21体心立方和面心立方点阵的倒易点阵

fgdgdfgdf符合法规和法规和土壤突然图腾例题2.1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵.反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵.［证明］选体心立方点阵的初基矢量如图1.8所示，a=—(X+y-Z)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2a=—(-x+y+Z)\o"CurrentDocument"2a=—(x-y+z)2其中a是立方晶胞边长，X,宁,Z是平行于立方体边的正交的单位矢量。1初基晶胞体积V=a・(axa)=a3c1232根据式(2.1)计算倒易点阵矢量12兀b=-1V2c2兀72兀7—axa,b=12兀b=-1V2cV7aa——b=axa=———ya■—ya■—2a2za2a-—2=竺(y+z)2a2aa2a——2ya2a2a——2a2于是有：b=竺(x+时,b=竺G+z),b=竺(z+x)1a2a3a显然b1,b2,b3正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4心.a.同理，对面心立方点阵写出初基矢量a=a(X+云)2a=-G+Z)2aa3=2Iz+x)如图1.10所示。初基晶胞体积V=a-(axa)=La3。c1234根据式(2.1)计算倒易点阵矢量b=竺(x+y-z),b=竺(一X+y+z),b=竺(x-y+z)1a2a3a显然，b1,b2,b3正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4号a.2.2(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是(2兀)/V，这里匕是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身.［证明］(a)倒易点阵初基晶胞体积为b・(bxb)，现计算b・(bxb).由式(2.1)TOC\o"1-5"\h\z123123知，72兀72兀72兀b=—axa,b=—axa,b=—axa1V232V313V12此处{(ax{(axa))=[V]IVc)这里引用了公式：(AxB)x(cxD)=[(AxB)•D]C-[(AxB)•C]D。(axa)x(axa3112a一「(axa)•a1L311」由于(axa).a=0,故有b2xb3=V=(axa).a故有、2a1b2xb、2a1b2xb3=TOC\o"1-5"\h\z(2兀)2(2兀》(2兀＞b•(bxb)=a•b=a•(axa)=123V11V2123V或写成r()_(2兀》b1'(b2b3)=a・(axa)123倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的(2兀)3倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量4,a2,a3满足关系a=2兀bV，a=2兀%*,。=2兀%、\1b•(bxb)2b•(bxb)3b.(bxb)123123123有前面知:(2兀)2bxb=—ac

bxb令c=2兀一-&__=2兀b・0xb)(2k)2aVic1

b-(bxb)又知(2k)2aVic1

b-(bxb)c(2k)3「V]ci=-^_ai[(2K^:aibxbTOC\o"1-5"\h\z同埋c=2兀——t3——i=a2b」(b2xb3)2-bxbc=2兀i—2=a3b]・(b2xb3)3可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身.2.3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl),(a)证明倒易点阵矢量G(hkl)=hb[+kb2+1气垂直于这组平面(hkl)；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为：d(hJk)=gw)d(hkl)=^=『h)证明对初基矢量a「d(hkl)=^=『h)1'攵、"%J证明对简单立方点阵有d(hkl)=.a一<h2+k2+12证明参看图2.3,在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是ajh,aJk,ajl.现要证明G(hkl)垂直于ABC,只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可.CA=图A3G(E)垂在于乎面(W)CB=用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2.2),立即可得G(hkl).CACA=图A3G(E)垂在于乎面(W)CB=用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2.2),立即可得G(hkl).CA=(hb+kb+lb)-f氏-%)=hb-约-lb-a=0123"hl)1h3l同理，G(hkl)・CB=0故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl).(b)点阵平面(hkl)的面间距刁(hkl)为d(hkl)=OA-aG(hkl)nhG(hkl)ahb+kb+lb_2兀节•-]g(hkl)3—|G(hkl)(c)如果晶体点阵的初基矢量a,a,a彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也123必然彼此正交.设b=bx,b=by,b=bZ112233由倒易点阵基矢的定义b=竺(axa),b=史(axa),b=史(axa)1V232V313V12及V=aa(得b=2兀/ab=2兀/a,b=2兀/arh2k212)—+—+—Ia2a2a2)'123/G(hkl)=»+(kb2)2+(勺)2=于是面间距为a37(d)对立方晶系中的简单立方点阵，a=a=a=a,用(c)的结果可得123/7(W)~a+*2+』22.4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB=4,4C=3,夹角BAC=兀/3的平行四边形4BCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量.［解］解法之一参看图2.4,晶体点阵初基矢量为。=4£1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3、3\/3人a=—x~\y\o"CurrentDocument"222iy图2.4二维点阵的一个初基晶胞用正交关系式(2.2)求出倒易点阵初基矢量。设12b=bx+by.b=bx+by1lxly22x2y由》-a=2丸,方-a=0,b•a=0,Z?-a=2兀11122122得到下面四个方程式4x-Gx+b))=2兀(1)lxly

/（心.人）TOC\o"1-5"\h\z[2>『史04x-(bx+by)=0(3)3x+323y¥xx+byy)=2兀(4)n由式(1)得：4b=2兀,b=—1x1x2由式(2)得：3b+电b=0，即3•-+2b=02ix2iy2221y解得:由式(3)得：4b=0,b=0代入式(4)得：匹b=2兀,b\o"CurrentDocument"22y2y于是得出倒易点阵基矢b=-X—二y,b122寸'32解法之二选取七为2方向的单位矢量，即令人a=2于是初基晶胞体积V为c倒易点阵基矢为=V-(a=V-(a2x%)=c2-[3八3后」—x+亍yJx2=八-X一工y22为2兀((aVcb=V.(axa)=2兀Zc对二维点阵，仅取fs两个方向，于是得b=1f-二云,b=廷云122<323^32.5简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的初基矢量可以取为证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2n/c和4兀八3a，并且相对于正点阵转动了30角；当比率c/a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c/a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积.［解］(a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2.5所示.点3a=——ax+—y,a=-——ax+—y,a=czi222223初基晶胞体积为图简单六角点阵的一组初基矢量

.(axa)=yzaa2兀一2s22=^rx+—yJ3aa0c0x2倒易点阵初基矢量为0x2人*xyz72兀2兀0b=——axa=——0c2V31V<'3acca0~T2cc2兀寸'3ayza02兀八—=——z2ca02<3a~2\：3a(V

