：y=78.8故选：c【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.7・同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法〃在板材边角处作直角，其作法是：如图：

（1）作线段AB,分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD,BC.根据以上作图过程及所作图形，卞列结论中错误的是（）A.ZABD=90°B.CA=CB=CDC.sinA=遇D.cosD=-22【答案】D【解析】【分析】由作法得CA=CB=CD=AB,根据圆周角定理得到ZABD=90。，点C是MBD的外心，根据三角函数的定义计算出ZD=30。，则ZA=60。，利用特殊角的三角函数值即可得到结论.【详解】由作法得CA=CB=CD=AB,故B正确；・••点B在以AD为直径的圆上，・・・ZABD=90。,故A正确；・••点C是AABD的外心，在RtAABC中，sinZD=——=-,AD2・・.ZD=30°,ZA=60°,.••sinA=故C正确;.••sinA=故C正确;cosD=,2故D错误,故选：D・【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心・也考查了圆周角定理和解直角三角形・&如图，点E从点A出发沿43方向运动，点G从点3出发沿方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方,D在E左边）,当点D到达点3时，点E停止运动.在整个运动过程中，图中阴影部分面枳的大小变化情况是（）

B.一直不变C.先减小后增人B.一直不变C.先减小后增人D.先增人后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE,过点E作EM丄BC于过点G作GN丄AB于N,设AE=BG=x,然后利用锐角三角函数求出GN和EM,再根据S卩]萨Sagde+Saegf即可求出结论.【详解】解：连接GE,过点E作EM丄BC于过点G作GN丄AB于N设AE=BG=x,则BE=AB-AE=AB-xAGN=BG-sinB=x-sinB,EM=BE-sinB=(AB-x)-sinB•'•S闪彬=S°gdeHS°egf11二一DE・GN+-GF・EM22=-DE-(x-sinB)+丄DE・[(AB-x)・sinB]22DE-[x-sinB4-(AB—x)-sinB]1=—DE-AB-sinB2•••DE、AB和ZB都为定值•：S阴彬也为定值故选B.【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.9.如图，43是OO的弦，直径CD交43于点E，若=EB=3,ZC=15°»贝UOE的长为()

A.y/3A.y/3【答案】D【解析】【分析】连接Q4.证明是等边三角形即可解决问题.【详解】如图，连接OA.C•:AE=EB,:.CD丄AB,：・AD二BD，・•・ZBOD=ZAOD=2ZACD=30。,・•・ZAOB=60°，•：OA=OB,・•・AAOB是等边三角形，•・•AE=3,・•・OE=4Etan60‘=3毎，故选D.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.10.如图，在x轴的上方，直角ZBOA绕原点O按顺时针方向旋转.若ZBOA的两边分别与12函数y=-一、y=—的图象交于B、A两点，则ZOAB大小的变化趋势为（）A.逐渐变小B.逐渐变人C.时人时小D.保持不变【答案】D【解析】【分析】TOC\o"1-5"\h\zEEOE1如图，作辅助线；首先证明厶BEO^AOFA,,得到——=〒-；设B为（“--）,A为OFAFao1o（b,7），得到OE=a,EB=一一,OF=b,AF=,进而得到a2b2=2，此为解决问题的关bab键性结论；运用三角函数的定义证明知tanZOAB=^l为定值，即可解决问题.2【详解】解：分别过B和A作BE丄x轴于点E,AF丄x轴于点F,则厶BEO^AOFA,.BE_OE••乔一乔’12设点B为（a,）,A为（b,—）,ab1?则0E=-a,EB二一一，OF二b,AF=-,ab:.ZOAB人小是一个定值，因此ZOAB的人小保持不变.故选D33J*J*【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中：解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.11.如图，在RtAABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形・则a、b、c满足的关系式A.b=a+cB.b=acC.b2=a2+c2D.b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识•在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得.(l=-―,化简得b=a+c,故选A.b-ac【详解】请在此输入详解!12.如图，菱形ABCD中，AC交BD于点6DE丄BC于点E,连接OE,ZDOE=120%DEA.至32a/3C.6^3A.至32a/3C.6^3【答案】B【解析】【分析】证明AOBE是等边三角形，然后解直角三角形即可.【详解】T四边形ABCD是菱形，：.OD=OB.CD=BC.TDE丄BC,AZDEB=90\：.OE=OD=OB.2>/3VZDOE=120°,AZBOE=60%:.AOBE是等边三角形，AZDBC=60°.2>/3VZDFB=90°,故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.213.如图,MBC的外接圆是00,半径A0=5,sinB=-,则线段AC的长为（）3【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交00于点D,连接AD,由CD是00的直径，可得ZCAD=90%又由2。0的半径是5,sinB=-,即可求得答案・3【详解】解：连接CO并延长交于点D,连接AD,由CD是00的直径,可得ZCAD=90°,IZB和ZD所对的弧都为弧AC,2AZB=ZD,艮卩sinB=sinD二g,•・•半径A0=5,ACD=10,/•sillD=AC/•sillD=AC~CD~AC_2Io"-5•••AO4,故选：c.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.14.如图，RtZkAOB中,ZAOB=90°,AO=3BO,OB在x轴上,将RtAAOB绕点0顺时针旋TOC\o"1-5"\h\z2k转至△RtA-OB1,其中点"落在反比例函数y=--的图象上,0A■交反比例函数尸一的图象XX于点C,且0C=2CA\则k的值为()【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAAOB绕点0顺时针旋转至RtAA'OB'的旋转角为a,OB=a,则0A=3a,由题意可得，点B'的坐标为(acosa,-asina)，点C的坐标为(2asina,2acosa),2•••点B，在反比例函数尸-—的图象上，x:.-asina二-—-—,得a2sinacosa=2,acosa又•••点C在反比例函数尸£的图彖上，

