统计方法在葡萄理化指标简化中的应用

2023高教社杯大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：_________A____________我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：____________13_____________所属学校（请填写完整的全名）：__________________________________________参赛队员(打印并签名)：1._____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：_____________________________日期：2023年_9_月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2023高教社杯大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：统计方法在葡萄酒评价中的应用摘要本文针对葡萄酒质量评价问题，首先对葡萄理化指标和葡萄酒理化进行分析，然后对基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各指标进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。问题一，利用方差分析对两组评酒员的红酒的打分数据进行显著性检验，得到两组是显著差异的，利用方差知识，认为第二组评酒员打分更可信；问题二，利用主成分对一级指标进行聚类，将红（白）酿酒葡萄都分成三类，根据葡萄酒的打分，对葡萄进行分级；问题三，利用典型相关分析，将葡萄指标和红（白）葡萄酒理化指标进行分析，均得到两对典型变量；最后，用逐步回归分析对葡萄指标、葡萄酒指标与葡萄酒打分，得到回归模型，将回归模型进行拟合，利用残差数据论证葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质。关键词：方差分析相关分析主成分典型相关分析逐步回归问题重述如题所说，葡萄酒质量一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评确定的。通过每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后，对其分类指标打分的总和，从而确定葡萄酒的质量。葡萄酒的质量与所用酿酒葡萄的好坏有直接的关系，同时，该葡萄酒和所用酿酒葡萄的质量，在一定程度上是由在这二者中所检测到的理化指标所表现的。题目中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，这是由两组评酒员做出的评价。并给出了与之质量相关的各种数据，数据信息很充分。在此基础上，要求建立必要的数学模型，进而研究如下几个问题：第一，分析两组评价结果，考查是否存在显著性差异，得出一组更可信的结果；第二，根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级，其实就是确定酿酒葡萄的好坏；第三，分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；第四，分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，即分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标是如何影响葡萄酒的质量的，然后在研究结果中论证是否确实能用酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。二、问题分析分析两组评酒员对葡萄酒的评价有无显著性差异，是为了便于从整体分析两组评判员打分是否具有差异性。本文将每组10个评酒员看成一个整体，将每个人对葡萄酒样品的评分进行平均，反映出某一组评酒员对某葡萄酒样品的的评价情况。可列出一个关于红酒的2行27列的矩阵和一个关于白酒的2行28列的矩阵。用SAS的分别对这两个矩阵进行方差分析，并进行F检验和t检验。对酿酒葡萄进行分级，首先建立酿酒葡萄理化指标和葡萄酒外观、香气、口感之间的关系。由于葡萄的指标很多，并且还包含二级指标，首先将二级指标剔除，保留一级指标，然后对一级指标进行主成分分析，提取主要成分，以综合指标表示，然后对得到的主要的主成分进行聚类，结合每种葡萄对应的葡萄酒的打分，对葡萄进行分级。考虑到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标数量大，是多维对多维变量的分析，本文采用典型相关分析，找出各自的线形组合的典型变量。