初中几何模型和解法中考几何专题：等面积法

初中几何模型与解法：等面积法教学目标1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积知识导图等面积思想■*01.在高角三肃形的应用0N在等腰三角形的应用C3•在勾股定理中的应用J等面积思想■*01.在高角三肃形的应用0N在等腰三角形的应用C3•在勾股定理中的应用J圧貝他图形中的应用知识梳理方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！技巧归纳：1、当图形中出现两个(或者以上)的垂直关系时，常用此法.2、计算多边形面积的常用方法：三育形；5=-X底x髙平行四边形：5二底汇高(1)面积计算公式“③矩形:5二长兀宽3?梯亦：5=—X:[二底+下底；＞：高「⑤对角皱互柜垂直的回边形：5=对角线乘帜曲一殳(2)对于公式⑤的证明(如右图)S=S^abd+S^cbd1=一E：匸一-丄+-?[■::?2=二江1=n.-二*⑶割补法：将不规则图形“分割或补全'为规则图形.

导学一：等面积法在直角三角形的应用知识点讲解1在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。如图：基本公式：①勾股定理：「-厂=二②等面积法：，丁证明②：■--CD-AB,化弘£■匚=|_人£・CD11-即:,::Habk=——c例题1.如图，在RtABC,ZC=90°，当直角边AC=4,斜边AB=5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD?【参考答案】更：三爼股定匡-三二二【参考答案】更：三爼股定匡-三二二-5--<=I一丁二］又_：.abc==ac■；-二二AB篦__■该直角三角形斜边AB上的高该直角三角形斜边AB上的高CD=4X3122.如图，在RtABC(BCAC),ZC=90°，当斜边AB=10cm,斜边AB上的高CD=4.8cm时，求该直角三角形直角边AC和BC的长度?【参考答案】解：设AC=x,BC=y,(y：」•：•「由勾股定理：、—■：=->=10011又：•二ABC==AC，三二二=AB，二xy=48再由.一.-二.-一fx+V=14(X=6得到■_=_：解得：答:AC=6，BC=8同步练习如图，在RtABC,ZC=90°，且AC=24,BC=7,作虫BC的三个内角的角平分线交于点P,再过点P依次作PD丄AB于D,作PE丄BC于E,作PF丄AC于F.求证：PD=PE=PF;求出：PD的值.A【参考答案】证明；TAP平分ZCAB,且PD丄AB,PF丄AC.•.PD=PF同理，PD=PE综上，PD=PE=PF解：AS=^JAC-A-BC-设：PD=PE=PF=dr11--_abc==AC，二一二二，_=，=84sp；・ABC&en=、APBf-BPCf-CPA11184=——二：+—：+—W222d=3,PD=3如图，AABC的顶点a,b，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A、【参考答案】B、8/f\A、【参考答案】B、8/f\\/\/1CC、5D、三11解解•.•Saabc=3X4-=X2X3-=X2X1-—X2X4=4•.•BC=]3，2x44\/gABC边长的高='〜故选：c.导学二：等面积法在等腰三角形的应用知识点讲解1在等腰三角形中，可以运用“割补法”的等面积思想，先建立有关“腰以及腰上的高”的等式，再通过等式两边约分来探索出线段之间的数量关系！N