,得k=4a2,得k=4a2sinacosa=8./•2acosa=故选c.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为a,利用旋转的性质和三角函数设出点氏与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过原点6与x轴另一交点为A,顶点为B,若A.■馆B.-2^3C.-3^3D.-4^3【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B(-,由MOB为等边三角形，得到兰=tan60°x(-—),2a4d4a2a即可求解；【详解】解：抛物线y=ax?+bx+c(a>0)过原点0,c=0,la'4aVAAOB为等边三角形，TOC\o"1-5"\h\zb2b:.——=tan60°x(),4a2ci•••b=-2^3;故选B.【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质：能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键.16.如图，矩形ABCD中，AB>AD9AB=a9A/V平分ZDAB.DM丄AN于点M,CN丄AN于点/V•则DM+CN的值为(用含Q的代数式表示)()

A.aB.-aC.EqD.遇a522【答案】C【解析】【分析】根据"AN平分ZDAB.DM±AN于点M,CN丄AN于点N"得ZMDC=ZNCD=45°,DMCNcos45°=——=—,所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD,AB=CD=a,DM+CN的值即DECE可求出.【详解】TAN平分ZDAB,DM丄AN于点M,CN丄AN于点N,:.ZADM=ZMDC=ZNCD=45°,・••爲+爲s在矩形ABCD中,AB=CD=a,ADM+CN=acos45°=故选C.CN【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=—CN17.如图，等边△43C边长为d,点0是△43C的内心，ZF（9G=120°,绕点O旋转ZFOG,分别交线段AB>BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①“ODE形状不变；②QDE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；③四边形ODBE的面积始终不变：④周长的最小值为l.5a.上述结论中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】连接OB、0C,利用SAS证出△ODB空从而得出AODE是顶角为120。的等腰三角形，即可判断①；过点0作OH丄DE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得0H=^OE和DE=JJOE,然后三角形的面积公式可得Saode=^OE2,从而得出0E最小时，Saode最4小，根据垂线段最短即可求出S.0DE的最小值，然后证出S^ODBE=S.OBC=^-^2即可判断12②和③；求出的周长=a+DE,求出DE的最小值即可判断④.【详解】解：连接OB、OC1ABC是等边三角形，点O是△A3C的内心，AZABC=ZACB=60°,BO=CO,BO、CO平分ZABC和ZACB11:.ZOBA=ZOBC=-ZABC=30°,ZOCA=ZOCB=-ZACB=30°22:.ZOBA=ZOCB,ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=120°VZFOG=120°:.ZFOG=ZBOC:.ZFOG-ZBOE=ZBOC-ZBOEAZBOD=ZCOE在ZkODB和ZkOEC中ZBOD=ZCOEBO=COZOBD=ZOCEAAODB^AOECAOD=OE•••△ODE是顶角为120。的等腰三角形，—ODE形状不变，故①正确；过点O作0H丄DE,则DH=EHVAODE是顶角为120。的等腰三角形AZODE=ZOED=-(180°-120°)=30°2AOH=OE-sinZOED=ioE,EH=OE-cosZOED=2^OE22ADE=2EH=73OE•••S“de二丄DE・OH二QoE224・°.0E最小时，Saode最小，过点O作OF丄BC于匕根据垂线段最短，OF即为OE的最小值,11ABE=-BC=-€722在RtAOBE^中0E丄BE-tanZOBE仝丄dx週=^a236ASaode的最小值为i448VAODB^AOEC/•S训辺形ODBE二S°odb+S°obe二SZ.OEC+Saobe=S^obc=••爭+和•1••S^odeS—S四血形ODBE4即△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一，故②正确;・<>/3,•、卩q边KODBE=CC12・•・四边形ODBE•的面积始终不变，故③正确：VAODB^AOECADB=EC•I△3DE的周长二DB+BE+DE二EC+BE+DE二BC+DE二a+DEADE最小时的周长最小VDE=730E•••0E最小时,DE最小而0E的最小值为0E=—6

・・・DE・・・DE的最小值为屁耳a1-ci2:.bBDE的周长的最小值为a+扌a=1.5a,故④正确：综上：4个结论都正确，故选A.【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面枳公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.18.已知在RtABC中，ZC=90°,AC=&BC=15,那么下列等式正确的是()8888A.S111A=—B.cosA=—C.tanA=—D.cotA=—17151715【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】TOC\o"1-5"\h\zEC]5AC8由勾股定理知，AB=17：A.srnA=—=后■，所以A错误；B.COSA=—=—,所以，B[气4O错误；C.tailA=————,所以，C错误；D.cotA=——=—,所以选D.AC8BC15【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.A.2B.419・如图1,在MBC中，ZB=90%ZC=30°,动点P从点B开始沿边BA.AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C,设4BPQ的面积为y(cm2)・运动时间为x(s),y与x之间关系如图2所示，当点A.2B.4C.2^3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：、/?,根据x=2,y=6jj,确定P、Q运动的速度，即可求解.【详解】解：设AB=a,ZC=30°,则AC=2a,BC=*a,设P、Q同时到达的时间为几则点P的速度为点Q的速度为迴，故点P、Q的速度比为3：TT故设点P、Q的速度分别为：3叭卫v,由图2知，当x=2时，y=6羽,此时点P到达点人的位置，即＞4B=2x3v=6v,BQ=2xv=2y/3v,y=—xABxBQ=^x6vx2v=6,解得：v=l,22故点P、Q的速度分别为：3,,AB=6v=6=a,则AC=12,BC=6羽,如图当点P在AC的中点时,PC=6,此时点P运动的距离为AB+AP=12,需要的时间为12一3=4,贝l」BQ=