同角三角函数的基本关系

1.已知α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，则cosα等于()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(1,7) D.eq\f(3,5)解析：∵α∈(eq\f(π,2)，π)且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－（\f(3,5)）2)＝－eq\f(4,5).答案：B2．若α为第三象限角，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值为()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：∵α为第三象限角，∴原式＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－3.答案：B3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sinθcosθ的值是()A.eq\f(3,4) B．±eq\f(3,10)C.eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,1＋32)＝eq\f(3,10).答案：C4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，则sinθcosθ的值为()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：由sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝eq\f(5,9).∴sin2θcos2θ＝eq\f(2,9).∵θ是第三象限角，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝eq\f(\r(2),3).答案：A5．(2011·重庆高考)若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈(π，eq\f(3π,2))，则tanα＝________．解析：因为α∈(π，eq\f(3π,2))，cosα＝－eq\f(3,5)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)6．已知sinθ－cosθ＝eq\f(1,2)，则sin3θ－cos3θ＝________．解析：由已知得，1－2sinθcosθ＝eq\f(1,4)，∴sinθcosθ＝eq\f(3,8).∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(1,2)×(1＋eq\f(3,8))＝eq\f(11,16).答案：eq\f(11,16)7．已知tanα＝eq\f(1,2)，求下列各式的值．(1)eq\f(2cosα－3sinα,3cosα＋4sinα)；(2)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α.解：(1)原式＝eq\f(2－3tanα,3＋4tanα)＝eq\f(2－\f(3,2),3＋4×\f(1,2))＝eq\f(1,10).(2)原式＝eq\f(sin2α－3sinαcosα＋4cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－3tanα＋4,1＋tan2α)＝eq\f(\f(1,4)－\f(3,2)＋4,1＋\f(1,4))＝eq\f(11,5).8．求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).证明：法一：右边＝eq\f(tan2α－sin2α,（tanα－sinα）·tanα·sinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,（tanα－sinα）·tanαsinα)＝eq\f(tan2α（1－cos2α）,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,（tanα－sinα）tanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴等式成立．法二：左边＝eq\f(tanα·sinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右边＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sin2α,sinα（1－cosα）)＝eq\f(sinα,1－cosα)，∴左边＝右边，等式成立．法三：∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，只要证tan2α