2020高中数学 第章 数系的扩充与复数的引入 .1 数系的扩充学案 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精3。1数系的扩充学习目标核心素养1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．（重点）2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点)3．实部、虚部的概念．（易混点）通过对复数的学习,培养数学抽象素养。1．复数的相关概念（1)虚数单位我们引入一个新数i,叫做虚数单位，并规定：①i2＝－1;②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2)复数、复数集①形如a＋bi（a,b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C。②复数z＝a＋bi（a,b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．2．复数的分类与复数相等(1）复数的分类复数z＝a＋bi（a，b∈R),当且仅当b＝0时，z是实数;当b≠0时，z叫做虚数;当a＝0且b≠0时,z＝bi叫做纯虚数．(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数,那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d。思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系?[提示］1．复数i－2的虚部是（)A．i B．－2C．1 D．2C［i－2＝－2＋i，因此虚部是1。］2．如果(x＋y）i＝x－1，则实数x，y的值分别为（)A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1,y＝0 D．x＝0,y＝0A[∵（x＋y)i＝x－1，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y＝0,，x－1＝0，))∴x＝1,y＝－1.]3．①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1）＋(x2＋3x＋2）i（x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是__________．(填序号）③［当a＝－1时，(a＋1）i＝0，故①错误;两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1）＋（x2＋3x＋2)i是纯虚数，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－1＝0,,x2＋3x＋2≠0,））即x＝1，故②错．］4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________。2＋i［由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝1，)）故x＋yi＝2＋i.]复数的相关概念【例1】（1)复数z＝4－3i的实部和虚部分别是________和________．（2)复数z＝（m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．(3）当实数m为何值时，复数z＝eq\f（m2＋m－6,m)＋(m2－2m）i为：①实数；②虚数；③纯虚数．(1）4－3[由复数的代数形式及实、虚部的概念知,复数z的实部和虚部分别为4和－3.](2)[解］①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．②当m2＋m－2≠0,即m≠－2且m≠1时,z为虚数．③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2≠0，，m2－3m＋2＝0，）)即m＝2时，z为纯虚数．(3)［解]①eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－2m＝0,，m≠0，））即m＝2，∴当m＝2时，复数z是实数．②当m2－2m≠0,且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．③由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（m2＋m－6，m)＝0，,m2－2m≠0,））解得m＝－3，∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．判断与复数有关的命题是否正确的方法(1）举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题型时,可按照“先特殊,后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2）化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式,更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．1．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①自然数集是非负整数集②实数集与复数集的交集为实数集③实数集与虚数集的交集是{0｝④纯虚数集与实数集的交集为空集③［复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．］复数的分类及应用【例2】（1）复数z＝a2－b2＋（a＋|a|)i（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是________．（2）已知m∈R，复数z＝eq\f(mm＋2,m－1）＋(m2＋2m－3）i，当m为何值时,①z为实数；②z为虚数;③z为纯虚数．(1)a>0且a＝±b［要使复数z为纯虚数，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,a＋｜a｜≠0，))∴a>0,a＝±b.]（2）［解]①要使z为实数,需满足m2＋2m－3＝0，且eq\f（mm＋2，m－1）有意义，即m－1≠0，解得m＝－3。②要使z为虚数,需满足m2＋2m－3≠0，且eq\f（mm＋2,m－1）有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3。③要使z为纯虚数，需满足eq\f(mm＋2,m－1）＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a,b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.2．若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？[解］复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0,即|a|＝－a，所以a≤0。复数相等的充要条件［探究问题］1．由3>2能否推出3＋i〉2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？提示：由3〉2不能推出3＋i〉2＋i,当两个复数都是实数时,可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi〉0,则实数a，b满足什么条件？提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0。【例3】(1）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9)i<0，则实数m的值等于________．（2）已知关于x的方程x2＋(1－2i）x＋（3m－i）＝0有实数根，求实数m[思路探究］（1）等价转化为虚部为零，且实部小于零；(2）根据复数相等的充要条件求解．(1)－3[∵z〈0，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－9＝0,，m＋1＜0，))∴m＝－3。］(2）［解]设a是原方程的实根，则a2＋（1－2i）a＋(3m－i)＝0，即（a2＋a＋3m）－(2a＋1）i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－eq\f(1，2)且eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))）2－eq\f（1，2）＋3m＝0，所以m＝eq\f（1，12）.1．（变条件)若x＝1是方程x2＋（1－2i）x＋（3m－i）＝0的实数根,求复数m［解]由题意可知,1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－eq\f（2，3)＋i。2．（变条件）若x2＋(1－2i)x＋(3m－i）〉0,求实数m[解]由题意可知，x2＋（1－2i)x＋（3m－i)＝x2＋x＋3m－(2故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋1＝0,,x2＋x＋3m>0，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（1，2），,m〉\f(1,12)。）)所以实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,12)，＋∞)）.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．（2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．1．本节课的重点是理解复数的概念、复数的分类及数集间的关系．2．本节课的易错点是对两个虚数进行大小比较，只有当两个复数是实数时，才能比较大小.1．判断（正确的打“√”，错误的打“×"）(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(）（2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．（）(3)bi是纯虚数．()（4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等．（)［答案］（1）×(2）√（3）×(4)√2．若复数z＝(m＋2）＋(m2－9)i（m∈R）是正实数，则实数m的值为()A．－2 B．3C．－3 D．±3B［由题知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－9＝0，,m＋2＞0,)）解得m＝3.故选B。]3．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则－1[由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4）i,从而eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－3m＝4,，m＝5m＋4，))解得m＝－1。］4．已知集合M＝{(a＋3）＋（b2－1）i，8｝，集合N＝｛3i，(a2－1)＋（b＋2