从而找出典型相关变量与哪几种因素有较大关联，最后做出酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的联系。4)为了分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，本文考虑以葡萄酒的打分为因变量，以葡萄和葡萄酒的理化指标为自变量，用逐步回归的方法，来选取变量，最后得到回归方程，利用回归方程拟合葡萄酒打分，最后做残差论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。三、基本假设1.评酒员的打分结果相互独立，是独立实验。2.假设评酒员均无主观情感色彩，严格遵守葡萄酒评判标准。3.葡萄酒的质量不受环境变化等因素的影响。4.各项理化指标标准，数据统计无误。5.评酒员的评分基本呈正态分布。6.葡萄的数据测测定基本没有误差四、符号说明：第个评酒员：第种红葡萄酒样品：第组评酒员：第一组第个红葡萄酒样品的评分均值：第二组第个红葡萄酒样品的评分均值：第一组第个白葡萄酒样品的评分均值：第二组第个白葡萄酒样品的评分均值.五、模型建立与求解5.1两组评酒员评价的结果有无显著性差异分析5.1.1建立模型对于=1...10，=1...28.k=1,2令为第种红葡萄酒样品，第组第个评酒员的总评分。为第种白葡萄酒样品，第组第个评酒员的总评分。将两组评酒员对某一样品红葡萄酒和白葡萄酒的评分进行平均，可得：其中表示第一组第个红葡萄酒样品的评分均值.表示第二组第个红葡萄酒样品的评分均值.表示第一组第个白葡萄酒样品的评分均值.表示第二组第个白葡萄酒样品的评分均值.得到两组评酒员对红白葡萄酒打分，见表1：表1两组评酒员对红白葡萄酒打分均值红葡萄酒第一组第二组白葡萄酒样品一样品二样品162.768.1样品18277.9样品280.374样品274.275.8样品380.474.6样品378.375.6样品468.671.2样品479.476.9样品573.372.1样品57181.5样品672.266.3样品668.475.5样品771.565.3样品777.574.2样品872.366样品871.472.3样品981.578.2样品972.980.4样品1074.268.8样品1074.379.8样品1179.261.6样品1172.371.4样品1253.968.3样品1263.372.4样品1374.668.8样品1365.973.9样品147372.6样品147277.1样品1558.765.7样品1572.478.4样品1674.969.9样品167467.3样品1779.374.5样品1778.880.3样品1859.965.4样品1873.176.7样品1978.672.6样品1972.276.4样品2079.275.8样品2077.876.6样品2177.172.2样品2176.479.2样品2277.271.6样品227170.4样品2385.677.1样品2375.977.4样品247871.5样品2473.376.1样品2569.268.2样品2577.179.5样品2673.872样品2681.374.3样品277371.5样品2764.877样品2881.379.6由于红葡萄酒的评价分析与白葡萄酒的评价分析基本一致，因此我们只描述红葡萄酒的模型。为了分析两组评酒员打分是否有差异，采用T检验，取统计量故拒绝域为：当时可判断两样本之间有显著性差异，反之可判断无显著性差异。5.1.2模型求解利用SAS工具对以上两个矩阵表一数据进行方差分析得到以下表格：表2红葡萄酒的T检验分析LowerCLUpperCLUpperCLLowerCLVariabletypeNMeanMeanMeanStdDevStdDevStdDevStdErrMinimumMaximumfenx2770.46173.39376.3245.83577.410310.1551.426153.985.6feny2768.94170.51572.0883.13273.9785.45160.765661.678.2fenDiff(1-2)-0.372.87786.12574.99175.94717.35821.6186表3红葡萄酒的显著性差异分析VariableMethodVariancesDFtValuePr>|t|fenPooledEqual521.780.0813fenSatterthwaiteUnequal39.81.780.0830表3说明对于红葡萄酒，两组评酒的打分差异明显，因为最后t检验统计量以8.13%的概率拒绝原等方差假设，说明两种体是异方差的，所以采用非参数检验，在附录中利用SAS软件做非参数检验数据，更充分的说明了两种体是异方差的。