自动控制原理课后习题答案

目录自动控制系统的根本概念1.1内容提要1.2习题与解答自动控制系统的数学模型2.1内容提要2.2习题与解答自动控制系统的时域分析3.1内容提要3.2习颗与他答根轨迹法4.1内容提要4.2习题与解答5频率法5.1内容提要5.2习题与解答控制系统的校正及综合6.1内容提要6.2习题与解答非线性系统分析7.1内容提要7.2习题与解答线性离散系统的理论根底8.1内容提要8.2习题与解答状态空间法9.1内容提要9.2习题与解答附录拉普拉斯变换参考文献1自动控制系统的根本概念1.1内容提要根本术语：反应量，扰动量，输人量，输出量，被控对象；根本结构：开环，闭环，复合；根本类型：线性和非线性，连续和离散，程序控制与随动；根本要求：暂态，稳态，稳定性。本章要解决的问题，是在自动控制系统的根本概念根底上，能够针对一个实际的控制系统，找出其被控对象、输人量、输出量，并分析其结构、类型和工作原理。1.2习题与解答题1-1图P1-1所示，为一直O+图P1-7电压自动控制系统示意图中间环节、执行结构、检测环节、负载电流减小的情况与此同理。O+图P1-7电压自动控制系统示意图中间环节、执行结构、检测环节、负载电流减小的情况与此同理。意图。图中，1为发电机；2为减速器;3为执行电机；4为比例放大器；5为可调电位器。该系统有哪些环节组成，各起什么作用〞绘出系统的框图，说明当负载电流变化时，系统如何保持发电机的电压恒定该系统是有差系统还是无差系统。系统中有哪些可能的扰动，答该系统由给定环节、比拟环节、发电机等环节组成。给定环节：电压源u0。用来设定直流发电机电压的给定值。比拟环节：本系统所实现的被控量与给定量进行比拟，是通过给定电压与反应电压反极性相接加到比例放大器上实现的中间环节：比例放大器。它的作用是将偏差信号放大，使其足以带动执行机构工作。该环节又称为放大环节执行机构：该环节由执行电机、减速器和可调电位器构成。该环节的作用是通过改变发电机励磁回路的电阻值，改变发电机的磁场，调节发电机的输出电压被控对象：发电机。其作用是供应负载恒定不变的电压检测环节跨接在发电机电枢两端、且与电压源 u0反极性相接到比例放大器输人端的导线。它的作用是将系统的输出量直接反应到系统的输人端。系统结构框图如图1-5所示。当负载电流变化如增大时，发电机电压下降，电压偏差增大，偏差电压经过运算放大器放大后，控制可逆伺服电动机，带动可调电阻器的滑动端使励磁电流增大，使发电机的电压增大直至恢复到给定电压的数值上，实现电压的恒定控制。⑶假设在系统稳定运行状态下，发电机输出的电压与给定的电压 U0相等，也就是我们所称谓的无差系统。此时，比例放大器输出电压为零，执行电机不转动，可调电位器的滑动端不动，发电机磁场不变化，从而保持发电机输出电压U等于给定电压U。。假设成立，故该系统为无差系统。(4)系统中可能出现的外部扰动负载电流的变化 (增加或减少)。可能出现的内部扰动：系统长时间工作使电源电压 u0降低，执行机构、减速器等的机械性能的改变等。题1-2图1-6所示为闭环调速系统示意图，如果将反应电压 Uf的极性接反，成为正反应系统，对系统工作有什么影响 ？此时各环节工作于什么状态，电动机的转速能否按照给定值运行，答正反应系统的比拟环节是使反应电压 Uf与给定电压Ug相加。加给控制器的信号 uUfUg必然总在给定电压根底上增大，系统将不具备调节能力，各环节的输出量将处于饱和状态，电动机转速不能按给定的值运行题1-3图Pl-2为仓库大门自动控制系统示意图。试说明自动控制大门开启和关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关，应怎样进行调整答系统中，“开门〞和“关门〞两个开关是互锁的，即在任意时刻，只

有开门〔或关门〕一个状态，这一状态对应的电压和与大门连接的滑动端对应的电压接成反极性〔即形成偏差信号〕送入放大器。放大器的输出电压送给直流电动机M，直流电动机与卷筒同轴相连，大门的开启和关闭是通过电动机的正、反转来控制的。与大门连接的滑动端对应的电压与“开门〞滑动端对应的电压相等时，大门停止开启 ；与大门连接的滑动端对应的电压与“关门〞滑动端对应的电压相等时大门停止关闭。设“开门〞滑动端对应的电压为 Ugk，“关门〞滑动端对应的电压为Ugg,与大门连接的滑动端对应的电压为 Uf。开门时，将“开门〞开关闭合、 ’关门〞开关断开，此时， UfUgk，UUggUf0。此偏差信号经过放大器放大后带动可逆直流电动机 M转动，并带动可调电位计滑动端上移，直至 u0时•直流电动机M停止、大门开启。Uf0关门时，将“开门〞开关断开、 “关门〞开关闭合，此时有UfUgk，Uf0，此偏差信号经放大后使直流电机 M向相反方向转动，并带动可调电位计滑动端下移，直至 u0时，直流电机M停止、大门关闭。假设大门不能全开〔或全关〕可将价Ugk调大〔或将Ugg调小〕，这可通过将“开门〞滑动端上移直至大门全开〔或将“关门〞滑动端下移直至大门全关〕实现。从下作原理上分析，系统稳定运行 〔大门“全开〞或“全关〞〕时，系统的输出量完全等于系统的输入量〔大门“全开〞时，UgkUf；大门“全关〞时，UggUf〕。故该系统属于恒值、无差系统。2自动控制系统的数学模型2.1内容提要〔I〕数学模刑自动控制系统的分析与设计是建立在数学模型根底上的。数学模型是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。数学模型的形式可以有多种，在经典控制理论中常甩的是微分方程和差分方程，在现代控制理论中常用的是状态空间表达式数学模型的求取可以采用解析法和统计法。本章主要以解析法为主。用解析法建立系统的数学模型时，应根据元件及系统的特点和连接