N例题女口图，在△ABC中，AB=AC,AC边上的高BD=10cm.如图1,求AB边上高CE的长；如图2,若点P为BC边上任意一点，PM丄AB于点M,PN丄AC于点N,求PM+PN的值；如图3,若点P为BC延长线上任意一点,PM丄AB于M,PN丄AC于点N,在①PM+PN:②卩皿PN中有一个是定值，判断出来并求值.1*11*1Ml【参考答案】11由S^abc=XABXCE=XACXBDVAB=AC,BD=10.\CE=10如图，连接VAB=AC,BD=10.\CE=10如图，连接AP由S^abp+S^acp=S^abc111-XABXPM+XACXPD=XACXBD22VAB=AC,BD=10.•.PM+PN=10如图，连接APPM-PN是定值理由如下：连接Ap,由S^abp-S^acp=S^abc111一XABXPM——XACXPD=一XACXBD222TAB=AC,BD=10.•.PM-PN=1033已知等边厶ABC和内部一点P,设点P到厶ABC三边的AB、BC、AC的距离分别是h1,h2,h3,△ABC的高为h，问h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由。【参考答案】如图:BA/F解：h—h]+h2+h3,理由如下：连接AP、BP、CP,则SAABC—SAABP+SABPC+SAACP1111.•.-BCXAM——ABXPD+—HC?PF+—PE22221111即—BC-h—-AB-h]+—5C沟2+~ACh3又•「△ABC是等边三角形，.•.BC—AB—ACh—h]+h2+hg同步练习1.已知等边厶ABC和点P,设点P到厶ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是PDh],PEh2,PFh3,△ABC的高AM为h,=若点P在△ABC外，此时h]、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由.D【提示【提示】连接AP、BP、CP,贝USAABC=SAABP+SAACPS^BPC2.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AE=AD，点P是BE上任一点，PN丄AB于点N,PM丄AC于点M,若正方形ABCD的面积是12，证明PM+PN是一个定值，并且计算出这个定值.【参考答案】如图③，连接AP,过E作EF丄AB于F,C•.•正方形ABCD的面积是12,/.AB—AE—AD—^7,••四边形ABCD是正方形，.•.ZBAC—45。，/.△AEF是等腰直角三角形,2V3/.EF—=■:,•SAAEB—SAAEP+SAABP，111AB・EF—」B・PN+4E・PM,222•AE—AB,/.PM+PN—EF—-导学三：等面积法在勾股定理中的应用知识点讲解1勾股定理的证明充分体现了“数形结合思想”，它有500多种证明方法，但几乎每一种都要用到等面积思想.从几何角度认识代数关系，用等面积思想建立等式进行推导！

勾股定理描述的是三边的平方关系护斗呼二疋，因此只要以这个直角三角形三边往外所作图形的面积根对应边的平方成正比(S小=k.j,S中=灯・，S大=k「，k是常数)就会有较小的两个图形的面积之和等于较大者的面积.(即：kkt：=k「：，简记为：S小飞中S大)例题请您运用右下图和如下四个辅助定理:如果两个三角形有两组对应边和这两组对应边所夹的角相等，则两三角形全等(SAS)；三角形面积是任一等底等高的平行四边形面积的一半；任意一个正方形的面积等于其边长的平方；任意一个矩形的面积等于其相邻两边长的乘积；证明勾股定理:乏乂匚」90\:A^:-AC:=?r-G【参考答案】如手拉手模型图:因为：△FBC竺△ABD(SAS)△BCI竺△ECA(SAS)所以可设：5_FBC=5.ABD=x二BCI=5.ECA=y如上图：因为：5_FBC=二ABD=x匸.ABFG=22.FBC=2xW.BDLKABD=2x所以：M.ABFG=2x=S.BDLKA如上图：因为：5_BCI=5.ECA=yW.ACIH二E5.BCI=2yE.KLEC二25_ECA=2y所以：于是：5.ABFG=E.BDLK5.ACIH二S.kleCE.BDLK-5|KLEC二、.BDEC进~步：匸.ABFG—5.ACIH=5.BDEC更进一步：如图①，在△ABC中，ZC=90°，分别以厶ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S2,S3表示，则不难证明S]=S2+S3如图②，在△ABC中，ZC=90°，分别以厶ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S],S2,S3表示，那么S],S2,S3之间有什么关系：(不必证明，直接写出)如图③，AABC中，ZC=90°，分别以厶ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1,S2,S3表示，请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明利用图①的结论，解决下列问题：如图④，RtAABC中，ZC=90°,AC-5,BC=8•分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4•则S1+S2+S3+S4—.