73alj+2/—打,b或写为(V

73alj+2/—打,bb、+k>，b=——

由ax22J3c同正点阵初基矢量a1=a—xa1=a—x+=,a=a'-有人x一A=cz比较看出，b,b,b所确定的点阵仍是简单六角点阵，123侦）君a，并相对于正点阵绕c转动了30角（见图2点阵常数为2号c和6）。正点库2.6筒单六角点阵的倒品点阵仍为简单六角点阵，并相对干正点阵缝e转动了3。占角.其中的口*,广为倒易点阵的点阵常数(b)设倒易点阵的点阵常数比为c*a*,出(a河知2兀c*：a*=——c若正点库2.6筒单六角点阵的倒品点阵仍为简单六角点阵，并相对干正点阵缝e转动了3。占角.其中的口*,广为倒易点阵的点阵常数(b)设倒易点阵的点阵常数比为c*a*,出(a河知2兀c*：a*=——c若c*：；a*=Ca，则有c2./'a2=?,Ca=争=0.931故当正点阵的c.M值为若正点阵c/a=3，则倒易点阵的c*fa*为c*；/a*=~2a；c=0.53故当正点阵的c/a为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53.(c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W-S晶胞.显然为一六角正棱柱(如图2.7),其体积为16兀3(2兀》16兀30=一Vx：3a2cc即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为0=b.(bxb)=^6^123^3a2c

2.6底心正交点阵的倒易点阵证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵.［证明］底心正交点阵的惯用晶胞如图2.1八1八a=ax,a=ax+by,a=cz12223初基晶胞体积为abcV=c2倒易点阵基矢为8所示.选取初基矢量为技_2氏_b——axa—2.6底心正交点阵的倒易点阵证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵.［证明］底心正交点阵的惯用晶胞如图2.1八1八a=ax,a=ax+by,a=cz12223初基晶胞体积为abcV=c2倒易点阵基矢为8所示.选取初基矢量为技_2氏_b——axa—2冗c由图2.9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为2兀=—axacB.-竺y,b-竺axa-史z1b3V12c圈底心正交疽阵的一细初基矢童图幻9底心正交点阵的倒易成阵基死2.7三角点阵的倒易点阵三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角-cosO*=cos。/(1+cos。)［证明］三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等.现令初基矢量为A'a-axa=acos9X+asin9y>(1)a=acos以X+acosPy+acosyz参见图2.10，cosa,cosP,cosya-a1=cos9a2得cosa=cos9a-a2=cos9a2得cos9(1-cos9)cosP=是a在X、y、z三个方向的方向余弦。(3)于是有12(4)sin9是a在X、y、z三个方向的方向余弦。(3)于是有12(4)且有相同长度，a—a,a—a,a—a平面，且有相同长度，331121a*23=^^a2sin0Vc(5)将V=a・(1a*23=^^a2sin0Vc(5)将V=a・(ax代入上式得a)=•a(33b=b=b=b=a*2兀1a*xa1)=3sanjcos(6)2兀a2sin0a3sin0cosyacosyb「q,b彼此间应有相间夹角.cos03b•ba*2设b「气间的夹角为0*，、2cos0(axa).(a利用公式A・(BxC)=B・(CxA)=C•(AxB)Ax(BxC)=(C・A)B-(A-B)C上式化为八(axa)•(ax〉(a)如•a)—(•，2aaco0co0*=―2331=23312—=—-3a4sin0a4si0i+1Gbos(8)同理可以证明b,b,b任意二矢量间的夹角均为此值。23为了计算a*，利用式(4)得到cosy=1—cosy=1—cos200(1-cos0)212cos2sin20-2cos201—17^0=1+2cos0cos0*代入式⑺得2丸r八八，匚a*=a——1+2cos0cos0*—12a*=a2.8点阵平面上的阵点密度证明点阵平面上的阵点密度(单位面积上的阵点数)c=、,这里匕是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是｛111｝面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是｛110｝面.［证明］考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2.11所示.设该平行六面体中包含n个阵点，它的体积为=nVC或写为=Ad其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高.由以上二式得Ad=nVc于是点阵平面上的密度为ndc==AVc由(a)可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度.由倒易点阵矢量与面间距d的关系G(hkl)=?、d(hkl)可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大.面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量b=竺(f+宁-2)TOC\o"1-5"\h\zab=史(一X+y+2)\o"CurrentDocument"ab=2n(x-y+2)a都是最短的倒易点阵矢量，"=|b2=|bj，并都在立方晶胞的＜111＞方向，故｛111｝平面有最大的阵点密度.体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量72兀小八b=——1工+刃TOC\o"1-5"\h\za•72兀八八b=\y+z)\o"CurrentDocument"a,2兀八八b=——\x+z)a也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故｛110｝平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面.2.9单斜点阵的面间距已知平面族(hkl)的面间距与倒易点阵矢量G(hkl)间的关系为d(MI)=-_声—|G("TOC\o"1-5"\h\z其中G(hkl)=hb+kb+lb，试证明单斜点阵的面间距d(hkl)由下式决定12311(b20cos。)ka\o"CurrentDocument"—『=—+——+—yhkl)sin2p("2"2aaIV131372其中o,。,a是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，P为间的夹角，P。90。(参12313看图2.12)证明：123初基晶胞的体积为

V=a.(axa)=aaasinpc231123(hkl)平面族的面间距为d(hkl)=岸G(hkl)要计算d(hkl),除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义asinpTOC\o"1-5"\h\z2叫axa2兀V—~ac22兀|axa2兀Vasinp此外，有4兀2(axa)(axa)4兀2a.「ax(axa)]4兀2cosPb3.bi=1V223=1V223"aasimpcc13b.b=b.b=01223代入d(hkl)的表达式中得4兀2,=44兀2,=4兀2d2(hkl)1'h2122hlcosp'

—+—[a2a2aa)'h2122hlcosp'

—+—[a2a2aa)sin2P1_1f\=7"

d2(hkl)sin2pk2+—a22k2+—a222.10外斯晶带定律属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，晶带轴［uvw］与该晶带中的平面0的满足关系uh+vk+wl=0(b)证明晶面(hkl),(hkl),(hkl)属于同一晶带的条件是111222333hkl111hkl=0hkl333证明(a)以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是G(hk)l=hbk-b3lb必定在晶面(hkl)法线方向.而晶带轴［uvw］的方向矢量为R=ua+va+wa.既然123晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行R-G(hk=0用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系<\0,i丰ja-b=2兀8.=<2..直接可得uh+vk+wl=0TOC\o"1-5"\h\z(b)既然(hkl),(hkl),(hkl)属于同一晶带，由(a)有111222333uh+vk+wl=0<uh+vk+wl=0uh+vk+wl=0V333由于u,v,w不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即hkliii\o"CurrentDocument"hkl=0hkl332.11一个单胞的尺寸为a1=4,a2=6,a3=8,a=p=90。,y=120。，试求:倒易点阵单胞基矢;倒易点阵单胞体积;(210)平面的面间距;