关系，按照它们所遵循的物理规律，抓住主要矛盾，忽略次要因素，列写各物理量之间关系的数学表达式、使得所建的数学模邢既正确又简草(2)传递函数传递函数是为方便进行系统分析所引出的数学模型的另外一种形式。由它的定义可知，传递函数只适合于线性连续系统。传递函数的求取传递函数的求取方法有三种：利用传递函数的定义；利用结构图等效变换；利用信号流图利用传递函数的定义求解传递函数，主要适合于求典型环节传递函数的情况。结构图是系统传递函数的图形化表示。它最大的优点是可以形象直观地表小出动态过程中系统各环节的数学模型及其相互关系。通过结构图的等效变换可以求出系统的传递函数由结构图等效变换求解传递函数，主要是调整相加点和分支点的位置，将其化为三种典型的连接形式，即串联、井联和反应连接，从而求得系统或环节的传递函数。应注意的是，变换过程中相加点和分支点之间一般不宜相互变换位置信号流图也是一种用图形表示线性系统方程组的方法。信号流图与结构图在本质上是一样的，只是形式上不同。其中需要重点掌握的术语有前向通路、回环、不接触回环等。它的最大优点是通过梅逊增益公式可以很方便快捷地求出系统的传递函数。使用这种方法的关键在于对系统回环的判断是否正确非线性数学模型的线性化本章介绍的是利用小偏差线性化方法对非线性系统进行线性化处理。这种方法就是将一个非线性函数在其工作点处展开成泰勒级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。此种方法适合于非本质非线性系统。22习题与解答题2-1试求出图P2-1中各电路的传递函数 W(S)=U,(s)/U.(s)R图P2-1题2J團(1)由图2-la所示电路可得W⑸鵲R^TLCZ^Cs(3)由AtY变换得到如图2-2所示电路其中，ZiC1s2R—C1s2RGs1Z2R22R丄GsGR2s2RGs1由图示可得W(s)酗Ur(s)Z2 1C2s1Z1乙玉题2-2试求出图圈2-2P2-R的等效电路22CQ2Rs2RG1C1C2R2s2(C22C1)Rs1P2-2中各有源网路的传递函数W(s)Uc(s)/Ur(s)。(町 的 ©图L2-2解(1)根据运放电路的“虚地〞概念可得W(s)UcUrRCs

