初中数学竞赛专题选讲 最大、最小值(含答案)

初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大最小值一、内容提要求二次函数y二ax2+bx+c(aH0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y二a(x+)2+4ac—b2.TOC\o"1-5"\h\z2a4a•・•在实数范围内(x+2)2上0,2a・••若a>0时，当x=—时，—=4ac—b2；2a最小值4a若a〈0时，当x=—时，—=4ac-b2.2a最大值4a判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c—y=0.・x在全体实数取值时，・•・△^O即b2—4a(c—y)$0，4ay$4ac—b2.若a>0，&，这时取等号，则y为最小值二竺；4a4a若a<0，yW4ac-b2，这时取等号，则y为最大值4ac-b2.4a4a有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数X和y如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0,b>0,a+b=k.（k为定值）.那E么ab二a（k—a）二一a2+ka=—（a—J_k）2+24当a=£时，ab有最大值竺.24证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a>0,b>0,ab=k（k为定值），再设y=a+b.那么y二a+£,a2—ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）aJa为正实数，.•.△上0.即卩（一y）2一4k上0,y2一4k$0.・・・yW—2“（不合题意舍去）；y上2.k.y=2.：k.最小值■解方程组]a+b=2"k，得a二b=ik.[ab=k.・••当a=b=时，a+b有最小值2、死.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例］.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：X2+y2的最大、最小值.解：由已知y2二6x-3x2,Ty是实数，・"2上0.2即_3x2^上0,6x一3x2上0,X2一2xWO.2解得0WxW2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+6x—3x2二―1(x-3)2+9222在区间0WxW2中，当x=2时，X2+y2有最大值4.・••当x=0时，X2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a,b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.a+b=丄k,\2・・a和b是方程X2—kx+k=O的两个实数根.2Ta,b都是正实数，•••△上。.即(一£)2—4k$0.2解得解得k#16；或kWO.kWO不合题意舍去.解得解得k#16；或kWO.kWO不合题意舍去.xxxx・••当k#16取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH,问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x，S矩形=y，则GH=Z.x•••△AHGsAABC,yxh-x•.ahax(h-x)ahah••y_———(x—)2+-.hh24hah・・当x二一时,y二一.2最大值4即当EH_h时，矩形面积的最大值是竺.24例4.如图已知：直线mAC二b,点P在AC上,BP的延长线交直线m于D.CDPCmIIn,・•——ABPAcd_a(b-x)xaxSina+1a(b一x)(b—x)2x〃n.A,B,C都是定点,AB=a,问：点P在什么位置时,解：设ZBAC=a,PA二x.S+S=△PAB△PCDSina=1aSina2b2-2bx+x2、x+)=1aSina2(2x+竺-2b).x写成关于写成关于a的二次方程：(2+\；3)a2—(2+j3)ya+y2—(8+4朽)=0.・2xX竺=2b2（定值），根据定理二，2x+竺有最小值.x・•・当2x二牛，x=$2b时,S+S的最小值是(込—1)abSina.△PAB△PCD例5.已知：RtAABC中，内切圆0的半径r=1.求:S的最小值.△ABC解：・.・S=1ab△ABC2•ab=2S.△A*.*2r二a+b—c.•Ic=a+b—2r.・°・a+b—2r=©a2+b2.4r2+2ab—4(a+b)r=0.两边平方，得a2+b2+4r2+2ab—4(a+b)r=a2+b4r2+2ab—4(a+b)r=0.a+b=S+1.△用r=1，ab=2S△代入，得4+4[—4(aa+b=S+1.△•・・ab=2S且a+b=S+1.△△・・・a，b是方程X2—(\+1)x+2\=0的两个根.*.*a,b是正实数,即[—(S+1)]2—4X2S即[—(S+1)]2—4X2S20，△△S2—6S+120.△△解得S^3+2巨或［壬3—2迈.S^W3—2\.：2不合题意舍去.・・・九的最小值是3+一2.例6.例6.已知：.如图△ABC中，AB.6+迈,ZC=30。.求：a+b的最大值.解：设a+b=y,则b=y—a.根据余弦定理,得(叮6+、：2)2=a2+(y一a)2一2a(y—a)Cos300

*«*a是实数，•••△20.即(2+)2y2—4(2+v'3)[y2—(8+4「3)]上0,y2—(8+4f3)2W0.・•・—(8+4v3)WyW(8+4訂).・•a+b的最大值是8+4.又解：根据定理三TAB和ZC都有定值.・••当a=b时，a+b的值最大.由余弦定理，(J6+<2)2=a2+b2—2abCos30o可求出a二b=4+2朽.三、练习1.x的最大值是5x,x,x,x,x满足.1.x的最大值是5123451234512345若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____,____时，其面积最大,TOC\o"1-5"\h\z最大面积是.面积为100cm2的矩形周长的最大值是.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是.若x>0,则x+?的最小值是.x6°0_D0如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A,B,C,D距离之和为最小值的点,位于，其和的最小值等于定线段..如右图△ABC中，AB=2,AC=3,I,II,III是以AB,BC,CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.下列四个数中最大的是()(A)tan48°+cot48。..(B)sin48。+cos48。.(C)tan48。+cos48。(D)cot48o+sin48。.已知抛物线y=—X2+2x+8与横轴交于B,C两点，点D平分BC,若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且ZBAC为锐角，则AD的取值范围是如图△ABC中，ZC二RtZ,CA=CB=1,点P在AB上,PQ丄BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S最大?△APQ△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等三角形BDC，问当ZBAC取什么度数时AD最长?已知x2+2y2=1,x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.△ABC中ZB二60°,AC=1,求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.D,E,F分别在AABC的边BC、AC、AB上，若BD:DC=CE:EA=AF:FA=k:(1—k)(0<k<1).问k取何值时，S的值最小？△DEF△ABC中，BC=2,高AD=1，点P,E,F分别在边BC,AC,AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，S的值最大?PEAF参考答案5.5,525.222240cm46上，BC+AD.7.最大值是9，汽=2X3X2XSinBAC，ZBAC=90度时值最大.8.(A).9.3〈ADW910.P在AB中点时，S=1，△最大值8S=x42一x〜△22x与叮2—x的和有定值，当x「；2—x时，S值最大.△当ZBAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设ZBAD=a由正弦定理当150o当150o—a=90o时,A