此类平面反射的布喇格角(己知林1.54A).［解］(a)画出此单胞如图2.13所示.写出晶体点阵单胞基矢如下:a=4x,a=-3x-\-3y/3y,a=8z123晶体点阵的单胞体积为V=axa)=aaasin120°=96^3(A)3c312123图革斜单胸庭关的取法倒易点阵单胞的基矢为,27171b=ClXQ1V23c7“72兀图革斜单胸庭关的取法倒易点阵单胞的基矢为,27171b=ClXQ1V23c7“72兀271.7y,b=—axa=—=y.b2/313.龙C271兀人=—axq=—z3V124c倒易点阵单细体积为/\(2kJ3713oQ=b-\bxb)===(A)-3123V12j3c(c)与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量G(hkl)为G(hkd=hb+kb+lb123G(210)=心+—+人人5tc八y=7Cx+—y3^3-1G(210)|=兀2兀3寸§ad(210)=—『—==G(210)应(d)(210)面反射的布喇格角0为sin0=—)=—15_^0.53422x3■—\'130=arcsin(0.5342)=32.3°2.12(a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22,X-射线波长U1.54A，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111呼面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是55.8,试计算铁的密度.［解］(a)求出(110)平面的面间距d(110)d(110)=—^=1.54=2.056A2sin02sin22°于是求得点阵常数为a=dd(110)=2.91A(b)(111)平面的面间距为d(111)=a=1.68A<3于是(111)平面反射的不喇格角为人sin0=2^^(111)=0.4580=arcsin(0.458)=27.28。固体密度的公式为ZMP=a3其中a是立方惯用晶胞边长，Z是立方惯用晶胞中的原子数，M为原于的质量，对体心立方铁，Z=2，M=5'8x10-3=9.27x10-26kg.将这些数值代入到p6.02x1023的表达式中，得到P=7.52x103kg-m-32.13衍射极大值的宽度假定在一个线型晶体中，在每个阵点p=ma处m置有全同的点散射中心，此处m是一个整数，总的散射波振幅正比于u=£exp\-ima-Ak］m该式相当丁式(2・7)，只是对分离的点散射中心，积分化为求和.利用级数M-11—XM乙Xm=1一Xm=0对M个阵点求和后，上式化为1-exp-iM(a-Ak)1-exp-i(a-Ak)已知散射强度I正比于|u|2，试证明sin2M(a•Ak)2=U*U21sin2(a-Ak)2(b)当a-Ak=2兀h(h为整数)时，出现衍射极大值.稍稍改变Ak并由a-Ak=2兀h+8定义8，使得8给出函数sin1M(a-Ak)的第一个零点.证明28=2叫M，对于宏观晶体，出于M很大，因此衍射极大值的宽度可以非常狭窄.以上结果对于三维晶体也是成立的.［证明］(a)从一个线型点阵而来的散射波的振幅应等于各个阵点而来的散射波振幅之和.考虑到相邻两阵点散射波的位相差因子是e-ia-Ak，总的散射波振幅正比于U=劈e~im(a・Ak)m-0因为散射波强度正比于H的平方，由题知1_Q-iM(a-Ak)U=1—e-i(a-Ak)故2—eiM(a-Ak)—e-iM(a-Ak)^M("，U2=U*U==2-j2—eia-Ak—Q—ia-Ak•1sin2(a-Ak)2(b)散射波强度的极大值出现在满足衍射条件a-Ak=2兀h处，如果Ak与此条件略有偏差，衍射条件不再满足，散射波的强度将下降.假设当a-Ak=2兀h■&时，对应于散射波强度的第一个零点(参见图2.14)，即满足1sinM(a-Ak)=02或1sinM(2兀h+e)=02由此解得1睥-M8=兀2UP图2,14衍肘极大值的霓虞£由*・MS时+占定义，E给出散射波强度的第一零点，UP图2,14衍肘极大值的霓虞£由*・MS时+占定义，E给出散射波强度的第一零点，£=A}M悬很小的2.14散射波的振幅当衍射条件Rk=G满足时，从晶体射来的X-射线散射波振幅正比于u=je-iG-rn(r)d3r式小n(r)是r处的电子浓度.如果电子是定域化的，r处的电子浓度可以写为n(r)二££n(r-1-r)li式中l是第l个晶胞原点的位置矢量(参见图2.15)，r是第l个晶胞中第i个原i子的中心相对于l的位置矢量.n.是和第i个原子相联系的电于浓度.证明uG可以写为u=£e-iG-i^=N甲l其中N是晶体中所包含的晶胞数.甲g是把晶胞中的原子选作基元，该基元的几何结构因子图2.15当A*=G时，从各个阵虑（成井个晶脂）来的散射谴是相长干涉的，盹代表一个晶胸（成基元）对散射波握帽的中G二£f（G）exp（-iG.r）i其中f（G）=f气（r）e-iG.rd3r是第i个原子的形状因子。试问散射波极大值的强度IG是多少？图2.15当A*=G时，从各个阵虑（成井个晶脂）来的散射谴是相长干涉的，盹代表一个晶胸（成基元）对散射波握帽的解把晶体分成N个晶胞，当衍射条件满足时，从各个晶胞而来的散射波振幅正比于u—fe-iG-rn(r)d3r-fe-iG-r蒙n(r—l—r)d3rli令r'—r—l—r,d3r—d3r'iu—f£eSi+r.)n(r')d3r'—£e-iG-i£e-iG-r.fe-iG-rn(r')d3r'l,ili由于G-1—2兀n(n为整数)，£e-iG-l—N，于是UG—N£e-iGrf^(gUG—N£e-iGrf^(g)f（g侦en（r）d"是基元中第i个原子的形状因子，代表原于中各部分电子密度的散射波相互干涉的结果对散射波总振幅的贡献.于是我们得到其中-"f(g)i是基元的几何结构因子，代表基元中各个原子的散射波互相干涉的结果对总振幅的贡献.散射波的强度IG次UG|2=N2|中」2，正比于基元的几何结构因子的平方.2.15体心立方结构和面心立方结构的结构因子有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子.说明考虑到消光规律后，这种处理方法得到的X-射线反射谱与直接把体心立方、面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的.［解］(a)体心立方结构我们知道体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，其倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4兀a。相应于这个面心立方点阵的倒易点阵矢量G所给出的波矢改变kk=G,都有劳厄衍射峰出现.但是，为了方便，我们常把体心立方结构考虑为一个带有两点基元的简单立方点阵，基元中两点的坐标为r=0,七=I(X+^+£).从这个观点来看，例易点阵仍然是简单立方点阵，立方晶胞边长为2Ea。根据衍射条件，当版等于这个简单立方倒易点阵的G时，都可能有劳厄衍射的峰值.但是，既把体心立方结构考虑为带有基元的简单立方点阵，就必须相应地处理基元的几何结构因子，计入结构因子对散射波振幅的影响.由式(2.11)知道，基元的几何结构因子为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"中=£fexp(-iG-r)(1)i其中r.是基元中第j个原子的坐标r=xa+ya+za,(0<x,y,乙<1)a,a,a是简单立方点阵的初基矢量ii1i2i3iii123a=aX,a=ay,a=aZ123G是简单立方点阵的倒易点阵矢量g=空(1x+1y+1z)a123