茁CsRlC1s1C1s(RGs1)(RqCqS1)RqC1sCqs1Cqs3自动控制系统的时域分析3.1内容提要时域分析圧通过直接求斛系统在典型输入佶号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通鬧以系统单位阶跃响应的超谐屋、调节吋间和稳态谋差等性能招标来评愉希统性能的优劣扌311系统的暂态过程和稳定性系统的暂态过稈和稳定性都与蔡统闭环极点在*平面的分布紧密相关■必须非常淸楚闭环极点在£平面的位置所对应的暂态分量形式、如:负实轴上的极点对应的暂态分量是指数衰减、止实轴上的极点对应的暂态分量是指数发散、实部为负的共馳复极点对应的暂态分量是哀诫振荡、实部为正的共辄复极点对应的暂态分量是发散撮荡等■这些都决定了系统的稳定性和暫态过程的特征口典型二阶系统是系统分析研究的主要对象。因为典型二阶系统務数的不同取值'包含了闭坏极点的所有可能分布'所以用它可以表征任何一个高阶系统的暂态过程和稳定性°其中二阶系统欠阻尼情况又是本书的重点，这冲情况F的主雯指标有：上升时间讥呆大超调量概’调节吋间峰值时间右、振荡次数严等.这些指标均与系统的阳尼比w和自然掘荡角频率4这两个参数有关■应熟练掌握它们的物理含义、计算公式和相互关系等。对于高阶系统的分析，是以二阶系统为根底的•正确理解主导极点和偶下的概念，对鬲阶系统的暂态性能进行近似分析二结论是：极点离虚轴越近〔卞导极点〕对系统暂态响庐影响越大.离虚轴越远影响越小；毒点幕近哪个极点〔偶子〕，就把哪个极点的影响减弱。高阶系统的稳定性判断那么曲优数稳定判据完成3.1.2稳态误差系统的稳态逞差定义为在稔态盖件下输出竜的期柴值与葩态值之间的差值稳态误差是对系统稳态控制桁度的度量.是乘统的稳态指标..它既与系统的结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关©稳态误差一般分为两类：一类为扰动稳态误差，主要针对恒值系统,另一类为给定梯态课差，主嬰野对随动系统伞在理解稳态误差的槪念的根底上*熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算。在求解稳态误差时，需把握以下要点：廿先要将系统的开环传递函数的常数项系数变成4只耍将系统的给构圏变换成单回路■且系统中没肖给宦环节"索统的误差传谨函数总是如下形it即用心込—1咛刃拓31+肌仁)3.2习题与解答题M1-单位反应控制系统的开环传递函数为WkWk(.0二1><H1)求：(1)系统的单位阶跃响战及动态特性指标汎、2"输入量,/>(/)=/时、条统的输出响应；输入量卫仃)为单位脉冲函邂时•系统的输出响战.系统的闭环传递函数为必心)_=I+VVk(jt)与标准形式相比照*可得当输入量为Xn(O=l(/)时1｝由公式求得系统的单位阶跃响应为.1-f姊J+.1-f姊J+〃0=arctan将f=0.5. =I代入式(3J),幣理得肋(力一1-L15c寸商n(0.866/+60°)=exwo%=e_1,t,x1UO%^16.4%3}/r=― ^2.42s伽Jl-f24) (5%)=~~—6s5)b=Kh5)b=Kh-#一3.63s2托2jt—7*26s血 W,Jl-罟1(5%)6-0,826(5%)当输入量为辰(f)二r时*求系统的输出响应方法一棍据传递函数的定义，利用拉氏变换和拉氏反变换进行计输入量的拉氏变换为\.2(>}=+，那么X?(5)=晤(5)X：(.0=-yr-/I5二亠上+中1式中< 5 <4->+1式中A=冬3孑|i=l“匸7~1心3孑］丨.M=-IC5+D=X住(>)(/+$+I)I许©飞帆昨精选1 1 1・4(-(L5-j0,866)2- 2J2令等式两边实部与实部相答•虚部与虛部相等*解得C-L/9=0所以X-(s)=4"_~+TT2―fAPSS+\+15+0.5 111,/ 5 (5+(),5)2+(h86ft1 (s+O.5J1+f).X66:将I•式进行拉氏反变换，得到系统的输岀响应为i\2(/)=/-!+e('cos/-4=e"'sin2B 2方法二利用线性系统的性质进ff计算xid/xid/所□，利用线性系统的性厨得工-jj1-I.15c対in(().X66r十6(门］d『(3)当输入量旳仁)-&"时，求系统的输出响应：方法一恨整传递函数的定义*利用拉氏变换和拉氏反变换进行计输入员的拉氏变换为X,j(x)-1那么X?(^)=杯(.0X,(〞F+［叶1=(s+(h5)1th呂昭将上式逬行拉氏反变换*得到系统的输出响应注(f)=卡弋°5\in方法二利用线性系统的性质进行计算因为dr皿)-1-譬-血血因为dr所以，利用线性系统的性质得/adXi(/)d[l1,15c7sin(Ol8661+60fl)题3-2一单位反锻控制系绒的开环传递函数为肌3=才今〒，瓦单位*I)阶既响应曲线如图PMI所贰圏中的X=1.25,^=L5so试确定系统参数Kk及7■值。 .心一；解 图阳一1由图P3-1可知仏= 1二=1・3UJlJ1一£—X100%=-■-^―X100^)-25%=e“X100%工(8) I将系统的幵环传递函数樂理掬与标准形式斶产7；急3相比照2鈕，二2XIL4=<2.2^5忌心2-856解得■:!鸟僅547题王3—单位反惯控制系统•其幵环传递函数为W.(.0=$裂色“己知系统的』")=1(小误差时间函数为e(0-L4e—Aa+2gi丿(L4e"X求系统的阻尼比氨自然撮荡角频率站、系统的开环传递函数

和闭环传逆函垃*系统的稳态理誓解由妣型系统的暂态特性可知*当?>\时’系统的特征根为*=误差时间函数 ! ! (f4ri^.rlc+Jc-1 I石("二11i1貞" f、［上2g-11E I 电-(計昇

計用-1 』i.07=L4clv7f-O.4ci.07比拟指數项系数得、2_(?+Jf2-1)oi,-3,73将式(3-2)%理，得(f=L2

i闻=2因此系统的开环传递函数为闭坏传递函数为昭3= 弘(“ =——4——乂= __4——1+ (.0 <+2忍.'(+di,£*4.&"4系统的稳态误差为c(<^)_linic(/)=(jL*题3・4单位反应控制系统的开环传递函数为Wk(>)=

