《点阵中的规律》王恩亮

《点阵中的规律》教学设计——王恩亮一、教学内容：北师大版小学数学五年级上册《尝试与猜测》中的第二课时。（教科书第82、83页。）二、教材分析：1、这是一段“探索规律、策略多样”的发现之旅。教材开头有这样两句话：阿拉伯数字的发明，使我们记录和计算更加方便，然而在表现一些数的特征方面，点阵更加直观；2000多年前，希腊数学家利用图形研究数。短短两句话，数学带着其精练、思辨、冷静的迷人魅力从厚重、光辉的历史中走来，一种研究数学的使命感油然而生，在这浓浓的数学味道里，学生开始了对点阵规律的发现之旅。教材首先给出了最为典型的正方形点阵，通过对其规律的探究，建立起点阵与数、与算式之间的联系。并且从不同角度，不同的划分方法中发现不同的规律，从而让学生体会到点阵研究数的形式是多样的，渗透解决问题的策略多样化。在此基础上再研究长方形、三角形、以及特殊形状的点阵。通过这些数学素材，引导学生探索规律，归纳概括，建立模式。2、这是一次“尝试猜测，归纳概括”的方法会师。教材将“点阵中的规律”和“鸡兔同笼”两个内容都划分在尝试和猜测这个章节中，在教学“鸡兔同笼”的问题时，教材运用表格、计算，让学生不断地进行尝试，猜测，验证，不断地调整自己的猜测，直至得到正确的结果，并在经历了曲折的尝试和猜测之路后，学会选择最优的策略。在探索点阵中的规律时，也是一样的，要求学生大胆猜测点阵的变化规律，并加以验证。从一组点阵的变化中，抽象概括出规律的本质，并加以归纳推理。因此“点阵中的规律”这个内容是培养学生抽象概括、归纳推理的能力的最好素材。3、这是一场“数形结合，数形转化”的思想盛宴。数形结合是数学解题中常用的思想方法。“点阵中的规律”这一课特别适宜于学生充分感受“数形结合”的思想魅力。教材一开始就呈现古代希腊数学家们用图形来研究数的情境。在正方形点阵的研究中，教材从三种不同的角度引导学生观察点阵，列出不同的算式，发现不同的规律，从得出像1、4、9、16……这样一组数所具备的三种不同特点。这组数既可以看作为一组连续的完全平方数，也可以看作是几个连续奇数相加，还可以看作是从1连续加到几，再加回到1。这是一个从形到数的过程。教材在学生概括规律，归纳推理出下一个点阵的点数后，又让学生画出这个点阵图，这是一个从数到形的过程。充分体现了“数形结合，数形转化”的思想方法。三、学生分析：1、学生的知识基础五年级学生在数的方面，已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，小数、分数等。在形的方面，对长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征也有了深刻的认识。但是学生对利用图形研究数，寻找数和图形之间的联系，还有困难。学生对线围成的基本图形有深刻的认识，但是点阵中的几何图形，只有点，没有线，学生要利用自己的想象加以补充和延伸，这对学生来说会感觉比较陌生。2、学生的能力基础学生在一年级学过找规律填数，二年级学过按规律接着画，四年级学过探索图形的规律。因此五年级学生具备一定的观察能力、抽象概括能力、逻辑推理能力等。北师大版的数学教材中许多抽象概念的教学都是通过数形结合的思想方法来引导学生学习的，比如通过画线段图、韦恩图、示意图以及表格等将抽象的数量关系转化为形象的数量关系，所以五年级的学生具备用数形结合的方法分析问题的基础。但是小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而这节课完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难。3、学生的情感态度基础小学生好奇心强，对新奇的事物感兴趣，点阵对于学生是完全新鲜的，因此学生研究的兴趣比较浓厚，课堂的注意力会比较集中。但这一课的抽象性也会使学生的兴趣停留在短暂的直接兴趣，很难转化为对数学研究的间接兴趣。因此我们在教学中根据小学生的心理年龄特点，将这些单调静止的点阵图加以生活化、童趣化、动态化。四、教学目标：1、能观察发现点阵中的规律，体会“图形与数”的联系。2、发展学生，观察、猜测、分析、合作、归纳、概括的能力。3、感受“数形结合”的神奇之美，并获得“我能发现”之成功体验。五、教学重、难点：重点：探究发现点阵中的规律。难点：发现同一点阵中不同的规律。六、教法上的突出特点：1、用儿童喜闻乐见的情境演化出各种点阵，从而激发学生研究的兴趣。2、尽量减少教师的介入，让学生或独立或合作探究规律。3、鼓励学生有自己的发现、有不同的发现。七、学法上的突出特点：1、让学生多角度探究规律，充分感受美图美思。2、大胆让学生猜一猜、画一画、摆一摆、算一算，大胆说出自己的发现。3、本节课以独立研究，合作交流的方式呈现。八、教学过程（一）游戏导入，引出课题创作25个点的方阵，进行打节奏游戏。师：不要小看了这些个小小的点，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个个小小的点开始研究，发现了由许多个这样的点组成的图形中的规律，还给这些图形取了一个好听的名字，叫点阵。