VariableMethodVariancesDFtValuePr>|t|bfenPooledEqual54-1.990.0513bfenSatterthwaiteUnequal48-1.990.0519表4白葡萄酒的T检验分析表5白葡萄酒的显著性差异分析VariableMethodNumDenDFFValuePr>FfenFoldedF27272.090.0603由表4,5知道，对于白葡萄酒打分，两组变量方差相等的F检验值为2.09，概率值为0.0603，大于0.05，所以两组方差相等的假设是合理的。由此，我们采用适应于两组方差相等时的t值，即采用标记为Equal一行的t值和概率值。由输出知>∣t∣=0.0513,大于0.05，因此两组白葡萄酒评价结果均值不存在显著性差异，在实际问题中，该值较小，认为还是有差异的。由于红白葡萄酒均值是显著性差异的，为判断哪一组评价结果更可信，对两组两钟葡萄酒的评分方差进行比较，见表6：表6两组红白葡萄酒的方差比较红葡萄酒方差1方差2方差作差白葡萄酒方差1方差2方差作差样品192.981.8777811.02222样品18225.8777856.12222样品239.7888916.2222223.56667样品274.249.0666725.13333样品345.8222230.7111115.11111样品366.45556142.4889-76.0333样品4108.044441.2888966.75556样品479.442.137.3样品562.0111113.6555648.35556样品57126.2777844.72222样品659.7333321.1222238.61111样品668.422.7222245.67778样品7103.611162.6777840.93333样品777.542.1777835.32222样品844.0111165.11111-21.1样品871.431.1222240.27778样品932.9444425.733337.211111样品972.9106.2667-33.3667样品1030.436.17778-5.77778样品1074.370.43.9样品1170.7666738.0444432.72222样品1172.387.82222-15.5222样品1279.6555625.1222254.53333样品1263.3140.0444-76.7444样品1344.9333315.2888929.64444样品1365.946.7666719.13333样品143623.1555612.84444样品147215.8777856.12222样品1585.5666741.3444444.22222样品1572.454.0444418.35556样品1618.120.1-2样品167482.23333-8.23333样品1788.011119.16666778.84444样品1778.838.4555640.34444样品1847.2111150.26667-3.05556样品1873.130.2333342.86667样品1947.3777855.15556-7.77778样品1972.226.0444446.15556样品2015.5111139.06667-23.5556样品2077.850.0444427.75556样品21116.135.5111180.58889样品2176.464.412样品2250.6222224.2666726.35556样品227153.617.4样品2332.4888924.766677.722222样品2375.911.664.3样品2474.8888910.7222264.16667样品2473.338.5444434.75556样品2564.6222243.7333320.88889样品2577.1106.5-29.4样品2631.2888941.55556-10.2667样品2681.3102.9-21.6样品2749.7777820.529.27778样品2764.835.5555629.24444样品2881.325.3777855.92222由表6可以看出：第一组红（白）酒的方差绝大部分要比第二组的方差大，方差表示均值的离散程度，由此说明第二组红（白）葡萄酒的评价比第一组更可信。5.2根据酿酒葡萄的理化指标对酿酒葡萄进行分级5.2.1建立模型由于二级指标构成一级指标，因此一级指标可以总整体上反映二级指标，故将酿酒葡萄理化指标中的二级指标剔除，提取出一级指标，对一级指标进行主成分分析。同样，白葡萄的建模过程与红葡萄类似，我们就以白葡萄模型进行说明。令为第组酿酒葡萄中的第个一级指标量，于是可作酿酒葡萄理化指标的矩阵，对原始数据进行标准化处理得到标准化矩阵计算样本相关系数矩阵。经标准化处理后的数据的相关系数为:求相关系数矩阵的特征值和相应的特征矩阵A.由主成分分析可以得到n个主成分，我们根据各个主成分累计贡献率的大小选取前个主成分，其中贡献率为贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量的信息越强。