将,和G的表达式代入式(1)中得到ip=^fexp-i2k(xl+yl+zl)1(2)GiLiii2i3」i体心立方结构作为简单立方点阵处理时，基元包含两个全同的原子.它们的位置r=0,即x=y=z-0r=2(X+y+Z),即x=y=z=1/2而原子的形状因子f=f=f12将以上关系式代入式(2)小，就得到体心立方结构的结构因子甲=f{+exp-iK(〈+12+13」)}=f1+(—1)i+l尹‘2,l]+甲=f{+exp-iK(〈+12+13」)}=f1+(—1)i+l尹‘2,l]+1+1为偶数

0,l+1+1为奇数由以上的分析看出，体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，也可以作为带有基元的简单立方点阵处理，所得的X-射线反射谱是完全相同的.(^面心立方结构面心立方结构可以直接用面心立方布喇菲点阵处理，倒易点阵为体心立方点阵，立方晶胞边长为4"a.与其倒易点阵矢量G相应的波矢改变Ak都有衍射峰出现.但是，为了方便，我们有时把面心立方结构用简单立方点阵处理，相应的基元包含四个点：r=0,r=a(X+y),r=a(y+Z),r=a(Z+X).这样处理后，1223242相应的倒易点阵是简单立方点阵，立方晶胞边长为20a图2.16在简单立方倒易点阵中，去掉结构因子为零的点〈。)，剩下的点(,)正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长为4小

图2.17从简单立方倒易点阵中去掉结构因子为零的点(O),剩下的点(•)正好是一个体心立方点阵，其立方晶抱的遂长为4就口需要注意的是，必须同时计入基元的结构对散射波振幅的影响。计算得到面心立+exp+exp一次(l+1)}中=fH+exp一次(l+1)]+exp-in4,412全为奇数，fx〕4,l,l全为偶数，1230,l］七部分为奇数部分为偶数当指数l］,l2,l3部分为奇数或部分为偶数时，结构因子为零，相应的反射消失.在简单立方倒易点阵中去掉结构因于为零的点，剩下的正好是一个体心立方点阵，其立方晶胞边长为4n.：a，如图2.17所示.这和把面心立方结构直接用面心立方布喇菲点阵处理所得的结果是完全一样的.2.16金刚石结构的结构因子金刚石结构的惯用晶胞是立方体，其个包含8个相同的原子.把立方惯用晶胞中的8个原子取作基元，金刚石结构可以作为带有基元的简单立方点阵处理，试计算基元的几何结构因子，并证明金刚石结构所允许的反射是所有指数l,l,l均为奇数，或均为偶数且l,l,l=4n，这123123里n是整数.［解］金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方，基元包含两个原于，位于

二=0,侦a(X+y+Z).若把金刚石结构的立方惯用晶胞中的8个原子选作基元，相应地，金刚石结构可用带基元的简单立方点阵来描写.这8个原于的坐标是:"1、，11“，111、，133、，331、，313、(000)、(一0)、(0)、(——0)、()、()、()、()。把这8222222444444444444个原子的坐标代入结构因子的表达式^(lll)=Efe-2您(lX+ly+lZ)甲e1i2yi3i123ii利用f=f，计算得金刚石结构的结构因子为ifn(lll)_f[工Q_兀i(]+l)工〃_兀i(+l)工Q兀(l+l)工Q-：i(l+l+lVQ-ti(l+3,l+3l)s-ti(3l+3l+lK京0+l+3l),.9ylll/=f1+e兀八4+l3+e兀n+l)+e-t¥+l2J+e2123+e212+3e21+e32123123经整理后得Ki(l+l+l)2123,=ss(lll)=f1+e-ti(l+l)+e-ti(l+l)+e-ti(l+l)1+ej人~e13丁e23丁e12人丁e其中1s=f1+土+l2+4)正是在面心立方阵点上所放置的基元(Ki(l+l+l)2123,=ss其中1s=f1+土+l2+4)正是在面心立方阵点上所放置的基元(000)^-)的结构s=j［十e2123---气(l,+1+12123444现将以上结果讨论如下：TOC\o"1-5"\h\z当l,l,l全为偶数，且l+1+1=4n(n为整数)，s=2f,s=4，故123123129(lll)=8f。123当l,l,l全为偶数，且l+1+1=4n+2(n为整数)，s=0,s=4，故123123129(lll)=0。123当l,l,l全为奇数，且s=f(1土i)，s=4，故9(lll)=4f(1土i)。12312123当l,l,l部分为偶数，部分为奇数时，s=0，故甲(〃/)=0。1232123所以，金刚石结构允许的反射是所有指数l,l,l均为偶数且l+1+1=4n,123123或者I,l2,l3全为奇数.可以看到，由于金刚石结构放置在fcc点阵阵点上的不再是同种原于，而是一个由两个原子组成的基元，此基元中两个原子的散射波相互干涉的结果使fcc点阵所允许的反射又有一部分消失.2.17氯化钠结构的结构因子NaCl是立方晶体，把NaCl结构立方惯用晶胞中的原子选为基元，NaCl结构也可以用sc点阵处理.试计算基元的结构因子甲G-[解]NaCl结构的布喇菲点阵是fcc,基元包含一个C1-,位于(000),一个Na+,位于日11)。把这样一个基元放置在fcc点阵的阵点上，就得到NaCl结构.这222个由两个离子组成的基元的几何结构因子是s=Zfe—i2兀G"+yl2+zi)=f+fe-沉(4+l2+l3)，Cl-Na+i其中f，f分别代表Cl-和Na+的形状因子.现在把这样一个基元放在fcc点阵的阵点上，用s代替fcc结构因子中的f就得到NaCl结构立方惯用晶胞的结构因子f+fe-沅(〈+l2+l3)|」1+e-沅(〈+l2)+e-汛。2+l3)+e-，兀(〈+l3)TOC\o"1-5"\h\zCl—Na+丑-=rf+f(—1)l1+l+)3-[1+(—X+l1)+()1+)2+l(—、1+)]l3一C—Na」LL一4(f+f)当l,l,均为偶数时C—N123=】4(f—f)当l,l,均为奇数时C—Na1230当l1,l2,部分为偶数，部分为奇数时KCl具有NaCl型结构，且/^和儿―接近相等，因而只有l/l/均为偶数的反射是允许的.KBr也具有NaCl结构，但KBr小的Br-和K+的形状因子很不相同，因而fcc点阵允许的反射KBr也都有.2.18六角密堆积结构的几何结构因子证明单原子的六角密堆积结构的结构因子，当倒易点阵矢量G取简单六