\—53S3QSB三二\—53S3QSB三二参考答案】解：（1）如图②，分别以RtAABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S]、S2、S3表示，那么S]=S2＋S3，理由为：在RtAABC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC2,itititA-AB2=AC2+BC2，即S]=S2+S3；QQQ（2）如图（3）,分别以RtAABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S「S2、S3表示，S「S?、S3之间的关系为S1—S2+S3，理由为：在RtAABC中，利用勾股定理得：AB2—AC2+BC2,xPiAAB2—AC2+BC2，即S1—S2+S3；1如图：p.vAx.£rCAB过F作AM的垂线交AM于D,可证明RtAADF竺RtAABC，RtADFK竺RtACAT，所以S2=SRABC*由RtADFK竺RtACAT可进一步证得：RtAFPT竺RtAEMK,•：S3=SAFPT，又可证得Rt^AQF竺RtAACB,..S]+S3=Sr七厶aqf=SRtAABC*易证RtAABC竺RtAEBN,.•S4=SRtAABC，/.S1+S2+S3+S4=(S]+S3)+S2+S4=SRtAABC+SRtAABC+SRtAABC=SRtAABCX3=5X8*2X3=60.故答案为：60.同步练习1.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是()A、16A、16D、169【参考答案【参考答案】B【题目解析】如图所示:根据勾股定理得出：AB根据勾股定理得出：AB=二二-匚二=_二-一二=5,.°.EF=AB=5,•••=-.{=J.":•••阴影部分面积是25,故选：B.2.如图，以RtAABC的三条边作三个正三角形，则图中S］、S2、S3、S4的关系为（）A、S1+S2A、S1+S2+S3—S4EB、S+2—S3+S4C、S]+S3—S2+S4D、不能确定【参考答案】C【题目解析】如图所示:设RtAABC的三条边AB—c,AC—b,BC—a,•.•△ACG,ABCH,AABF是等边三角形,S3=SABCH设RtAABC的三条边AB—c,AC—b,BC—a,•.•△ACG,ABCH,AABF是等边三角形,S3=SABCH_S6=^^a2_S5,•••S「S3J、W2b2)S5-S6且：—：.：--:S2+S4故选C.如图，在RtAABC中，ZC—90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC—4,BC—2时，则阴影部分的面积为（）A、4B、A、4B、4nC、8nD、8【参考答案】A【题目解析】如图所示:

设以AB、AC、BC为直径的半圆面积分别为:-■：、•・'、-■:其中0、Q、P分别是它们的圆心.则阴影部分面积=L：-壽；+三：+二-一三;，又「用=加且Q+丑严O317I*=萨LAB-亠1••阴影部分面积=焉亡31疏=—冥AC?BC=42故选A.有一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过第二次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A、1BA、1B、2018D、2020【参考答案】D【题目解析】勾股树的本质是三个正方形之间的等面积关系导学四：等面积法在其它图线中的应用知识点讲解1题目中出现“高、垂线段、角平分线、中线、平行线”，以及与线段有关的乘积、分式等量，也可以试一试等面积思想建立等式进行突破！的面积，则可以证明射线BP平分-「.匸二，读者自行证明.的面积，则可以证明射线BP平分-「.匸二，读者自行证明.例题如图，AABC中，AB=4,BC=6,BD是厶ABC的角平分线，DE丄AB于点E,AF丄BC于点F,若DE=2,贝l」AF的长为（）

IfA、3B、C"C、2【参考答案】BD、15T$作DH丄D、15T$作DH丄BC于HVBD是厶ABC的角平分线，DE丄AB,DH丄BC,.•.DH=DE=2,△ABD的面积+△CBD的面积=AABC的面积,.•.—X4X2+—X6X2=—X6XAF,22210解得，AF=,故选：B3平行线分线段成比例亦称“平行截割定理”•平面几何术语是指“三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例”•如图，已知〃＞〃〕：，请连接辅助线AE、BD、CE、BF作高EH丄AC于H,BG丄DFABDE于G后，请您从面积的角度去证明BCEF【参考答案】