主成分个数的选取，主要根据主成分的累积贡献率来决定，我们取累计贡献率为80%为基准，即累计贡献率达到80%以上，我们就认为所选取的前K个主成分能够基本包含原始信息。根据标准化的原始数据，按照各个样品，分别代入主成分表达式，就可以得到各主成分下的各个样品的新数据，即为主成分得分。具体形式可如下。标准化矩阵与特征矩阵的前k列相乘得到以降维以后的可以反映总体指标的矩阵即对此M矩阵进行聚类分析，将酿酒葡萄样品分为N类，我对这N类葡萄按照其相对应葡萄酒评分进行等级划分，其对应的葡萄酒评分均值大小与该类酿酒葡萄的等级高低呈正比。模型求解用matlab对以上模型进行计算得到白葡萄各成分的贡献率：表7主元素贡献表成分特征值方差贡献率累计方差贡献率10.51080.510820.10810.618930.08550.704440.05330.757750.04670.804460.04080.845270.02660.871880.02300.894890.03200.8625100.02460.8871我们取累计贡献率达到85%为标准，可以发现，上表中的前9项的累计贡献率达到0.8625，前8项的累计贡献率达到0.8305，由此我们得到红葡萄的主成分为9个，我们将原始输入的标准化矩阵与特征矩阵的前9列相乘得到以降维以后的可以反映总体指标的矩阵即对所得到的矩阵我们用SAS进行聚类分析，我们在程序中使用了ACECLUS过程，对聚类分析的协方差进行估计，将结果输入到ACE数据集。然后CLUSTER过程使用这个数据集进行聚类分析，并且在聚类分析过程中使用了WARD聚类方法，将聚类树的数据输入到数据集TREE中，得到聚类分析的结果。在这里只列出了从类水平为19到类水平1的聚类过程，第一列NCL代表聚类水平，即现在所有观测别分成了多少类，ClustersJoined包括了下方的两列，代表了这一次聚类将哪两类合并在一起。FREQ表示这次合并得到的类有多少个观测数据，SPRSQ是半偏，ERSQ是均匀零假设下的金丝期望值，CCC为CCC统计量、PSF为F统计量，PST2为统计量。分类数目由CCC,PSF，PST2这三个量决定。一般的，我们认为CCC和PSF出现峰值所对应的分类数较为合适，PST2出现峰值的前一行对应的分类较为合适。据此我们对这三个指标作出散点图如下：图1CCC散点图图2PSF散点图图3PST2散点图分析这三个统计量对于聚类类数的三点图，可以发现，在CCC散点图中，局部最大值在3处达到，所以此时判断取两类。在PSF散点图中，局部极大值在3处达到，所以取3类。而PST2de散点图极大值在2处达到。综合考虑后取3类。聚类如下；图4白酒聚类图由图可以看出：从上问中葡萄酒质量的评分中我们可以计算出第一类的对应葡萄酒的得分为{7，18，15,1,13,16,19，8，11,17}，第二类对应葡萄酒的得分为{24,27}，第三类为{3,28,5，20,23,26,2,9,12,25,10,14,6,2,21}。同理，对红酒进行聚类，分析的相关统计量知，也分为三类{11}，{12,19,13,25,26,27,10}，{1,21,15,18,4,7,16,17,5,20,6,22,23,24,39,8,14}图5红葡萄分类图5.3分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系5.3.1模型建立与求解酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标数量大，是多维对多维变量的分析，本文采用典型相关分析，找出各自的线形组合的典型变量。从而找出典型相关变量与哪几种因素有较大关联，最后做出酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的联系。首先对酿酒葡萄的三十个一级指标进行相关分析，选取变量。利用得到的新的指标集与葡萄酒的理化指标进行典型相关分析。白酒的模型建立和红酒的模型建立过程基本一致，因此我们将对红酒进行具体描述。5.3.2模型求解对附录二表格中葡萄样品的理化指标做相关分析（见附录相关系数矩阵），可以看出很多变量间的相关性较强，所以考虑剔除某些变量。同时，对相关性很强的变量进行分析，从图6可以看出，可溶性固形物、还原糖和总糖的趋势图基本相同，由于参考文献[9]知，总糖与还原糖和可溶性固形物是线性关系，所以可以从理化指标中剔除掉还原糖和可溶性固形物。取总糖作为代表即可。图6总糖，还原糖和可溶性固形物趋势图在指标中，葡萄总黄酮、单宁、花色苷和总酚，他们之间的相关系数比较大，分别为0.7278，0.7546，0.8951，可以认为它们相关性很大，图7葡萄总黄酮、单宁、总酚和花色苷趋势基本相同，由参考文献[9]可知，总酚与单宁、葡萄总黄酮和花色苷来体现，所以可以将单宁、葡萄总黄酮和花色苷从理化指标中剔除，取总酚为代表即可。