五角点阵的诸点时，可以取1+广3n,n=1,2,・・・6，六个值中的任何一个值;证明在通过原点G=0并垂直于c轴的平面内，所有倒易点阵阵点都有不为零的结构因子；证明结构因子为零的点位于垂直于c轴的例易点阵平面族中交错排列的平面内；证明在这样的平面内，从G=0出发，位移一个与c轴平行的矢量的点，结构因子为零；证明从这样的平面中去掉结构因子为零的点后，倒易点阵的三角形网络将变成一个蜂巢形列阵.［解］六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角，相应的基元包括两个同种原子，它们的坐标是r=0,r=2a+1a+1a，如图2.18所示.原子形状因子是12313223f=f=f.将以上关系代入结构因子的表达式中，得(21―、1)c2—l+-+-l，\31322/—y=f<1=f<1+exp-i兀l+yl+zl)j1j2j3-I甲=Zfexp-i2兀j一一，兀、=f1+exIp-言A_\3J_式中n=4l］+2l2+3l3=整数，n可以取1,2,・，6这六个数中的任何一个，当n取1，2，・6以外的数时，结构因子是重复的，例如n=7和n=l重复，n=2和n=8重复….所以，当倒易点阵矢量取简单六角点阵的所有点时，六角密堆积结构的结构因子只能取f(1+疽9］，n=1，・，6这六个数中的任何一个.IJ由例题2.5可知，简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵.通过原点G=0并与c轴垂直的平面是基矢b1、b2所构成的平面(见图2.19)，在此平面内，所有倒易点阵矢量都有指数l3=0、l2、l3为任意整数.将/3=0代入n的表达式中，得n=4l+21=22l+)1212若要结构因子为零，要求n是3的奇数倍，即2（2/1+1）=3x奇数或写为211+12=-x奇数.满足此条件的整数11、12是不存在的.所以，在通过G=0并与c轴垂直的平面内，没有结构因子为零的点.（c）如果结构因子为零，则要求411+212+313=3奇数，或写为2（21+12）+313=3奇数当13=0,2,4,…等偶数值时，上式是无法满足的，因为这意味着要求2(21+1)=3x奇敛故结构因子为零的点必定在13=1,3,5等奇数值的平面内。在这些平面内，如果满足…2（211+1）=3x偶数就得到结构因子为零的点.由上述可见，结构因子为零的点只能在与c轴垂直的平面族中交错排列的平面内，即13=1,3,5等奇数值的平面内（参见图2.19）.在这些〈=1,3,5奇数值的平面内，从原点出发位移一个平行于c轴的矢量lb的点，都有l=l=0，这些点相应的n值为3312n=41+22+33=33而13=1,3,5奇数值，显然满足n=3x奇数的条件.于是相应的结构因子为零.在这些13=1,3,5奇数值的平面内，考虑其它结构因子为零的点，即满足41]+212+313=3奇数的点，此条件又可写为21]+12=3x整数满足此条件的点正是二维六角点阵六角形单胞的中心点.在二维六角点阵中去掉这些点后剩下的正好是一个三维蜂巢形网络，如图2.20所示.图2.20在奇地的平面内，绪构因子为零的六用(。)表示.去掉这些点后，剩下的结构因子不为零的点(•)正姓构成一个蜂巢形网络2.19线性列阵的衍射X-射线束垂直入射到点阵常数为a的线性结构上，相长干涉的条件是宜os0=n人，这里n是整数，。是衍射束与线性结构的夹角.对于一定的n，波长人恒定的衍射束位于一个圆锥表面上，如图2.21所示.用圆筒底片来拍摄图2.2l(b)的衍射图样，圆筒的轴与线性结构的轴相一致.描述胶片上的衍射图样；如果把一张平底干板放在线性结构的后面，并与入射束垂直.粗略画出干板上的衍射图样；如果用单原子的二维正方点阵(点阵常数为a)，点阵平面垂直于X-射线族.粗略地绘出干板上的衍射图样；

镍晶体(110)表面的原子在背射方向所产生的电子衍射图样如图2.22所示.说明衍射图样的取向与镍表面原子的相对位置关系(假定在低能电子衍射中只是表面原子起作用).［解］(a)用圆筒形底片拍照，底片上的衍射图样是一个圆锥面和圆柱面的交线.若将底面展开，则各条线互相平行，中间一条正对入射方向的是零级衍射线，上下两侧对称分布的是其它各级衍射线，如图2.23所承.衍射级越高(即n越大)，相应的锥面的角则越小，圆柱面与锥面的交线距中心也越远，如图2.24所示.