证明：如图,•:〃•：SAABE=SADEB①•:<SABCE=SAEFB②证明：如图,•:〃•：SAABE=SADEB①•:<SABCE=SAEFB②①和②左右相比，S-^BE$二DERg询E=-X.ABXHE[Slsce=-XSCXHES^jseA*5警ABS“肚Sldef综上得：$活CE灵efE同理知:山皿=-Xl?£X5G_皿s_瞬EFABh既池隼上DE■SCq-uE¥AB^EF艮卩：BCEF【题目解析】平行线之间的等面积抓住同底等高，把面积作商，约分后就得到线段之间的比例-ER同步练习1.如图，把△ABC的BA边延长1倍到点D,AC边延长2倍到点F,点CB边延长3倍到点E,连接DE、EF、FD，得到△DEF.已知△DEF的面积为54：•「△ABC的面积是.^A、1B、3C、6D、9【参考答案】如图，连接CD、AE、BFI)I)【题目解析】2.如图BE、CF【参考答案】设'-二匸：=5，【题目解析】2.如图BE、CF【参考答案】设'-二匸：=5，贝U：=§，二三5，二防:=--■进一步•••、-==2、-,-二〉\.,-二三=\.==曲二二^ADEF=^AABC+^AADC+§zee+§&RFE+^SCDF+§MEE••+SgEF=S+E+吕S+2S+2S+弓3+65=18S等面积思想建立等式11由_=\..-，推出二三三■=-:.--.-..■■：分别是ABC的中线，且BE=CF,AM丄CF于M,AN丄BE于N,求证：AM二AN。_•.•BE、CF分别是ABC的中线TOC\o"1-5"\h\z.1同理■_=-<.：::.二壽；二I■、二11即22【题目解析】且BE=CF,：AM=AN【题目解析】由=--_-.:，推出

课后练习如左图，在直角三角形中，任意一个锐角“ZA的对边与斜边的比”叫做的对边ZA的正弦，记作SinA（由英语sine简写），即SinA=•再看右图，在2・2正方形网格中，AABC的顶点均在斜边格点上，则SinCAB=()•A、3x[32【参考答案】格点上，则SinCAB=()•A、3x[32【参考答案】BD、310【题目解析】如图:过C过C作CD丄AB,TOC\o"1-5"\h\z根据勾股定理得：AB==•二，311SAABC=4-1一一1=二三CD・AB==CD・•-，222平解得：CD=：H5CD3贝l」Sin_CAB二AC5已知：如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，对角线AC、BD相交于点0,点P是线段AD上任意一点，且PE丄BD于点E,PF丄AC于点F,则PE+PF等于（）.12A、5【参考答案】12A、5【参考答案】c【题目解析】B、5013RC60c、13D、18T解：如图，连接P0,ApDBC•••矩形BC•••矩形ABCD的两边AB=5,BC=12,.•.S矩形abcd=AB・BC=60,OA=OC,OB=OD,AC=BD,"1113•••SAAOD=]S矩形ABCD=】5,oa=od=于。=二^,111113•••SmOD=Smop+SgoP=°A・PE+—OD・PF=—OA(PE+PF)=「X〒X6022222.•.PE+PF=13故选：c.(PE+PF)=15,如图已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,且AC=6,BD=8.AE丄BC于E,则AE=()A、5【参考答案A、5【参考答案】B【题目解析】B、24TD、•••四边形ABCD是菱形,•AC丄BD,OA=OC=3,OB=OD=4,•.BC==5,1•.•一・AC・BD=BC・AE,24•\AE=5故选：B.正方形ABCD的边长为1,其面积记为S],以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2,…按此规律继续下去，则S5的值为（）

【题目解析】在图中标上字母E,如图所示.【题目解析】在图中标上字母E,如图所示.A'B•.•正方形ABCD的边长为1,ACDE为等腰直角三角形,.•.DE2+CE2=CD2,DE=CE,.\S2+S2^S1.观察，发现规律：S]观察，发现规律：S]=l2=l,1111S2——Si——,S3——S2——311,S4=S3=•••Sn=当•••Sn=当n=5时，S5h]>=故选：A.如图，在矩形ABCD中，AB—3,BC—2,0是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM丄0B于M,EN丄0C于N,则EM+EN的值为（）A、6B、1.5C3V10D4页10【参考答案】D【题目解析】

