《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第七章

PAGEPAGE10习题七1 2 设总体X服从二项分布b（pnXXX为来自X的样本，求参数1 2 的矩法估计.EXnpEXA1

X,因此np=X所以p的矩估计量 ˆXnX的密度函数

2x), 0x, f（x,θ）= 20, .1 X，X，…，Xθ1 n 【解】E(X)2x(x)dx2x

,2 0 2

30 3

=X,因此 =X1 3所以θ的矩估计量为 3X.1 设总体X的密度函数为（θXXXθ1 nex, x0,（1）f（x，θ）=

0, x0.x1, 0x1,（2）f（x，θ）=

0, .n n

nxi（）似然函数Lf(x,)nei

ne

ii1ii1

i1glnLnlnn xii1dg由

dlnd

nn x i1

0知 nxii1所以θ的极大似然估计量为1.X(2)似然函数Lnni1

i

,0xi

1,i=1,2,…,n.dlnL n由 d

ni1

lnLnln1)lnn xii1x0知i n nlnn xii1

ni1

lnxi所以θ的极大似然估计量为

ni1

nlnxi从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】 x0.094s0.101893n9Xx0.094.x2 ˆEX2DX[EX)]2EX2A2

ini1

ˆ2[EXA,即有2A[E(A[E(2101[10X210(X)2]ii1于是

9s 0.90.101890.096610所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X［0θX0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.，求θθ.【解】(1) E(X)2

,EXX，则2X2EX2EX,所以θ的矩估计值为2x20.61.2且2X.(2)似然函数

L

18f (x, )f (x, )ii1

L=L(θ)↓(θ>0)，那么max{x}时，L=L(θ),1i8 i所以θ的极大似然估计值=0.9.因为E(ˆ)=Emax{x)≠θ所以ˆmax{xθ.1i8 i 1i8 iXXXX1

X2X

Xn

=kn1(i1

i1

X)2,i问k为何值时ˆ2为σ2的无偏估计.【解】令 Yi

Xi1

X,i=1,2,…,n-1,i则 E(Y)E(i

i1

)E(Xi

)0,D(Y)22,i于是

[k(n1Y2)]k(n1EY22(n1k,i 1i122,即2(n1)k2时,1有 k .12(n1)X，XN（μ，σ2）中抽取的样本1 21

2X1X3 1 3

; 2

1X4 1

X; 2

1X1X2 1 2 2都是μ.1 2 3（）E(

)E2X1X2E(X)1E(X)21, 1 3

3 2 3 1

2 3 3E(ˆ)2

1E(X4

)3E(4

),2E(ˆ)3

1E(X2

)1E(2

),2均是μ.1 2 322

1

4 2(2) D(

)D(X

)D(X

)X2 ,1 3

1 3

2 9 9D(ˆ2

)12D(X4 4

)32D(44

)52,2 8D(ˆ3

)12D(X22

)D(

)2,2 2~μσ2σ2=0.06今随机抽取6测得其长度（单位如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求μ0.95.【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,x14.95,u u 1.96,,a 0.252μ0.95的置信区间为xu (14.950.11.96)(14.754,15.146).n /2 nX~N(μ,σ2)，σ2nμ1-α，L？n 【解】由σ2已知可μ的置信度为的置信区间为xn 于是置信区间长度为

2nu2nu

/2 2n那么由n

u/

2(u )2≤L,得n≥ /22设某种砖头的抗压强度X（μσ220kc-：646949925597418488 998466100987274878448 81求μ0.95.求σ20.95.x76.6,s18.14,10.950.05,n20,t (1)t (12.093,/2

0.02(n1)2

(1) 32.22

(19) 8.907/2

0.025

0.975μ0.95的置信区间x s t (n1)76.618.142.093(68.11,85.089)n20 a/2 n20 20.95的置信区间 (n1)s2 (n1)s2 19 19 , 18.142, 18.142(190.33,702.01)2/2

(n1)21/2

(n1) 32.852 8.907 X~(

1)x, 0xfx 0, .1 X,X,…,XXθ1 n【解】(1)E(X)xf(x)dx11xdx1, 0 2又1XE(X)2,故ˆ2X11X所以θ的矩估计量 2X1.1X(2)似然函数LL)

1)nnf(x)n

0xi

1 (i1,2, ,n).取对数

i1

i

i1

0 其他lnLnln1)nlnxi

(0xi

1;1in),dlnd

n1ni1

i1lnxi

0,所以θ的极大似然估计量为1 n .i1

lnXi

6xx), 0x; 0, .XXX, XXX1 2

为总体X的一个样本n求θ的矩估计量；（2）求D(ˆ).【解(1) E(X)xf(x)dx6x2x)dx, 0 3 2令 EXX,2所以θ的矩估计量 2X.(2)D(2X)4D(X)

4DX,，nE(X2)

6x3

dx2 20 3

20 10于是D(X)E(X2)(EX)2

32 2 32 2 10 4 20所以2.5n设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为2e2(x), x;f(x,θ)= 0,

x.其中θ(θ>0)为未知参数，又设x,x,…,x是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计1 2 n值.【解】似然函数 2n

(x)iL)2ne

0

x0;i1,2, ,i其他.lnLnln2(xii1

),xi

;i1,2,,n,由dlnL2n知ln,d那么当min{x时lnmaxln)1in i 0所以θ的极大似然估计量min{x}1in iX的概率分布为XXP0θ212θ(1-θ)2θ231-2θ1其中θ(0<θ<2)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.【解】(1)E(X)34,令E(X)x得ˆ3x4又

xxixxi1所以θ的矩估计值34

1.4Li1

P(x,)6(12)(1)4.ilnLln46ln2ln(1)4ln(1),dlnd

6

21

81

62(1)(1

0,解6282420得 1,213713由于127 132所以θ的极大似然估计值为 7 132X的分布函数为

7 132 .1,2.

, x,F（x,β）= x0, x.1 β>1,α>0X,X,…,XX1 nα=1β的矩估计量；α=1β的极大似然估计量；β=2α.【解】 , x 当α=1f(x)F1(x,1,)x1x 0, x1. 2, x 当β=2, f(x,)F1(x,,2)x3x

0, x.(1) E(X)

dx x1 1 x

1 1 1EXX,于是所以的矩估计量似然函数

X ,X1X .X1nn

x(,

1,(i1,2,,n);LL()

f(x,)

i ii1

0, .lnLnln(1ni1

lnx,idlnLn

ln

0,d

ii1所以的极大似然估计量ˆi1似然函数

n .lnxi, 2n2, xx

,(i1,2,,n);Ln f(x,

)n 3 iL

ii1

i0, .那么当ˆmin{x}时,LLˆ)maxL),1in i

a0所以的极大似然估计量min{x.1in i从正态总体中抽取容量为n0.95n至少应取多大？(z)z

1 et2dt2πzzz1.280.91.6450.951.960.9752.330.99X~N3.4,62,Z

X

~N(0,1),6/ nn6/ nn 6/ n6/ n X5.4}P1.43.4Z6/ n6/ n P nZ 3 3nnn 10.95nnn3 3 3 于是

0.975则 1.96,nn nn ∴n≥35.X的概率密度为

,

0x1,f(x，θ)=

,

1x2,0,

其他.其中θ是未知参数<1）,X,X,…,X 为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值1 2 nx,x,…,x中小于1的个数.求：1 2 nθ的矩估计；θ解(1)由于EXxf(