(9平面干板上的衍射图样是底片平面与锥面的交线，为双曲线，如图2.25所示.由(b)的结果，对二维正方点阵，在两个互相垂直的方向上得到两组双曲线，分别代表在这两个方向上的相干加强.而在于板上必须同时满足这两个方向上的相反干涉条件，才能得到一个亮点.因此，干板上的衍射图样由此两组双曲线的交点确定，见图2.26.由衍射条件可知cosO=Ma，对于一定的衍射级n，a越大则9角也越大，衍射点到中心线的距离也越近.因此，对镍表面层的原子所构成的二维矩形点阵，衍射图样如图2.22(a)所示，可见底片应与镍表面原子层平行.‘’2.20用粉末法作结构分析用X一射线粉末照相机分析三种不同的单原子立方晶体的粉末样品.已知一个样品是fcc结构，一个是bcc结构，还有一个是金刚石结构.每种样品前四个衍射环的大约位置(见图2.27)如下表所示.样品的争值ARe42,2°2£.8H42.8。49.273,272.050.889.087.359.6115,U判断三种样品A、B和C的晶体结构；如果X-射线入射束波长是1.5A,试问每种样品的立方惯用晶胞边长是多少？如果用有同样立方晶胞边长的闪锌矿结构代秒金刚心结构，那么，前四个环应在什么角度出现？［解］(a)考虑从X一射线粉末照相机得到的衍射图样，衍射环出现的角度4和布喇格角0的关系是参看图2.28,由不喇格定律得2dsin0=nXn2X21sin204d2

对于sc结构，而间距d为na(12+12+12代入到布喇格定律中，得sin29=4^-(12+12+12)(1)对于A、B和C三种样品，分别计算出sin2。的数值如下表ABC2&sinaflx10sM■sin2ffx10s2&sin^xlQ142,2#ISO28.8°QZ42.站13349.217341.012373.235572.034550.818489.04&1S7.347659.6247115.01711现考虑bcc、fcc和金刚石结构的结构因子.bcc——当指数11+12+13=2n(n为整数)时，有反射，前四个衍射环相应的指数是(110)、(200)、(211)和(220).fcc——当1,1,1均为奇数或均为偶数时，有反射，前四个衍射环相应的指数123是(111)、(200)、(220)、(311).金刚石结构当1,1,1均为奇数或均为偶数，且1+1+1=4n(n为整数)123123时，有反射，前四个衍射环相应的指数是(111)、(220)、(311)和(400).相应的12+12+12=G2，如下表123bccfee金刚石*-Gn+n+iiC面+硅(ill)£<I11)3(200)4(湖)4(22(])8(211)6[220)g(3U)11(220)8(311)11<400)1ft现在考察三种样品的前四个环由4的测量值所计算出的sin20.按式(1),

sin29x(/2+/2+/2),将由测量值计算出的simO与以上三种结构的E+E+E比123123较，就可以确定晶体结构类型。对于样品A,前四个衍射环的sin20(测近值)为sin20(1)130^3x43-l3J(1)173a4x43-"3J(1)345u8x43-"3J、比率为3:4:8:11(1)476^1lx43-l3』正好和fee结构前四个环的Z2+/2+/2比率相同，因此，可以断定样品A是fee结123构.对于样品B,前四个环的simO为sin2062牝2x(31)'、123^4x(31)103(、184^6x(31)247^8x(31)，比率为2:4:6:8正好和bee结构前四个环的/2+/2+/2比率相同.可见样品B是bee结构.123对于样品C,前四个衍射环的simO为sin20103)：(1)133q3x44-"3j(n355a8x44-"3j491«llx44-"3J(1)711al6x44-、比率为3:8:11:16正好和金刚石结构前四个环(Z2+/2+/2)比率相同.可见样品C是金刚石结构.123(b)现用入射束波长人=1.5A,计算立方惯用晶胞的边长.对于样品A,由(a)已知是fcc结构.将(311)线的sin2。=0.476』2+12+12=11,123代入式(1)得0.476=0.476=(1.5¥11Vaa=3.60A对于样品B,已知是bcc结构，用(220)线的sin20=0.247,12+12+12=8，代123入式(1)得0.247=(L5pVa)0.247=a=4.27A对于样品C，已知是金刚石结构，用(400)线的sin20=0.711,1;+1;+1;=16，代入式得0.711=(1.5¥16Va0.711=(1.5¥16a=3.56A如果用有同样立方晶胞边长的闪锌矿结构代替金刚石结构，考虑到闪锌矿结构两种原子的形状因子不同，f。f.fcc点阵所允许的反射它都有，即1,1,112123全为奇数或全为偶数都有反射.前四个衍射环的指数应当是(111)、(200)、(220)和(311).将金刚石结构的立方晶胞边长a代人式(1).c人2(\sin20=——V2+12+12可以分别求出这四个衍射环相应的。角(©=20)是42.8，49.9，73.2和88.7.下表列出了闪锌矿结构和金刚石结构前几个衍射环的指数和。角。

闪锌矿结构姓刖石结构M损3）护.邪—20(111)42.r(200；卵一9—(S^c=0)⑵0)73.273.2(Ml)83,7(22Z)93.&■S=o)(400)115.0115.02.29用低能电子衍射计算金属势阱的深度一束平行的能量为25eV的电子束射到一个薄的金属多晶样品上，已知该金属为立方结构，点阵常数为5A.电子束穿过金属薄片形成衍射花纹，拍照后发现，最小衍射环的角径是120.试求这种金属势阱的深度.［解］在真空中电子的速度V0由下式决定1mv2=25^eV）2o仅当电子入射到金属晶体中，由于金属势阱的吸引作用，电子速度增加.设增加后电子的速度为vc，显然vc由电子在金属中的动能决定1—mv22c=1—mv22c=25+4(eV)/号⑴0量顼（25—4）/25起到一个电子折射率n的作用.当电子垂直于晶体表面入射到晶体时，电子将受到晶面的布喇格反射，而当电子由晶体射出时，因折射率偏转（见图2.29）.由折射率公式得血°C翥血件⑵由图2.29可知，从晶体射出的电子束相对于表面法向的夹角是

式中0是电子入射到晶面的布喇格角.按照布喇格定律，电子受晶面的布喇格反射满足人24a2(h+h+12)sin29=(4)令112+l2+l3=A，于是有人24a2(h+h+12)sin29=(4)X_p_:25TOC\o"1-5"\h\z寸0=/~V(5)Xp\25+小式中P0、Pc分别表示电子在真空中和金属晶体中的动量.将题设的数值代入,利用式(5),布喇格定律可写为\o"CurrentDocument"sin29—I。"(6)25+©现在得到\o"CurrentDocument"cos9—1-2sin29=1-3"⑺125+©将式(2)和式(7)代入到cos29+sin29—1中去得到