才叫7「试选择Kk及匸值以满足以下指标Ar.v+1)当母(?=¥时，采统的稳态误差e(™>CO.02;当龙(〞二1("时.系统的 3sq解(1)从系统的开环传递函数wg二」氐八,可以看出此系统対1.<r.s+1)舉系统，由稳态误羞与系统类型的关系表(见表二1)得当"｝「时,22当"｝「时,22盍302Kk^-50WrKk^-50Wr,(s)-7?十？由题歸(3-3)(2)条统的闭环传递函数为KkI) =0 "「孕X10()%^30%解得f>0.358班54Q=J—WjLS解得at>27.9"弟— fK>祁(3-4)与标准形式相比照，得 厂即(3-4)—丄1^0.05ZflEcJh—fz<0.05IKQ50题3-5己知卓位反悄控制系统的闭环传递函数为Wts〔5〕题3-5>卜2$Ui*+>卜2$Ui*+血一、豆平面上的分布轨迹°解系统特征方程为y系统的持征根为fii.i=叙-a或 1M丄三一铀L土jftJL十2&ui*十id—0底h(lei^D门匚武(|?|<1)图3-1 ■3-5根轨迹分布图当掘为常数，W为变数时，系统特征方程的根在用复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、以站为半彳爭的圆，如图3-图3-1 ■3-5根轨迹分布图题3通一系统的动态结构国如图P3-2所示’求在不同的Kk值下〔例如，Kk-1>Kk=3.Kk-7〕系统的闭坏极点、单位阶跃响应、动态指标及稳态像差。(畑+1H.O-45亠1(畑+1H.O-45亠1】31JJ3-2Kk标准型码3=+囂、F叭卄7^〕该系统的开环传递函数为Kk用K(寸用K(寸(I).7>+l5ui4x+1) 0.08+0.6x+1I可环传递函故为KkW(x= Kk = O08i：< - +0.65+1+Kk_.-・ \+Kkdx帀而IL08I+Kk 』」十_ ,I十Kk12.5(［十氐)<+Z5>+12.5(［十氐)-^x_1+Kk.<+7,5x412,5(1+Kk)由乗统特征方程$+7.5$+芋罟=0可求得系统的闭环极点U.Ul>7.5--4X4J—2v''2--3.75±(15h25-5()陽当Kk=1时，-Z=-3.75±j3.3o当氐二3时，-Z=-3.75±j5.99“当心7时•一Pl.2=-M75±j9.27：J(2)不同心值时与F的计算，当Kh=iH'iU7il(.s)=(L5x^—^^-―月T以仙=5由25«,=7,灵得<=0.75o刊f+Z5^+50当Kk=刊f+Z5^+50训认Q二0.75x所以血二=7.07由2co*=7.5*得W=(K53o3｝当Kk=7时Wi(s)=Wi(s)=0.875x1UU.<+z3+\m所以佩hl"由2§»=7#5(W?=0.375c单位阶跃响应因为()<f<1Jl— ,d=arclan1卜Kk所以.肝〔"=口1Jl— ,d=arclan1卜Kk其中M\=CM,I)Kk-1吋O>=5Jl-o.75:=3.31

"4].4“-(L72Rid

jc(z)=0.5[1-L5e^5rsin(X31/+0.72)]Kk=3时«41=7.07Jl-0.53;=6+0<9=58D=l.Olradx(f)-0.75flI〞17%J7>Isin(6.0r+LOI)]K“7时clm—10Jl-(J.375~—9.3

e=68*=1.186radD二(X875[1-l,079eX75,sin(9.3r+1.186)]⑷动态J旨标由公式L=—4(5%)=(Kk=1)? a(2%)=a卩734瓠(Kk=1)aii[2.84%洌=-14%(Ks=3)ft=^0.355(Kk=3)2&1%(Kk=7)h21(Kk=7)0.949(忌=1)^(5%)=0.8s0.52CKh=S)(Kk=7)A(2%)=1,067s0.33K得=e X100%A-(5)稳态课差由(5)看出该系统是0型系统，很拥稳态溟差与系统类型的关系表(见表34)得(L5 (Kk=I)乳8)=7*25 (Kk=3)0125 (Kk=7)趣3・7一闭环反应控制系统的动态结构I封如图P3・3所示。图P3图P33(】)求当^%^20%uJ5%)=LSs时.条统的参数Ki及厂俏求上述系统的位置稳态误差系数热.速度稳态课差系数爲，加速度稳态误差系数k.及其相应的穗态误差°解系统开坏传递函教为Ki5+Kir)i\]5+Kir)与标准型相比照‘得扌=InO.2亠匕46扌=InO.2亠匕46+(b(L2F所以(K|<13.32::r>0,25所以(K|<13.32::r>0,25EHr=0,25'Kk4旳(8〉一认瓦"25心4由VVk(5)FJ知该系统为I型系统.由表鼻1并棍据稳态误差与稳态误差泵数之间的关系旳(8〉一认瓦"25心4系统的动态結构图如罔P34系统的动态結构图如罔P34所示,1134题3-6求：(1)nRh甜1时.系统的㈱"(5%);n=0.1,c-0时’系统的㈱"(5%):比拟上述两种校正情况下的哲态性能指标及稳态性能.解(1)n-Uc—仇1时■系统的闭环传递函数为评f,二 10 二10115s+(I+10c) 10 /+2x+10所以如二>(10=3.16由一阶系统的计寡公式得

6%=(2 严X100%^35%t{5%)=t^=^3sSun(2)n=(k 吋，系统的闭坏传递函数为W^(0=咛■―心丿；+2.v+10可以看出此时系统为具有零点的二阶系统，其标淮型为评_舐(叮+1) 亦(*十匸)B/+2汁泾试孑+2&崛苜+ )与之相比照•可得(3-5)—=10(3-5)(3-6)(3-6)^116=^116=0'316根据貝冇審点的二阶系统的计算公式，得(3-7)/=J(=-細尸+(/=J(=-細尸+(阿J1-f)2=9.5(3-S)(3-9)(310)■J1q(310)0arctan 一arcian^^TL9二1.25radOh—Oh—arctan—=arctanO.33=)8.42*=(L32rad1)求最大超调呈(5%根据最大超调量的定义进行计算口CkThi* *17(TXj= :(312)(ooCkThi* *17(TXj= :(312)式(312}中、当输入为单位阶跃时，m)=1;利用具有零点的二阶系统的单位阶販响应的汁算公式减并根振求极值的方法求刮氣即(313)-JL-(“I-JL-(“If=/ —-C:rr:;ijc"IB•sin(•sin(J1一假设©f+爭+0)将式(3-12)与式(3-13)、式(3-14),式⑺⑸联立，求得^,=-7 2r$+r<? X1()0%将式(37),(39)^(311)代入式(3-16),W得5%=37.1%2)计算调节时间根据调节时间的定义可知.A.X- =0.05△了=崩〈8)-K(△了=崩〈8)-K(0 0.02(316)(3-17)£(5%)=I3+In——£(5%)=I3+In——心％)=(4十1门£士所以，将式(3-5)、S(3-6).式67)、式(3侶)代入式(3-19).解得)V-=2.95sfaU5%)=(3+ln^(3-19)(3-20)知计算上升时间為根据上升时间的毎义、可知(3-21)(3-22)居(I)II(3-21)(3-22)将式(3•⑸与武(3-21)联立*求得竈一(爭+0)Jl-f所叽将式(3-6人式(3-7)^式(3」0人式(3■⑴代入式(3-22),W得k—(爭+ff)

