固体物理答案

3.1已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移nj为：njajsin(jtnaqjj)j为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为j为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为KbT。具体计算每个原子的平方平均位移。解：(1)Tsin2(jtnaqjj)dt其中t2—为振动周期,所以2j2.2,,ajsin(jtnaqjj解：(1)Tsin2(jtnaqjj)dt其中t2—为振动周期,所以2j2.2,,ajsin(jtnaqjj(2)第j个格波的平均动能1222~—~-ma,jcos(jt2nnaqjj)1—ma4(3)经典的简谐运动有:每个格波的平均动能=平均势能=1,,-格波平均能量=22kBt1ma22N4jj2kbt振幅a22kBT~-BT，所以Nmj2

nj国Nm而每个原子的平方平均位移为:(nj)22

nj12-aj

2jkBT2°jNmj3.2讨论N3.2讨论N个原胞的一维双原子链时与一维单原子链一一对应。(相邻原子间距为a),其2N个格波的解。当mM解：(1)一维双原子链:2a声学波：2mM

mM4mM,2；sinaq解：(1)一维双原子链:2a声学波：2mM

mM4mM,2；sinaq(mM)2当mM时,2—(1

mcosaq)—sin2

maq

2光学波：2mM/1mM4mM(mM)2sin2aq当mM时，有2242aq(1cosaq)——cos一mm224-2aq——sin一(2)一维双原子链在mM(2)一维双原子链在mM时的解242aq2a2a——cos一m2与一维单原子链的解24—$访2四-q-m2aa是对应的。3.53.5已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为：u(r)2u(r)2q_nrr其中马德隆常数a1.75,n9其中马德隆常数a1.75,n9,平衡离子间距r02.82?。(1)试求离子在平衡位置附近的振动频率。(2)计算与该频率相当的电磁波的波长，并与(2)计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl红外吸收频率的测量只值61进行比较。解：(1)处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏rr0的二次方项。U(r0)U(r0)U(r021U(r0)U(r0)U(r0212U(r0)2220(4)(1)其中U(r0)0为平衡条件。0由r0已知可确定2q2qnr0n(2)根据(1)式，离子偏离平衡位置所受的恢复力为:U(r02U(r02根据(1)式，离子偏离平衡位置所受的恢复力为:U(r02U(r02故恢复力常数为2U(r)2r「0n3r0对于离子晶体的长光学波,(0)2mM

mM2(mM)(n1)q23mMr0(5)将Na的原子质量m231.661024g,Cl的原子质量M35.51.661024g，基本电荷电量q4.8031010esu代入上式，得(0)1.111410Hz(2)相对应的电磁波波长为23.142.998108141.1110(0)2mM

mM2(mM)(n1)q23mMr0(5)将Na的原子质量m231.661024g,Cl的原子质量M35.51.661024g，基本电荷电量q4.8031010esu代入上式，得(0)1.111410Hz(2)相对应的电磁波波长为23.142.998108141.111017106m17m(6)对应与远红外波，与NaCl红外吸收频率测量值在同一数量级。［注：如采用国际单位制进行计算，因在(2)式前乘一因子1k8.99109牛顿米2/库仑403.6求出一维单原子链的频率分布函数()。解：一维单原子链的色散关系为:242aq——sin一.二aqsin一其中4mmsinaq

2aqcos2dq振动模式的数目：dnNa2dqNa2aqcos22N,d22m2N所以g()所以g()3.7设三维晶格的光学振动在q0附近的长波极限有:

2(q)0Aq求…率分…为g()看白(0J0、一…(，、A2证明：由(q)0Aq,得q(q)2Aq。Vdsg()二Vdsg()二32平面V4q2-I3二(2)2AqVq42AV3「A2(故……为g()F看0I%03.8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于T2。r解：(1)q空间的状态密度为r每个q对应一个纵波,r每个q对应一个横波,所以d范围的状态数应包括纵波和横波的状态数:g(dlqj(q)S所以d范围的状态数应包括纵波和横波的状态数:g(dlqj(q)S(2)22q

cp其中-2c22Cp由于晶格振动模数有限,则晶格振动最高频率由由于晶格振动模数有限,则晶格振动最高频率由2Nm0g2Nm0g()dmS^2d0C22c决定。由此得c—决定。由此得c—。比热CvkBh(L)%曾比热CvkBh(L)%曾kBTg()d(ek71)2h(kBT)2ekBTB0二(ekBT1)2S^2d2ckBTT2kBTT2Cv4NkB(一)2D3xxe」———2dx。(ex1)2(2)在低温极限T0,T2T2Cv4NkB(一)2Dxei、2-2/x八2dx24NkB(——)T，(e1)D与三维情况下的德拜T3律相对应。10设晶体中每个振子的零点震动能1h，试用德拜模型求晶体的零点振动能。2解：根据德拜理论，cq,可得晶格频率分布函数为g()3V2g()3V22c3存在m,在m范围的振动都可用弹性波近似,m则根据自由度确定如下:3Vm2TOC\o"1-5"\h\zg()d2"V02d3N。-2N13或mC6(.)。因此固体总的零点振动能为m19।E00-hg()d-Nhm°281.510N/m(即3.11一维复式格子m51.671024g,M1.510N/m(即，一4,,、,1.510dyn/cm),求：(1)光学波声学波Amax(1)光学波声学波Amaxo(2)相应声子能量是多少电子伏特。(3)在300K时的平均声子数。与Oax相对应的电磁波在什么波段。解：(1)(2)1013Hzh1.0551034Js(1.0551.602)1015evsOmaxOmaxOminOmax4.41102ev3.94102ev21.9710ev(3)在T300