25+g12A28A—25（8）现在的问题在于求出a,即求出衍射指数g(iei25+g12A28A—25（8）8A—25>0或A>3此外，由式(8)12A2e=—25>08A—2512A2—25（8A—25）>0或（6A—25）（2A—25）>0由此得到25.、A<一或A>12.5625既有A>3,又有A<-5，所以，最小的A值只能是6由A=l-+12+12知道，最小衍射环的衍射指数是(200)，将A=4代入式(8)，得到金属势阱的深度e为12A2—17“e=一25=——eV8A—257此题中(100)面的一级反射是消失了的，不然相应的衍射环将有比120更小的角径，这种金属可能有fcc结构或bcc结构.2.22含有n个离子的基元考虑一个带有基元的点阵，其基元由n个离子组成.假定基元中第i个离子又包含气个带电荷-Z广的质点.当把这第i个离子平移到r=0的位置时，这些带电质点的位置矢量是b(j=1,,m)，如图i2.30所示.…(a)证明第i个离子的形状因子是

(b)证明基元的几何结构因子和把点阵等价地描写为一个带有m1+m2+m3++气个点状离子的基元所得的结构因子相同.［解］…(a)基元中的第i个离于由mt个带电质点组成，其中第j个质点所带电荷是-Zf,其位置矢量是^。第i个离子的形状因子表示第i离子内各个带电质点的散射波互相干涉的结果对散射波振幅的贡献.由原子形状因子的公式知，第i个离子的形状因子为f-In(r)e-iG-rdr对分离的带电质点，上述积分化为求和，于是得到f-为Ze-iG~biji-1(b)基元由n个离子组成，其结构因子是p=Xfe—iGri-1其中f.是基元中第i个离子的形状因子，r.是第i个离子的位置矢量。第r离孑第r离孑图a就由并个离子组成的墓元，其中第，个离子包含着屿个点电荷、其中第屈个点电荷相对于第i个繇子中心的位置矢域是跖“相对于瞟点是知』+门.这个基元的结构因子可以等价地看作基元由屿+典£+叫个点电荷组成将第i个离子的形状因子f代入，得i-Xi--Xi-1Xze-iGbjLj"je—Gr-X£zeM+r)ijj-1i-1如果将点阵等价地看作一个带有由m1+m2+m3++气个点状离子的基元，这个基元的结构因子为p=£fe-G*k其中f是第i离子中第j点电荷的形状因子.求和对m+m+m++m个点状TOC\o"1-5"\h\zk123n离子进行.原第i个离于中的第j个点电荷所带电荷为-Zf（即第匕个点状离子所带电荷为-Ze），形状因子就是Z，而该点电荷的坐标是r+b。于是ijijiij中=fLnZe-G(bj+r)Gijj=1i=1可以看到，由n个带电离子组成的基元（每个离子又由当个点电荷组成），其结构因子和由m1+m2+m3++”n个点离子组成的基元的结构因于是相同的.2.23原子形状因子设晶体中原子的电子密度是这样一个周期函数，在每个晶胞中定义为n(r)='Z=〃，(对r<R)4兀R3=0,(对r>R)求原子的形状因子.［解］原子的形状因子决定于电子密度的傅里叶变换f-Idvn(r)exp(-iG-r)题中所给的电子密度是球对称的.令r与G间的夹角为s从而G-r=Grcosa用球坐标，iGrf=2兀Idrr2d(cosOn(r)e-iGrcosa=2兀Idrr2n(r)(^~~iGr=4打血(爪空Gr=—\RsikGr\drGoG34nnr-GRco^GR)+s(础)「如果G=Q,f简化为G3f(g=o)="G)办==z即等于原子中电子的数目。习题2.1一个具有晶体点阵周期性的函数〃G)=〃G+。)，可以用倒易点阵矢量G=—P展为博里叶级数a人)二£YlCiliiPxIaPP其中a是点阵周期，P是整数。证明傅立叶系数是=—iadxn兀"aoneiGr的逆傅立叶变换给出GG证明在三维情况下，n(r)=£这里neiGr的逆傅立叶变换给出GGC2.2试写出14种布喇菲点阵的倒易点阵，指出其中哪些点阵的倒易点阵不再同于正点阵的点阵类型.2.3(a)试证明简单四角点阵的倒易点阵仍为简单四角点阵；(6)试证明体心四角点阵的例易点阵仍为体心四角点阵.2.4证明体心正交点阵的倒易点阵是面心正交点阵.反之，面心正交点阵的倒易点阵是体心正交点阵.2.5一个二维晶体点阵的初基矢量长度为"1.25A,a2=2.5A,夹角Y=120，求倒易点阵基矢和倒易点阵类型.2.6对点阵常数为a的二维六角点阵，写出正点阵的初基矢量；计算倒易点阵的初基矢量；画出第一、二、三布里渊区；计算第一布里渊区的体积.2.7倒易点阵矢量的一般形式可以写为TOC\o"1-5"\h\z_2兀i-一/、一/、一/G=——l(axa)+1(axa)+1(axa)]V1-123231312」c式中a,a,a是晶体点阵初基矢量，v是初基晶胞体积.对于fcc点阵取惯用晶胞的三个棱123c为笛卡尔坐标抽，求倒易点阵矢量G的一般表达式.对下面给出的1,1,1值，计算倒易点眸矢量G的长度.123h1001-*10110212.8(a)试问fcc结构原于密度最大的平面是什么指数?铜具有fcc结构，试问该平面的原子密度是多少?(b)bcc结构原子密度最大的平面是什么指数?a-Fe具有bcc结构，试问该平面的原子密度是多少？2.9证明简单六角点淬(hkl)平面的面间距是1=4h2+k2+hk+12d2(hk1)3a2c22.10证明简单四角点阵(hkl)平面的面间距是1=h2+k2+12d2(hk1)a2c22.11在X-射线辐射中所观察到的最短波长是；=1.23A，试问轰击靶的电子的动能应当是多少eV?2.12(a)试计算当一个电子的动能为l0keV时相应的波长是多少?(b)写出300K的热,E中子相应的波长是多少(中子动能—-kT)?(c)当所加电压为30kV时，X-射线白色辐射的B最小波长应是多少?所可能发射出的X-射线的最短波长是多少？2.13一束150eV的电于射到镍的粉末样品上，试求出发生反射的两个最小的布喇格角是多少？已知镍为fcc结构，立方晶胞边长3.25A.2.14立方晶体单胞的边长a=2.62A,已知X-射线波长A=1.54A,试求相当于下列平面反射的布喇格角.(100),(110),(111),(200),(210)和(211)2.15一个铜靶发出的X-射线的波长久=1.54A,已知铝具有fcc结构，从铝的(111)面反射的布喇格角为19.2,试计算铝(111)晶面族的面间距和铝的点阵常数；巳知铝的原子量是27.0,铝的密度是2.7Xl03kg・m-3,试计算阿伏加德罗常数N。.2.16CuCl为闪锌矿结构，其密度P=4.135x103kg・m-3,从(111)面来的反射相应的布喇格角是6.5，试求入射乂-射线波长。2.17如果晶体受热膨胀，体膨胀系数为Y，试证明温度每升高一度时X-射线的反射束将转动一个角度8。=-匕tan63其中6是体积未膨胀时的不喇格角。2.18用铜的Ka〔辐射(人=1.5405A)对铝样品作X-射线背反射实验.实验表明，当铝样品的温度升高100°C时，(422)环的布喇格角改变了0.3.试计算铝的平均热膨胀系数.已知铝的点阵常数为4.041A.2.19从铜的粉末样品得到的某X-射线反射的布喇格角在温度为20C时是47.75,在1000C时是46.60，试计算铜的线膨胀系数.2.20以波长为4的X-射线沿简单立方晶胞的Z方向入射，求证当人21段12-k2a=EP2=E时，衍射光线在y-z平面内.其中P2为衍射光线和z轴之间的夹角，a为晶胞边长.2.21用连续X-射线沿简单立方晶体的［100］方向入射，用反射球法作出波长范围在人=ai3到X=2a的衍射点.2.22平面X-射线投射到一个三维简单正交晶格上，晶格的三个主轴方向的周期分别为a、b、c,当入射乂-射线与［100］方向一致时，试确定在哪些方向上出现衍射极大?对什么样的波长方可观测到衍射极大？2.23对bcc、fcc和金刚石结构，试分别指出下列反射中哪些反射将消失.(100)、(110)、(111)、(200)、(210)和(211).2.24证明立方晶系的粉末衍射实验中出现的衍射线相应的G2=12+12+12的值如123下：Sc：l,2,3,4,5,6,...fcc：3,4,8,11,12,...bcc：2,4,6,8,10,12,...金刚石：3,8,11,16,.2.25(a)闪锌矿具有fcc点阵，基元包括一个Zn离子，一个S离子.把立方惯用晶胞选为基元，闪锌矿结构也可以用sc点阵处理，试求此基元的结构因子；(b)GaSb具有闪锌矿结构。设原子形状因子fsb=2f^，试问立方晶胞的结构因于是多少？2.26(a)CsCl为立方结构，其中一种类型的离子位于立方晶胞角隅上，另一种离子位于晶胞中心，试计算立方晶胞的结构因子；(b)设fCs=3fa，试求％00是多少?(c)试说明为什么CsCl结构的消光规律与bcc结构不同.aaa2.27氧化亚铜具有立方结构，氧原子位于立方晶胞中心000和晶胞角隅±5±5±5」」」aaaaaaaaa处，铜原子则排列在包围中心氧原子的四面体中，即位于，顶一项一项，一一项和444444444aaa---44处(见图2.31).将立方晶胞中的原了选作基元，试计算儿何结均因子，并指出:当指数WL均为奇数时，反射仅决定于钢：当指数七七七中的两个为偶数，一个为偶数时，反射决定于氧；当WL中的两个为偶数，一个为奇数时，反射消失：当l,l,l均为偶数时，反射由铜和氧共同决定.1232.28对最近邻距离为a的二维的蜂巢形网络结构，试计算基元的结构因子.