命= ] =〔L52s姉J1二F稳态误差I)n二山强二“1时+系统的开坏传递曲数为此时该系统为I型系统,Kk=5由表3」井根据聽态冕差与溟差系数之间的关系，可知^,(00)=00<1^(00)=0> ^,(00)=00K=I(^)=02)n=0.1口=0时.系统的开环传递函数为…、10(0.15+1)咛站心］)此时.该系统为L空系统，氐=10由表3・1并根摇稳态误差与谋差魏数之间的关系、可知^(™)^(™)题3-9如图B3-5所示系统，图中的VV,{Q为被控对舉的传递函数,秋(Q为调节器的传递函數□如杲被控对象为W,(s)=7V一鲁齐一，T、>n系统要求的指掾为：位宣稳态误差为零.调(/is+IAhfi+\)节时间垠短’趙调量的6冬4,3呱，问下述三种调节器中瑯一种能满足上述指标y其参数应具备什么条件・#三种调节器为图13-5(a)W<(5)=Kr；(b)W(s)=K,(川";(c)瞅($)=Ks(Tt$+1)(E严1)C

解耍求lasts态课差为零，那么系统应为i型或1型以上系统，所以只能选ex即菜统开环传逸函数为憨(0二W(^)WA^翼(為十1) K*p,(Tn1)(r.v+])

瓦血(斟半1)x(Ti*+1)(工汁1)按照乘统最小实现原那么*应选r-7；或1-丫二⑴当〜£时_K，K；/7；X725+l)~^>+l/7n由§%=c_7T7x100%<4.3%,得9古与标准型相时比，衍丄=97\

住 yJL“g将此结杲代入公式中，得Li=6?2&瓦厂鞋

心+1/Ti)(2)&瓦厂鞋

心+1/Ti)濟(沪壮黑厂由s%=e777x100%C4,3%,得与标准型和比照，得将此结果代入公式中•得因为T,>7；.所以為=&&<心二自石。因此*当『-L时*调节时间最短°此时，与邛准型相比照,得所以当调节器选择(bh井且取r=T,,K= 时段满足题的要求©题乳10有闭环系统的特征方程式如匚试用劳斯判据判斷该系统的稳定性*并说明特征根在复平血上的分布。?+20^+4.s+50=0x1+20<+45+100=()⑶x+2/+6/+85+H=U2?+5-15?+25^+25-7^0⑸m9#+18#+22#+12卄12=0解(1)d+20扌+4.s+50=0列劳斯表得劳斯表第一列元索全大于零，由劳斯判据知该条统稳定。(2)"20$+4s+100=0TOC\o"1-5"\h\z, 1 4孑 211 \m』-1()』 100 0劳斯表霸一列元素变号两次，由劳斯判据可知该拓统不隐定、在上平面右半平面有两个根“(3)s+2/+6>-+Ky+8=oA168¥52 S*2 k辅助方程H5)=2/f8=0Js0-*€IIs8劳斯表第一列元素出现零」且上下无变号，说明该系统临界稳定，又因为出现在』行上，所以有一对共辘渥根。⑷2d+ -15/+25^+2j-7=0不用列劳斯表、由方程系数前有负号就知诊系统不稳定:为『解根的分布，仍需列劳斯表，-1514£125-7*,s65162器+曲-7-2.1)2(15-7劳斯義第一列元素变号三次，该系统不稳定、有三个根在=平面右半平血+3/+9?+18?+22^+12^+12=0柞$12212柞$12212.?318124£3IX12iA0(12)0(36)912辅助方程Hs)=35+lS,c+12=0.v)-12；+365012劳斯表出现杲一行〔J彳门为U的情况，并且第一列元秦无变号，说明该条统临界稳定、有两对共辄虚棍*题3-11单位反应話统的幵环传递函數为%〔沪/丄试确定使蔡统稳定的Kk值范围。LJ{LLjf+$+1〕解系统的持征方程为=山展开得Kk((>.5I=山展开得5<x+1)(0.5<+買+1)»5J+L5?+2<+(1+□,5氐)卄Kn=0列劳斯衣1.51+1.51+Ik5Kkj(1-01Kk)1++

