材料力学之静不定系统

材料力学之静不定系统第一页，共36页。§11-1静不定系统的概念目录§11-2变形比较法§11-3力法.正则方程第二页，共36页。§11-1静不定系统的概念

1.静定和静不定系统：

由静力平衡方程可以求得全部未知力的结构

称为静定结构或静定系统。

由静力平衡方程不能求得全部未知力的结构

称为静不定结构或静不定系统。一.基本概念：

2.静不定次数：未知约束反力的数目与静力学平衡方程的数目之差。

3.基本静定系：

解除多余约束，代以多余约束反力，从而使得静不定梁在形式上转变成静定梁，这种形式上的静定系统称为

原静不定系统的基本静定系。第三页，共36页。§11-2变形比较法2.举例说明：一.叠加法：(1)建立基本静定系1.求解步骤：(2)将基本静定系分解成各个载荷单独作用情况的叠加，并求出各种情况下的某特殊位置（多余约束处）的变形量。(3)建立变形协调条件，求出未知约束反力。第四页，共36页。例1：试求图示静不定梁的约束反力：qBL第五页，共36页。（1）建立基本静定系统如图<a>所示（2）将图<a>分解成图<b>和图<c>两种情况的叠加图中：解：qRBB(a)fBqq(b)RBB(C)(fB)RB第六页，共36页。（3）建立变形协调条件：因B点实际为一活动铰支座，故

即：

总结：叠加法解题，思路较为清晰，其中的各基本变形量的求解方法也较为灵活，但当梁上载荷较多时，基本变形量较多，求解过程则相对较为复杂。故对多载荷作用的梁的静不定问题不宜采用。第七页，共36页。二.能量法

（能量法中以卡氏定理求解静不定问题特点较为突出，下面以卡氏定理为例进行说明）1．步骤：

（1）建立基本静定系

（2）求解弯矩方程

及

对多余约束的约束反力的偏导的位移。，并利用卡氏定理求出特殊位置处（多余约束处）（3）建立变形协调条件，确定多余约束束反力。

2．举例说明——仍以上例为例进行说明第八页，共36页。如图：根据卡氏定理：

（1）建立基本静定系如图所示：（2）求解

及

解：qRBBx第九页，共36页。（3）建立变形协调条件并确定由于B点实际为一活动铰，故即：

（所求数值为正，说明RB的实际作用方向与假设方向一致）总结：同叠加法比较，利用卡氏定理求解fB

要比用叠加法求fB

要简单，尤其在作用较多载荷时，故一般情况下，建议采用该种方法来求解弯曲静不定问题。

目录第十页，共36页。§11-3用力法解静不定系统一．力法及正则方程的概念举例说明：曲杆如图a所示，试求支座B的约束反力完第十一页，共36页。第十二页，共36页。解：（一）建立基本静定系如图b所示。（二）将静定系分解成图C和图e两种情况的叠加若B点的竖向位移用表示，则：——（1）如图d所示，若以

单位力时的竖向位移，因在线弹性范围内，位移与力成正比，故表示曲杆在B点处作用垂直向上的是单位力的倍，相应地也应该是的倍，即：——（2）

代（2）入（1）式可得：——（3）第十三页，共36页。（三）建立变形协调条件，并确定

因B点原为一活动铰支座，故即：——（4）

从而：式（4）所表示的标准式的方程式即为力法的正则方程，而上述的解题过程中以“力”为基本未知量，由变形协调条件建立补充方程

的方法称为力法。第十四页，共36页。二.典型例题分析：例11—1：图a所示为经过加固的桥式起重机大梁的计算简图，若作用于一根大梁上的吊重为P，试求水平拉杆CD因P而增加的内力。第十五页，共36页。第十六页，共36页。、（三）求

由于：N=0，N1=0，且AC、BD

段

故：

——（1）

（一）建立基本静定系如图b所示。（二）作出仅在P力作用下的弯矩图M图及仅在单位力作用下的AB梁的M0图及N0图和CD杆的图。

解：第十七页，共36页。——(2)第十八页，共36页。（四）建立正则方程：1.因CD杆为一连续杆，故

，从而正则方程应为：

代入结果（1）（2）得：

讨论：上式分母中的第2项下，因

为梁轴力的影响，一般情况大的影响。，故将其省略并不会对结果产生很第十九页，共36页。例11—2：计算图a所示桁架各杆的内力，设各杆的材料相同，截面面积相等。

第二十页，共36页。（二）求出基本静定系分别在P及单位力作用下的各杆轴力及有关数据见下表。（一）建立基本静定系如图b所示。以4杆为多余约束，假设将其切开，并代以多余约束力解：第二十一页，共36页。杆件编号NiNi0LiNiNi0LiNi0Ni0LiNiP=Ni+Ni0x11-P1a-Paa-P/22-P1a-Paa-P/2301a0aP/2401a0aP/25600第二十二页，共36页。

（三）应用莫尔定理求

——（1）

——（2）（四）建立正则方程：

因4杆为一连续杆，故正则方程应为：第二十三页，共36页。代入结果（1）（2）得：

由于

故可将及表中的有关数据代入即可求得各杆轴力。附：多次静不定系统的正则方程：举例说明：例11—3：图a为一二次静不定梁，试求其正则方程：第二十四页，共36页。（二）求

具体结果可根据莫尔定理或卡氏定理求得。的物理意义分别如图c、d、e所示，（一）建立基本静定系如图b所示：解：第二十五页，共36页。（三）确定正则方程：如图c、d、e所示：B点沿X2方向的位移：B点沿X1方向的位移:根据约束B的特点：

故：

——所求的正则方程第二十六页，共36页。上述方程组可写成矩阵的形式：根据位移互等定理，容易证明：

故上述矩阵中独立的系数只有4个，而系数矩阵本身则为一对称矩阵。注：

根据上述原理可以将力法推广到n个多余约束的静不定系统，此时的正则方程应为：第二十七页，共36页。矩阵形式为：

第二十八页，共36页。由对称性知：A、B截面上剪力为零解：变形协调条件:例11—4：求图示圆环的最大弯矩Mmax。EI为常量。第二十九页，共36页。MMPRMMMEIsMPREIRREIMPRMPRPRAAsAAA()(cos)()(cos).jjjqjjpppp=--===--=--æèçöø÷éëêêùûúú==-æèçöø÷=òò31131333320333201000003dd第三十页，共36页。第三十一页，共36页。例11—5：图示小曲率杆在力偶m与均匀分布剪流q作用下处于平衡状态，已知q、R与EI=常数，试求A截面的剪力、弯矩和轴力。解：第三十二页，共36页。例11—6：平面框架受切向分布载荷q作用，求A截面的剪力、弯矩和轴力。解：第三十三页，共36页。思考题11—1：试求图示平面刚架