初中数学重点梳理：无理方程

11知识定位未知数含在根号下的方程叫作无理方程（或根式方程），这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用。知识梳理P1、无理方程：根式方程就是根号内含有未知数的方程。根式方程又叫无理方程。有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程常用方法：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法。2、解无理方程的步骤：去根号、解有理方程、检验、总结。注意点：用乘方法化无理方程为有理方程并求出其解后，应验根：1）有理方程的解满足无理方程时，其为无理方程的解；2）有理方程的解不满足无理方程时，其为无理方程的增根；3）有理方程的所有解都是无理方程的增根时，原无理方程无解。例题精讲F,,试题来源】【题目】解方程v^X+7-x二1【答案】x=-3或x=2【解析】移项得：JX万二x+1两边平方得：x+7=x2+2x+1移项，合并同类项得：x2+x-6二0解得：x——3或x—2检验：把x=-3代入原方程，左边工右边，所以x=-3是增根.把x=2代入原方程，左边=右边，所以x=2是原方程的根.所以，原方程的解是x=2.说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；④验根.知识点】无理方程（平方法）适用场合】当堂例题难度系数】3试题来源】【题目】解方程丿三十石匚厉-低帀丸.答案】x=4【解析】解移项得屈-3-癒西两边平方后整理得成鬼-®=12'再两边平方后整理得X2+3x-28=0,所以x1=4，x2=-7．经检验知,x2=-7为增根,所以原方程的根为x=4知识点】无理方程适用场合】当堂练习难度系数】3试题来源】【题目】解方程3x2+15x+2\：x2+5x+1=2【答案】X=-1,x=0【解析】设2+5x+1=y，贝yx2+5x+1=y2n3x2+15x=3(y2-1)即3y2+2y-5二0，解得：y二1或y=-5.当y=1时，\；'x2+5x+1=1nx2+5x=0nx=-1或x=0；当y二—3时，因为\；'x2+5x+1二y>0，所以方程无解.检验：把x=-1,x二0分别代入原方程，都适合.所以，原方程的解是x=-1,x二0知识点】无理方程(换元法)适用场合】当堂例题难度系数】3试题来源】【答案】x=-2【解析】解注意到(2x2-1)-(X2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(X2-x+2).TOC\o"1-5"\h\z贝9U2-V2=W2-t2,①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=O无解，所以①三②得u-v=w-t.③解得x=-2．知识点】无理方程适用场合】当堂练习题难度系数】4试题来源】【题目】解方程【答案】衍_「:厂瓦—匚【解析］解：需禺厂2反三，这就启发我们杲否可用"两项初的平方壮即気全平方公式将方程的左端配方•将原方程变形为卩共所以+宜=3或J討+e+家=-3.由辰厂耳+囂=事得J?惡"+盘=3-两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，由;J新+立：+兀=-前寻J碧+筈二-+3)两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，经检验，原方程的根为陌二经检验，原方程的根为陌二知识点】无理方程（公式法）适用场合】当堂例题难度系数】知识点】无理方程（公式法）适用场合】当堂例题难度系数】4试题来源】【题目】解方程假+<^+2血+加胡-氐【答案】x=l/4【解析】解考虑到丘-心「尸云于是粥方程优为仗+2.JX+2辜+x+2：.）+〔应+』負十：2）一6=0-即（石+J盘十2），+（血+屜+2）-6=0,所以（办+屜+2-汎爲；+蕊忑+场=0因为J捏++屜十2十、所以移项得養记八於巨，平方后解得经检验，"扌是原方程的根知识点】无理方程适用场合】当堂练习题难度系数】4试题来源】、拭+2日--7^;-2a毬:【题目】解方程血一碁+磁+2迪X、答案】x=±2a解析】根据合分比定理得a/h."1-2a2a-』溢-2日_2a,-h2'ax2+4ax+As.';两边平方得x_2a-4ax+4a2藍x2+4a2再用合分比定理得2a4熬‘化简得X2=4a2.解得x=±2a.经检验，x=±2a是原方程的根知识点】无理方程