j(1-01Kk)1++假设系统穂定，那么劳斯表中第一列元索全大于零，即Kk>0〈寸(1-0.1Kk)>0假设系统穂定，那么劳斯表中第一列元索全大于零，即Kk>0〈寸(1-0.1Kk)>0Kk>0解得Kk<10Kk<L71整理后，得0<Kk<1.7L.趣3-12己拥条统的结构图如图P3巧所示，试用劳斯刊据确宦使系统稳定的K值范围期P3-6解10开环传递函数评讥010开环传递函数评讥0=(1+丄y+(1+lUKi)闭环传递函数wb(a)=]:m1+ (.v)=1+缸 、=°/(s+1+10K)将苴展幵f+(1+10Kr).<+105+10=0列劳斯表，得1+1()K.HJ-r当10-题当10-题3-13图P3-7十1；疋〉0时条统稳定•解不等式得扎>0如果采用图卩甘听小泵统•问「収何值讨.泉统方能总宦？解系统特征方程为“呗沪1+咛為=0展开得(十$+10^+10=()列劳斯表TOC\o"1-5"\h\z? 1 10r, I 1()s 10r-10f 1()假设要系统穏定一那么1"-K)>U，解得r>l题3-14设单位反溃系统的开环传递函数为叭3=M1+U.33/1+WA要求闭环特征根的实部均小于-1.求K值应取的范围口解系统特征方程为XI+0*33,0(1+0,167s)+K=0整理得

IL仆55』+0. +“K=(l令宀一1代入上式，得仏055(匸一1尸■+幺497(^-I)3+(^-1)+K=O整理得O.O55z+t).332J十仇171z+(K-(K558)=0列劳斯表TOC\o"1-5"\h\z£ 0.055 0. 171i 0.332 K-(k 55K』 0.265-<L166K 0? K-0.558由l(L205-().166KXJ 得I/«1-5961K-0*558X) 和IK>0.558即 (L55«<K<L5%题3-15设订-•单位反应系统*如果其开环件递函数为(1)^ds)= (2)必(沪『巴;壮<5+4)(55+1) 密(卄4)(庆十I)求输入量为.rr(t)—f和,rT(/)=2+4/+5/时系统的穩态误差解⑴将原式整理得砾3=“25占；⑸+1)由1.式町知忌=2.5*系统为I型系统所以当x(/)=r时.X™)=tt=v4=仇4当r(f)=2+4f*5F=2X】(〞*4XF+I0X*,时,=2=2x0十4x+10xoocoRk(2)将原式整理得縣(2)将原式整理得縣3由I：式可知Kk"25,系统为II型系统25(討0.1〉 = (125｛⑴些1)/((L25a+1)(5■汁1) ?(a25j+l)(5s+1)当Tr(f)=2+4f+5r=2x1(；)+4xiox^r时,e<oo)=2xo+4xo+wx-j-=40Ak题乳16有一单位反应系统•系统的开环传递函数齿IVk(5)-—o求当输入信号为Jr(：)=4■/和占f"二呂inwT时，控制条统的稳态误羞。解由穏态课鑒企式£(A)=Xr(5)-X-(S)=]:莖?x得1+Wk｛幻⑴当曲⑺二占人即¥3二丄时2£oa)=limxE3oa)=limxE3=l测堤备-*(imi ==lini，*ot akm1+ (2)当jr(/)=(2)当jr(/)=sinwz,即Xr(.%)=-—^-、吋.<'atH5)=X(，0-x(^)x,(0二1+iva>｝二<+JI+Wk(&)有两个虚极点★不满足终值定理条件，不能用终值定理的方法来求解获具体求法在第五章中将做介绍。题王17 —单位反慟系统，其开环传递函数为喺(沪求系统的动态误差系数；并求当输入量为.rr(t)=1十F十寸F时用态课差的时间函数4)解(1)系统的谋菱传逮函数为£(.0 1 -.r+5.< I132 27..I .= ■=■—-^^=-電十C—' 丁十—dXr(.0I+Wk(x)KU-2.«+5.fH)25、 5m'故知动态误差系数为5",—口“晋⑵稳态误差的时间函数为厶1(沪+皿"F；(卄…°令工；("十隽斤(D+…当输入量为.瑞仃)二1+F十寺/时Xr(/)=1+I,Z(/)=1,rT(ri=()题3-18系统的结构图如图P3-H所示■并设陷(小=KM"皿,叭3= 当扰动量分别以AN3=2*作用x 1+hs) ss于系统时.求系统的扰劫稳态误差。图F3S解系统的扰别误差传递函数为Wz.)=iXc^=_吧_

fS31+w.(5)iv?(s)那么系统的拭动稳态误差为X™)=limA^(^)=lirmW(沁用x)=1血片一 AM讣i7 i lO]+W\{5)*Vz(s)(323)(1)当扰动量AAKd=丄时，代入式(3-23}得X心)=limx 必3*11I+W]{5)WG心)=limx 必3*11I+W]{5)WG(5)5LtiK：1-rM(0\+眄3评心)r K1十込Q畧.MI+y5)心S5(1+门.\)/VKK(l+7ij)=—=0

co(2)当扰动量AMQ=4■时，代入式(3-23)得O0叱(.<)}= 51+VVL(5)W2(X)J=1ilT51+M(5)阴(X)应 __甩_]K1I=(I+V)+Ki&十甩左TmKiKr题3-19 —以合控制乐统的结构图如图P3-9所示，其屮K,=2K.=1•瓷=(L25s,K=2O'亠 _--r*®~pn-7®~(1)求输入量分别为Jr(rt-h^(0=^-rr(O-yf吋系统的稳态误差；(2)求系统的单位阶跃响应•及其叽&值〈系统的闭环传递函数为…zx 2(0.55+1)肌3一3.25汁1)+2系统的给定误差的拉氏变换为

