《向量的减法和向量的数乘》示范公开课教学课件【高中数学人教】

向量的减法、向量的数乘（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？问题1阅读教材相应内容，思考下列问题：整体概览（1）本节主要研究向量的减法和数乘运算．（2）通过第一节向量的概念及第二节向量加法的学习，认识了解向量，本节延续上一节的学习要求，开始向量的减法运算，数乘运算．新知探究问题2已知向量

是向量

与向量的和，如图所示，你能作出表示向量的有向线段吗？由向量加法的三角形法则可知，ABDx向量实际上就是向量

．新知探究差向量：以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量．在平面内任取一点O，作，ab作出向量

，注意到，因此向量

就是向量的差（也称

为向量的差向量），即．当不共线时，求的差可用上图表示，此时向量正好能构成一个三角形．OAaBba-b上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则．新知探究相反向量：给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量．向量的相反向量记作－

．因此，

的相反向量是－

，而且－

＝

．因为零向量的始点与终点相同，所以－＝．注意：（1）任何一个向量与它的相反向量的和都等于零向量．即（2）一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量．新知探究例1已知平行四边形ABCD中，，，用，分别表示向量，．解：由向量加法的平行四边形可知，由减法的定义可知新知探究例2已知||＝1，|

|＝2，求的取值范围．解：当，不共线时，正好是一个三角形的三条边，从而因此1＜＜3；综上有1≤

≤3．当，共线时，如果与方向相同，有如果，方向相反，有新知探究问题3结果是向量吗？如果是，那么结果向量的模是多少？方向如何？与向量

的模及方向有什么关系？可否类比实数乘法的定义方法（5＋5＋5可以表示为3×5），把

进行简写？我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量．特别地，给定一个向量

，3个

相加

的结果，是一个模为3||、方向与

相同的向量，通常这个向量简单记作3．新知探究问题4你能根据上述实例，给出实数λ与任意一个向量

的乘积λ

的定义吗？一般地，给定一个实数λ与任意一个向量

，规定它们的乘积是一个向量，记作

，其中（1）当λ≠0且

≠0时，的模为λ||，而且λ

的方向如下：①当λ＞0时，与

的方向相同②当λ＜0时，与

的方向相反（2）当λ＝0或

＝0时，λ

＝0实数λ与向量

相乘的运算简称为数乘向量．新知探究数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即λ∥；特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－

＝（－1）

．①（λ＋μ）a＝λa＋μa；②λ（μa）＝（λμ）a；③λ（a＋b）＝λa＋λb．数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得

＝λ，则∥

．新知探究例3已知，，其中

为非零向量，判断

、是否平行，并求||∶||的值．解：由，得，代入，得，因此∥，且||∶||＝3∶2新知探究例4已知，，判断A，B，C是否共线，如果共线，求出AB∶AC．解：由已知得，因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即AB∶AC＝1∶5巩固练习练习1下列各式中不表示向量的是（）A．0·a

B．a＋3bC．|3a|

D．e（x，y∈R，且x≠y）C解析：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．巩固练习练习24（a－b）－3（a＋b）－b等于（）A．a－2b

B．aC．a－6b

D．a－8bD解析：4（a－b）－3（a＋b）－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．归纳小结问题5（1）向量减法的三角形法则是什么？OABababa-b在平面内任取一点O，作，作出向量

，注意到，因此向量

就是向量的差（也称

为向量的差向量），即，当不共线时，求的差可用右图表示，此时向量正好能构成一个三角形．归纳小结问题5（2）什么是数乘向量？一般地，给定一个实数λ与任意一个向量

，规定它们的乘积是一个向量，记作

，其中（1）当λ≠0且

≠0时，的模为λ||，而且λ

的方向如下：①当λ＞0时，与

的方向相同②当λ＜0时，与

的方向相反（2）当λ＝0或

＝0时，λ

＝0实数λ与向量

相乘的运算简称为数乘向量．目标检测测试1若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．x＞解析：由定义可知，2x－1＞0，即x＞．目标检测测试2O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝____________．（或）解析：设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝．目标检测测试3若平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则＝_