2.29考虑一个假想的具有sc布喇菲点阵的晶体，基元由三个原子ABC组成，这三个原子的坐标依次是：000,110,111，它们的形状因子分别为f,f,f，试求基元22222abc的几何结构因子中g.如果所测量出的衍射极大值对应于13为偶数，试求衍射线的强度.图2.31CuQ的立方惯川晶胞。表示氧原子，污表示钳原子a图2.31CuQ的立方惯川晶胞。表示氧原子，污表示钳原子2.30考虑一个双原子键ABAB...AB，AB键的长度是5,A、B原子的形状因子分别是^、^，入射乂-射线束垂直于原子键.证明相长干涉的条件是以=acos0，此处9是衍射束和原子键之间的夹角；试求基元A-B的几何结构因子，并证明，对于n为奇数，衍射束的强度正比于|fA-fB|2，对于n为偶数，衍射束的强度正比于IfA+fB|2；如果f=f，其结果如何？AB2.31面心立方铜的单胞尺寸为0.36nm，试计算能从密堆积面产生X-射线衍射的最长波长是多少?如果X-射线的波长为0.5nm，试问从什么平面可以发生衍射？2.32二维正方点阵中的6个A原于的位置如下图所示，单胞边长为0.3nm.当X-射线的波长为0.2nm时，试计算X-射线在水平平面内散射的布喇格角.如果将6个原子中每个原子对衍射束的贡献加起来，试比较最低的两个衍射级的强度比总多少？AAAAAA2.33在上题的图中，若在A原子间的空隙处填入6个B原子(见下图)，A-A间仍为0.3nm，再将12个原子对衍射束的贡献直接累加，对上题的两个角度比较衍射束强度的大

小.小.如果B原于和A原子的散射能力相同；如果B原于的散射能力是A原子的一半.2.34己知一简单立方晶体的原子间最近邻距离是0.35nm，画出与立方晶胞表面平行的倒易点阵截面图.如果该晶体被波长为0.25nm2.34己知一简单立方晶体的原子间最近邻距离是0.35nm，画出与立方晶胞表面平2.35体心立方结构铁的单胞尺寸为0.29nm，从(110)平面观察到两级中子衍射，试计算所要求的中子的最小能量是多少？如果中子遵守麦克斯韦分布，试问什么温度下这种中子最多？2.36一个点阵间距为0.4nm的立方晶体，共［001］轴固定于与X-射线入射束垂直，入射束波长为0.1nm，如果最初晶体固定的方位是使("£)平面产生衍射束，试问为了使("£)平面产生衍射束晶体必须转动多少角度？这里(hkl)=(020)(hkl)—(030)111222(hkl)