6.•.•四边形ABCD是矩形，.•.CD=AB=3,AD=BC=2,ZA=ZD=90°,•••0是6.•.•四边形ABCD是矩形，.•.CD=AB=3,AD=BC=2,ZA=ZD=90°,•••0是AD的中点，/.A0—D0—1,.°.0B=0CI,•△OBE的面积+△OCE的面积—△OBC的面积,1.-OB・EM+i11OC・EN=BC・AB,2?!.•.—(EM+EN)X—22解得：em+en—5故选：D.X2X3,对任意RtAABC,ZA,ZB,ZC的对边依次记为a、b、c,，斜边c上的高记为h.【参考答案】证明：］|【参考答案】1v/lC_BCf=-BC-AC匚D丄jXE』；.5述匸=IAB-CD11'\-BC-AC=-AB-CDab=chabh-——又由勾股定理：川+八

11az+b2c2=(—)2•石一帀二a2b2d2h2111即一azbzhz【题目解析】勾股定理，结合等面积法勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中ZDAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a••__121：°S四边形ADCB=SAACD+SAABC=b2+.._11又TS四边形ADCB=SAADB+SADCB=c2+a(b_a)22I1l垃©—b2+—ab——c2+—a(b_a)222..a2+b2—c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中ZDAB—90。•求证：a2+b2—c2.【参考答案】证明：如图:bb图2连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,TOC\o"1-5"\h\z..Ill：°S五边形ACBED=SAACb+SAABe+SAADE=ab+严2+ab,乙El乙..__111又TS五边形ACBED=SAACB+SAABd+SABDE=,b+芍2+a(b-a),・・・*・・MdMM.111111—ab+—b2+—b——ab+―2+—a(b-a),222222•°.a2+b2—c2.【题目解析】勾股定理的证明，典型的等面积法(1)如图1,已知△ABC的面积是30,CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD、BE相交于点0,求四边形AD0E的1面积可以用如下方法：连结A0，由ad—db得：s^adc—S^abc—15,S^ADO—S^BDO，同理：S^ABE—-S^ABC—15，S^AEO—S^CEO，设$4人。0—乂，SAAE0—y，贝SABD0—x，S^CEO—_=2y,由题意，可列方程组为:-■-=--，通过解这个方程组可求得四边形adoe的面积为y,由题意，可列方程组为:,^-27=1=.(2)如图2,^ABC的面积是36,D、E分别是边AB、AC边上的点，且AD：DB—1：3,CE：AE—1：2,请你计算四边形ADOE的面积.(3)如图3,ABCD中，E是BC上一点，F是AB上一点，AE—CF,AE与CF交于点P,连结PD.求证：PD平分ZAPC.

【参考答案】解:(1)由•：S四边形【参考答案】解:(1)由•：S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+y=10-故答案为10.(2)如图2中，连结AO.VAD：DB=1：3,_i•：SAADO—hABDO，VCE：AE—1：2,_1—x,•：SACEO—"^△AEO，—x,2由题意得：SAABE==SAABC=24,设SAAD0—x，SACE0—y，2由题意得：SAABE==SAABC=24,1SAADC—一SAABC—9,4513.___32•：S四边形ADOE—SAADo+SAAEO—x+2y—W(3)证明：过D作DQ丄AE,DG丄CF,并连接DF和DE,如图3中:團3S^DFC,则由S^ADES^DFC,AE*DQDb^FC可得：，一—又VAE—FC，可得DQ—DG,VDQ±AE,DG±CF,AZDPA—ZDPC,.•.PD为ZAPC的角平分线【题目解析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，角平分线的判定定理，解得的关键是学会构建方程组解决问题，学会利用角平分线的判定定理，添加相应的辅助线，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题自我测试如图，从△ABC各顶点作平行线AD〃EB〃FC，各与其对边或对边的延长线相交于D,E,卩.若厶ABC的面积为1,则ADEF的面积为（）C、2.5A、3【C、2.5A、3【参考答案】D【题目解析】B、D、2证明：•.•AD〃BE,AD〃FC,FC〃BE,.•.△ADE和厶ABD在底边AD上的高相等，AAD卩和厶ADC在底边AD上的高相等，ABE卩和厶BEC在底边BE上的高相等，

.•SAADF—SAADC,S^BEF—S^BEC,S^AEF—S^BEF-S^ABE—S^BEC-S^ABE—S^ABC.•SADEF—S△ADE+S△ADF+SAAEF—S△ABD+S△ADC+S△ABC—2Saabc・即sadef—2Saabc・：°Saabc=i,•：SadeF=2,故选：D.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上