图7单宁、总酚、花色苷和葡萄总黄酮物趋势图对于其他的相关性指标就不一一画图说明，最后从三十个葡萄理化指标减少到十个，分别是：氨基酸，蛋白质，酒石酸，苹果酸，多酚氧化酶活力，白藜芦醇，还原糖，果穗质和果梗比。利用这些与葡萄酒做典型相关分析。图8典型变量相关分析图9典型变量的检验从图8中可以看出，第一对典型变量和第二对典型变量的典型相关系数为0.95889和0.9227，故第一个典型变量和第二个典型变量的相关系数都显著的不为零。有图9可知，对于第一，二对典型变量的显著性不为零。图10统计量检验图10中对r1的检验结果与用Wilks’Lambda统计量进行多元分析的结果是等价的。各种多元统计及相应F检验的结果都表明两个典型相关系数都是显著的不为零。图11典型结构以上4个典型结构矩阵，这4个典型结构矩阵都是典型变量与相应的原指标之间的相关系数。在典型变量V1和相关系数为0.7066与相关系数为0.6893,与V2与相关系数为0.6518，与的相关系数为0.7153。典型变量W1与的相关系数为0.6755，的相关系数为0.6609，W2和的相关系数为0.7753，与的相关系数为0.6014。两组典型变量为：即：典型相关变量V1与苹果酸和多酚氧化酶有较大关联。典型相关变量V2与还原糖和b*(D65)有较大关联。典型变量W1苹果酸和多酚氧化酶有较大关联。典型变量W2与还原糖和b*(D65)有较大关联。同理关于白葡萄得到的典型分析，由于白葡萄之间的理化指标不同，也做了相关分析，最后得到12个指标结果见附录。给出两对典型变量：即：典型变量V1与氨基酸总量和果皮颜色L*关系很大。典型变量V2与苹果酸关系很大。典型变量W1与ddph关系很大。典型变量W2与酒黄酮关系很大。5.4如何利用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，首先将葡萄的理化指标和酒的理化指标放在一起考虑，将酒的打分为因变量，建立回归模型。如下：表8模型检验SourceSumofDFMeanSquaresSquareFValuePr>FModel613961764232696120.08<.0001Error141622609115901CorrectedTotal2015584374表9酿酒葡萄和红葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的逐步回归方程系数VariableParameterEstimateStandardErrortypeIISSFValuePr>FIntercept805.11072218.97463156678613.520.0025x4-6.439452.1357910535739.090.0093x93.715080.84187225699019.470.0006x26-0.000019140.00000506165591814.290.0020x27-0.000012370.000006723919643.380.0872x29-3.156011.294726886715.940.0287x32-3.040081.0240610214298.810.0102红葡萄酒的线性回归方程：白葡萄酒的线性回归方程：将回归模型进行拟合，与真实值做残差，利用残差进行检验，验证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量六、模型评价及推广6.1模型评价6.1.1优点①首先对数据及元素间的相关性进行分析，处理，简化了数据指标，便于计算。②所建立的模型与实际紧密联系，由一些利用简单的模型就能达到很好的效果，有很好的通用性和推广性。③对数据进行了无量纲化处理，使得避免了运用数据时单位不统一的麻烦。④运用Matlab和SAS软件进行计算，可信度高。⑤论文中图形与数据相结合更具有说服力。6.1.2缺点①对理化指标数据做相关性分析，简化指标，这只是数据做的分析，没对问题的背景充分结合考虑。②为了便于计算，将二级指标删除，利用主成分分析对样本进行聚类，舍去了部分信息。③在处理数据和求解过程中不可避免的出现各种误差，在一定也影响到模型求解的精确度。6.2模型推广本模型的建立对于研究提高葡萄酒质量具有重要意义，尤其在当今我国食品屡屡出现问题，该模型的建立对于食品的评价和等级的划分具有重要的参考价值，同时利用该模型也可以研究其他大型数据，挖掘信息。七．参考文献[1]赵静但琦，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社，2023。[2]张润楚，《多元统计分析》，北京：科学出版社，2006。[3]项立群汪晓云张伟梁勇梅春晖，概率论与数理统计(M)，北京：北京大学出版社，2023。[4]（美）RogerA.HornCharlesR.Johnson等,矩阵分析，译者：杨奇，北京：机械工业出版社，20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