同学们想不想穿越回2000年前，过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律生齐：想。师：今天，我们就一起来探究点阵中隐含的规律。（板书课题：点阵中的规律）二多方观察，探求规律出示第一幅点阵图。1、一探“图中有几个点阵，每个点阵各有几个点”课件中后出示师：“怎么数得这样快有窍门吗”这时学生会说：“我是用算式算出来的。”教师根据学生的回答，（课件出示）第一组算式第1个1×1=1第2个2×2=4第3个3×3=9第4个4×4=16（一个“算”字，使学生的思维顺利的实现了由形——数的第一次转换。）师：“这种数法真是又快又方便！照这样下去，第五个点阵有多少个点呢第六个呢第七个八个……第100个呢”师：“好像很有规律哦谁发现了”（有了前面的铺垫，学生很容易就总结出“第几个点阵就用几乘几”，也有的学生会说，“第几个点阵就是几的平方。”）师：那第n个点阵呢你们能画出第五个点阵吗（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数——形的转换。培养了学生主动进行数形转换的意识。）师：回忆总结学习方法：观察猜测——分析计算——总结规律（板书）师过度：“能不能换个角度观察”2、二探——开始小组合作研究学习（电脑演示）“斜着看又可以得到什么新的算式呢请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。”第1个：1=1第2个：121=4第3个：12321=9第4个：1234321=16“谁发现什么规律呢”“如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。“第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。3、三探师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗还能换个角度去思考吗（课件演示）小组讨论，列出算式，全班汇报。有的学生可能说：“这次都是奇数相加。”教师问：“从奇数几加起加几个是随意的几个奇数相加吗”通过这样的追问，引导学生说出“第几个点阵就从1开始加几个连续奇数”。4、四回味师：同学们，黑板上的三组算式的得数分别相等。我们可以用等于号将它们连接起来。这样，一个数的平方可以写出三种不同的算法。我出两题考考大家。用板书上的出示：1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝（）1＋3＋5＋7＝（）4×4＝（）（在这里，教师不是让学生发现规律就结束了，而是让学生活学活用这些规律。让学生体会到我们刚才发现的正方形点阵中的规律，其实就是一个完全平方数的规律，它可以应用到所有的完全平方数。）最后教师小结，刚才我们从三个不同角度观察同一组正方形点阵，得到了三条不同的规律，也许再换一个角度观察，还可以得到新的规律，今天暂不作研究。接下来我们一起来研究其它形式的点阵。自然地过渡到下一教学环节。（在刚才的新课教学的环节中，学生经历了观察、思考、合作、交流、表达等过程，培养了观察能力、想象能力、概括能力。并深刻体验到数与形，数与式，式与式之间的联系，培养学生利用数形结合的思想来解决问题的意识和能力。）点阵的规律，生活中也十分常见。比如：北京奥运会开幕式上的“击缶表演”、“太极表演”等，都是把一个人看作了一点，来排列有规律的队形。（课件出示图片）由点阵构成的，节日里摆放的花坛，做操的队伍等等。（学生看课件）（三）、融练于趣，勇攀高峰练习共分四关（分组同时进行）第一关：解读荷塘图第二关：探密百慕大第三关：智走梅花桩第四关：自创点阵图第一关即书中试一试第一题，全班说算式，点答说规律。第二关即书中试一试第二题，学生独立思考列出算式，互相说规律，全班交流。第三关即书中练一练第二题，这道题难度较大，我结合创设的情境具体指导：“指第一个，走了几个梅花桩指第二个，增加几个桩，增加了一个什么形状指第三个，又增加了几个桩，又增加了一个什么形状如果再往下走，再多走几个桩，又增加了一个什么形状你能写出算式吗写完算式，学生自己独立画出点阵。小组合作，讨论点阵中蕴涵的规律，然后汇报交流。（这一题与前几个题区别很大，前几题的点阵可以看作规则的几何图形，这一题点阵图规律不同于前几个，要画出下一个图形，既要抓住数量的变化，又要抓住形状的变化。进一步体会到数形结合的重要。）（我们以学生成为小小数学家为线索，以练习的题目为闯关内容，将所有的练习串连起来。这种形式使学生眼前一亮，把枯燥的练习，变成了学生喜闻乐见的活动，激发学生的研究兴趣。）第四关：自创点阵图师：同学们今天学习了这么多的点阵，有正方形的、长方形的、三角形的，多边形的等等。能不能自创新的点阵呢点阵设计大赛：1、设计时间：5分钟2、设计要求：（1）每人设计一组有规律、美观的点阵图，画出前4个点阵。（2）用算式计算出每个点阵的数量，然后在小组内交流自己的设计方案。（3）每组评先出优秀作品，派代表说明设计的方法及点阵中的规律,并展示作品。3、优秀设计作品将在班级“学习园地”展出。