适用场合】当堂例题难度系数】4试题来源】【题目】三角形的三条边长分别为2、k、4,若k满足方程k2-6k+12-，_：订一1乐+36=0，则k的值【答案】3【解析】k2-6k+12-[k?-+36=0k2-6k+12-：饪―6）2=0•••2、k、4分别是三角形的三条边长.•・2+4>k.•・kV6.•・k2-6k+12-（匕―&）2=0k2-6k+12+（k-6）=0整理得：（k-2）（k-3）=0.•・k=2（不合题意舍去）或k=3【知识点】无理方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3试题来源】【题目】已知h.-'I+2；'-|+/T^=10,则x等于答案】2【解析】解:【解析】解:原式可化简为：I2工+‘：2工+3'：2i=10,两边平方得：2x=4,x=2,知识点】无理方程适用场合】当堂例题难度系数】3【试题来源】【题目】方程■-2H2-2•'/_2計1二3的所有解的和为【答案】2【解析】解:方程■冷-如2-2J-矗+1二3，■工_2|k-1|=3，当xnl时，丫护-2好2-2s+2=3，两边平方得：x2-4x+4=9,解得：x=-1或x=5,Vx>1,.x=5,当x<1时，-2=3,两边平方得：x2=9,.x=±3,Vx<1,.x=-3,故所有解的和为：5+（-3）=2,【知识点】无理方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4试题来源】答案】有无穷多个解【解析】解：将方程变形为（：7<l-2p+.；「7二！-引~i...①，若,x-1》3，则①成为（；上-1-2）+（x-1~3）二］'即；'x_1=3，得x=10；若;k-1^2，则①成为C2-+（3-「丁刁）=1，即；'x_1=2，得x=5；若2<匸二1<3，即5VxV10时，则①成为〔；上-1-戈）+（3-1）=1，即1=1，这是一个恒等式，满足5VxV10的任何x都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足5<x<10的一切实数，即有无穷多个解.知识点】无理方程适用场合】当堂例题难度系数】5试题来源】【题目】如果满足=a的实数x恰有6个值，那么a的取值范围是答案】0<a<5【解析】解：垃=|（x-1）（x-2）|；①当x-1>0,且x-2>0,即卩x>2时，I.,（宀张+刃—|=lx2-3x+2-5l=l（x-号）2-普|,-5|=a弓-5|=a弓x-2x2-3x+2)2当x2-3x+2)20WaV^^；②当x-1>0,且X-2V0,即卩1VxV2时，=|-x2+3x-2-5|=|(当x峙时，|■-(|J2罟③当X-1V0,且X-2V0,即xVl时，=lx2-3x+2-51=1(X-弓)2-孕'21…a=当X令时，I-；(.•・0WaV普；=1-51=5；④当x-1=0或x-2=0,即x=1=1-51=5；综上所述，a的取值范围是：0WaW5知识点】无理方程适用场合】当堂例题难度系数】5习题演练试题来源】【题目】解方程V3x-2^X+3二3【答案】x=1【解析】解：原方程可化为:、:3x—2二3-质再两边平方得：3x—2=9—6.''x+3+x+3整理得：6\：x+3=14—2xn3\：x+3=7—x整理得：X2-23x+22二0,解得：X=1或X=22.检验：把x=1代入原方程，左边=右边，所以x=1是原方程的根.把x=22代入原方程，左边丰右边，所以x=22是增根.所以，原方程的解是x=1知识点】无理方程适用场合】随堂课后练习难度系数】3试题来源】【答案】x=-1解析】解设科—则汙护戈.因此，原方程变为整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=l,即x=T.经检验知，x=-1是原方程的根.这道题也可设斫卡则汁几L原方程化为

整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-l.知识点】无理方程适用场合】随堂课后练习难度系数】4试题来源】【题目】解方程10【答案】解析】解观察到题中两个根号的平方差是13，即②三①便得由①，③得知识点】无理方程难度系数】4【试题来源】【题目】方程iG帀''G茁=12的实数解个数为【答案】1【解析】解：由题意得：x+19>0,Ax>-19,.°.x+95>76,m+19+6)+95=12’.•・x+19是完全平方数，且X+19V144,・•.当x+19=0时，'：讦石不是有理数，舍去，当x+19=1时，无TY不是有理数，舍去，当x+19=4时，无莎不是有理数，舍去，当x+19=9时，'：菇不是有理数，舍去，当x+19=16时，亠两不是有理数，舍去，当x+19=25时，6-而不是有理数，舍去，当x+19=36时，乳了迈不是有理数，舍去，当x+19=49时’可］255,符合题意，此时x=30；当x+19=64时，二时1勺=8,可而>5,此时8+5>12,・当x+19>64时，不符合题意.故方程1工+19弘帀亍=12的实数解个数为1个.【知识点】无理方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5

试题来源】【题目】已知a为非负实数，若关于x的方程氐-且.厂「且+4二0至少有一个整数根，则a可能取值的个数为