E(a)=[I-昭Q]儿(d(3-24)5舒T詰"I

时，即尽〔沪丄■代入式〔3-24〕得(3-24)t*\ (I■■2>5隹稣…2系统的稳态误差为当Tr〔/〕=t时，即X〔5〕=-T.同Bl可得J*0当j;当j;(/)尹时，即X〔5〕=p同理可得M8)=Iim.£(Q=limT—A^—z=0.125宀I r*o(J.5+5+Z$+2(2)$+2")二X,(s)=Q.25?Ti?2=7777+8可知该系统为具甘零点^的〞阶系统•将艮化为标准型w/x_応(卅1}_ 肚(生+T"" ,+2fe.5+ ?+2钮1■斗十忒、)即吋沪屏fl所％oil=Js?=2根据具有零点的二阶系统的计算公式*得I-J()^+(cy,~■/】-$)'二20—firctan和—孑Ii0—firctan和—孑Ii—:—=arctan1蚣J1-F 2 ntf-Cretan =Cretantt=91)=—rad穿-5a»i u L由式(3-15).式(3-16)、式(3J9)分别解得：单位阶跃响应为工(R二I-丿1 , i,,|F-7^11(J1一丰⑹/+^>+0}Jl-f*二1-J2elfsin21+中応1调节时间为(5%^=j3十In¥jT-=1■5(s)壬 石LU'|最大超调量为逼〞一神<5%=*J狀匚2呛+八x100%=21%

SS3-20一复台控制疚统如图P.31仆所示，图中Wc(5)=十处％(5)=“丄介1电*丄“、粋如果系统由I型提高M1+U-1SM1FU*25J为ni型系统•求白值及bfiQ图P3-10图P3-10解系统闭环件遡函数为(325)(.(1卜比)吧_山(川+加+1)(325)\+WH<(XI5+1)((L2y+1)+10给定逞建的拉氏变换为Hi)=X(S)-X(x)=[l-WiA5)]X(5)给定稳定误差为/<<>=)=limXt)=\msE(x)=lim>(1-W,.(v))X(.O(326)覘据稳态误苣与系统类型的关系可知，假设乘统为in型系统，那么为输入为Xr(5)-4时，给定稳态误差应为零所以*将XO-占和式(3-25)x $代入式(3-26),得X«)=liin^l-Wfe(s))X(Jf)*(|=]•li- 1〔)(竝,十伽+1) 1_1_侶"-«()*1.s+1)(().25+1)+1(Li_].f十(15— 5()—5#(川~啊J+15/+50.<+500>令E々8)-U,得到(15-5OOd=O f^=0.03150-500^=0''卩\b=d.14根轨迹法4.1内容提要闭环系统特征方程的很决宦着闭环系统的稳世性及主要动态性能「対于高阶系统而言*苴特征抿誤很难宜接求解出来的因此.肯必要探索‘不解崙次代数方稈也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的肓效方法，根轨迹法就是这样的一种图解方法，它根据基車法那么，利用来统的开环零、极点的分布*绘出系统闭环极点的运动轨迹，疤銀且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此根底上对系统的性能进行进一步的分析“利用恨软迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提.只有比拟准确地蛙制出乔统的根轨迹•利用根轨迹法及相关的条件，得出泵统的闭环零极点在T平面的分布’才能在此棊砒上运用第3章讲述的时域分析方法.判断系统的稳定性*估算动态性能指标*计算系统稳态误差等从不同的角度■根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹〔参数抿轨迹〕、i8〔r根轨迹jr根轨迹等：而这些不同类型的根轨迹，那么是由系统的不同結构〔正反应或负反惯〕、不同性质〔At小相位或非绘小相位〕折形成的特征方程的形式决定的所以.在绘制根轨迹时，首光要解决的关键问题是系统特征方程的列写。依照系统的不同结构和性质•将系统的开环传递函敷的分子和分母芳项武的药瑕高次项系数变为十1、其特征方程的形戎有如下4种可能性kTT〔赛十忑〕士 1 =±I 〔4-1〕[]〔s+pr〕1=I这4种可能又归结为=±丁g=±丁g>0}(4-2)根据式〔42?尊号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型一“+欄对应T根轨迹「〞对应1&『根轨迹；式〔J-2〕中的K为系统的根轨迹放大系数或系统的It他参数，匚和州分別为尊效的系统开环零点和极点。4-2习题与解答题4・1求以下备开坏传递函数所对应的负反应系统的根轨迹解1〕 起点：两个开坏极点一pt--1,-挖二-2终点：系统有■个开环零点-总二-3o2〕 抿轨迹的别离点、会含点计算D'{s)MQ二M(5)1Xs)(汁1)(汁2}二($+3)[(汁1)十d+2)]『+6a+7=0和=2~(-6±^36~-28)="2"(-6± =-3±^2所以.别离点为-1.5&会合点为-4,42,根轨迹如图4-1所示解1〕起点：三个开环极点—計=0,—此=—3+-曲=一2终点：系统有一个开环琴点-：2〕 实轴卜.粮轨迹区间为［-5*3〕 渐近线倾角及交点计算Fl!-Ij<1.n可.4**MXMJE£一n可.4**MXMJE£一-6 -5 』 ・2 卄 0 1lil41迦丄Hl)根轨迹圏佯_由公式：、一由公式：、一0求得根软进的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为求别离点DXs)N(卄g)M«}即5(>+3)(+2)=(5+5)[G+3)(s+2)+y+2)+W3)]得 d+ +25^-115=0解得st=-0.89 *=-2.5964 =-6.5171因为在(-g.-5}和(-益-2)区间内无根轨迹，所以别离点应为0.890.89根轨迹如图4-2所示/ \T1T〔、 Kg〔需*」〕1Jh〔Q-〔卄“〔卄门〔“［仍

IT也IKOM―妣：f#_一图缢2軀4-1{2〕棍轨迹图解1〕 起点：三个开坏极点一內二IT也IKOM―妣：f#_一图缢2軀4-1{2〕棍轨迹图解1〕 起点：三个开坏极点一內二_I、-^=-5.-/>=-10终点：系统有一个开坏零点--仏2〕 实轴上根轨迹区间为[-llh-5JJ-3,-1]3〕 渐近线计算+180*(1+2/i)(//=(),12…}由公式 0一0一氐=—丄丄 — 〕1—H1求得根软迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为不i8(r(i+2“)3-1±9(/6.54}别离点、会合点计W

由公式DO)M>)■N'(5)W氛得(j(+l)(f+5)(j+10)-(j+3)[(jf+5)(j+10)+(j+1>(j+10)+(5+I)(v+5)1整理得2x+25/+ +145=〔1因为别离点在［-Mh5］区间内，所以取5=-7.3根轨迹如图4-3所示“图4-1〔3〕根轨迹图题4-2求卜列各开坏传递函数所对应的负反应系统的很轨迹。瓦〔护2〕

扌+2；；+3I｝起点上两个开环极点—岛=—1+运j*—薛w—1-吃j©终点：希统有一个开环零点一尸-22〕实轴卜•抿轨迹区间为〔-叫-2］*3｝渐近线计算由公式尸由公式尸0丄2,…)ft—机求得根轨迹的渐近线倾角和渐近红与实轴的交点为申—求别离点，会合点由DXx)M沪M3DU得/+2x+3—(*+2)(2x+2)解得51=—2-J3, ——2+-{Jo由于实轴上的报轨迹在(-2、8}区间内，所以别离点应为理--2-应-3・7„出射角计算«—11 JW由fir=18(JD-(V^f-V«)得冲 21=1wr-(<xr-54kd=144.r同理宀=-144.To根轨迹如图4-4所示⑵必(沪心+2)(7+2卄2)解I)起点：系统四个开环极点为-負=0、-扶=_2,_拭=-1-j,-/i=-l+jo终点：无限書点。2)渐近线计算图U-4H4-2(1)根轨JSBS壬1创厂(1+2浮)

n—fn(/厂伏1,2,…}由公式*「一氐二H—N1求得恨软迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为别离点.会合点计算/>(5)Ms)=V(s)IXS)整理得 ($十1尸二0解得 -S.23~—1出射角计算n11 hi*由 —{7目_\\得

知=18(r-(90•+135*+45*)--90*同理，如=+90\5)与虚轴的交点乐统的特征方程为/+4J十£(+4s+Kv=0列写劳斯表，得s 1 f> Kk令J冇1为零、即4-专礼-0*得/Q=5O将瓦=5代入J乩即5?+5=0得5=±j即很轨迹与虚轴的交点为—二j,此时K；-5o根轨迹如图4假设所示°图4-5皱J2f2)根fl迹图(3)Wk(i)=民("2}.<+3)(,<+2s+2)起点：四个开坏极点一n=()*-向=一3.-沪：终点；系统仃「个幵环零点-:r--2O2〉实轴上根轨迹区间为〔-00， 3],[-2.0]..3〕渐近线计算±60*,180*-2+3+2"一一=_14〕出射角计算rJ—1由$二I*『一〔丫月—Y口丨得疋I /=L角=18T一〔9F+13亍+26.F—45*〕=-26.6*同理，决j-+26.6\5｝与虚轴的交点条统的特征方程为S +5?+8<+(6+KJ>■+2瓦二仆列劳斯表〞得s1 8 2K,56十o&+瓦2KS8- 50561入40-6-K,||S2扎令J疔元素为汛得求得根轨迹与虚轴的交点为±L61jo根轨迹如图4无所示°(4)解Kk(儿十1(4)解X5-1X/+4a+16)1〕 起点：四个开环极点—尙=0,- =h-/^.4=-2±j2J3o终点：系统有一个开环零点—=二-12〕 斯近线计算尺血亡t-trfus图4寿额4-2(3)根轨燈圏士i8(r(i+如±60*,180*-1+2+2-I2(T— 〜 =4-i 3别离点、会合点计算D(s)M.0=N\x)IX0即s(.'t-1)(<+4s+16)=(v+1)[(2ji1)(.<+45+16)+,v(51)(2.v+4)]整理得3J+10?+21a?■+24j-16=0因为别离点与会合点分别在(a*1]和[厲！]区间内，所以取罰=(L45tst=-2.22,出射箱计算由&-=18()"—[u月—[JaI7^1住I=180fl-[(90^+180*-60*+180*-49.1*)-(180*-73.9°)=-54.8°同理 /!-：=+54.«'

求抿轨迹与虚轴的交点系统特征方程为x+3?+12?+(Kk—16).v+瓦=0列劳斯表.得12K1612K163-v(K5