2020高中数学 第章 三角恒等变换 .1.2 两角和与差的正弦教案（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精3.1.2两角和与差的正弦学习目标核心素养1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2．能利用公式解决简单的化简求值问题．（重点)1．通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2．借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。1．两角和与差的正弦公式（1)Sα＋β：sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β。(2)Sα－β：sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2）sin（x＋θ)（a，b不同时为0),其中cosθ＝eq\f(a，\r（a2＋b2）)，sinθ＝eq\f(b，\r（a2＋b2)）.思考：根据公式C(α±β）的识记规律,你能总结出公式S（α±β)的记忆规律吗？［提示］对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正,和差相反"可得公式S(α±β）的记忆规律：“正余余正,和差相同”．1．cos17°sin13°＋sin17°cos13°的值为()A．eq\f(1，2) B．eq\f（\r(2)，2）C．eq\f(\r（3）,2） D．以上都不对A[原式＝sin（13°＋17°）＝sin30°＝eq\f（1,2)。］2．函数y＝sinx－cosx的最小正周期是(）A．eq\f（π,2) B．πC．2π D．4πC[y＝sinx－cosx＝eq\r(2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2），2)sinx－\f(\r(2），2）cosx)）＝eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（π,4)))，∴函数的最小正周期为T＝2π.]3．已知α为锐角，sinα＝eq\f（3，5)，β是第四象限角，cos（π＋β)＝－eq\f(4，5），则sin（α＋β)＝________。0［∵α为锐角，且sinα＝eq\f(3,5),∴cosα＝eq\f（4,5）.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cosβ＝－eq\f（4，5)，∴cosβ＝eq\f(4，5)，sinβ＝－eq\f(3，5).∴sin(α＋β）＝eq\f(3，5）×eq\f（4,5)＋eq\f（4,5)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5）)）＝0.］利用公式化简求值【例1】（1)eq\f（sin47°－sin17°cos30°，cos17°）＝(）A．－eq\f（\r（3）,2) B．－eq\f(1，2）C．eq\f(1，2） D．eq\f(\r（3），2）(2）求sin157°cos67°＋cos23°sin67°的值；（3)求sin（θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－eq\r（3）cos(θ＋15°）的值．［思路探究］（1)化简求值应注意公式的逆用．(2）(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．（1）C[eq\f（sin47°－sin17°cos30°，cos17°）＝eq\f（sin17°＋30°－sin17°cos30°,cos17°)＝eq\f（sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°，cos17°）＝eq\f(cos17°sin30°，cos17°)＝sin30°＝eq\f（1，2)。](2)解：原式＝sin（180°－23°）cos67°＋cos23°sin67°＝sin23°cos67°＋cos23°sin67°＝sin(23°＋67°)＝sin90°＝1。(3)sin(θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－eq\r(3)cos（θ＋15°）＝sin（θ＋15°＋60°）＋cos（θ＋15°＋30°）－eq\r（3)cos（θ＋15°）＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°）·cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－eq\r(3)cos(θ＋15°)＝eq\f（1,2）sin（θ＋15°)＋eq\f(\r(3),2）cos（θ＋15°)＋eq\f（\r(3),2)cos(θ＋15°)－eq\f(1,2)sin（θ＋15°)－eq\r（3）cos（θ＋15°）＝0.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：（1)化为特殊角的三角函数值；(2）化为正负相消的项，消去,求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．1．化简下列各式：（1）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,3))）＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,3）))－eq\r（3）coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2π，3)－x）)；(2）eq\f(sin2α＋β,sinα)－2cos(α＋β）．［解］（1）原式＝sinxcoseq\f（π,3)＋cosxsineq\f(π，3）＋2sinxcoseq\f（π,3）－2cosxsineq\f（π，3)－eq\r（3）coseq\f(2π，3）cosx－eq\r(3)sineq\f（2π,3）sinx＝eq\f（1,2)sinx＋eq\f(\r（3),2)cosx＋sinx－eq\r（3)cosx＋eq\f（\r（3),2）cosx－eq\f（3，2)sinx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）＋1－\f（3,2))）sinx＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，2)－\r（3)＋\f（\r（3）,2））)cosx＝0.（2)原式＝eq\f(sin［α＋β＋α］－2cosα＋βsinα,sinα）＝eq\f(sinα＋βcosα－cosα＋βsinα,sinα）＝eq\f(sin[α＋β－α],sinα）＝eq\f（sinβ,sinα）。给值（式）求值【例2】设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2),π)),β∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π））,若cosα＝－eq\f（1,2）,sinβ＝－eq\f(\r(3）,2)，求sin(α＋β)的值．[思路探究］应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．［解]因为α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2），π)），cosα＝－eq\f(1,2),所以sinα＝eq\f（\r(3）,2)，因为β∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),2π))，sinβ＝－eq\f（\r(3),2)，所以cosβ＝eq\f(1，2).所以sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(\r(3）,2）×eq\f（1，2）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2）））×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3),2))）＝eq\f(\r(3)，2)。1．（变结论)若条件不变，试求sin（α－β)＋cos(α－β）的值．[解]sin（α－β）＋cos（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2）×eq\f（1，2)－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2）））×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3），2））)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2))）×eq\f（1,2）＋eq\f（\r(3），2)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(\r（3)，2）)）＝eq\f（\r（3）,4）－eq\f(\r（3）,4）－eq\f（1，4）－eq\f（3，4)＝－1.2．(变条件）若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？[解］因为α∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）,π))，cosα＝－eq\f（1，2)，所以sinα＝eq\f(\r（3），2）.因为β为第三象限,所以cosβ＝－eq\f(1，2).所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f（\r（3)，2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2))）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（\r（3),2))）＝－eq\f(\r(3），4）＋eq\f(\r(3)，4)＝0。1．当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．辅助角公式的应用[探究问题]1。函数y＝sinx＋cosx（x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？[提示］不对．因为sinx＋cosx＝eq\r（2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2),2）sinx＋\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（sinx·cos\f（π,4）＋cosx·sin\f（π，4）)）＝eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,4)）)，所以函数的最大值为eq\r（2）。2．函数y＝3sinx＋4cosx的最大值等于多少？[提示］因为y＝3sinx＋4cosx＝5eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,5)sinx＋\f(4，5)cosx)），令cosφ＝eq\f（3,5），sinφ＝eq\f（4,5），则y＝5（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝5sin(x＋φ)，所以函数y的最大值为5。3．如何推导asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f（b，a)))公式？[提示]asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a,\r（a2＋b2）)sinx＋\f(b，\r(a2＋b2）)cosx）)，令cosφ＝eq\f(a,\r（a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b，\r（a2＋b2)），则asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝eq\r(a2＋b2)sin（x＋φ）(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝eq\f（b,a)确定，或由sinφ＝eq\f(b，\r（a2＋b2）)和cosφ＝eq\f（a，\r（a2＋b2))共同确定）．【例3】设函数f（x）＝sinx＋sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，3）))。(1）求f(x)的最小值,并求使f（x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．[思路探究］辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解］（1)f（x)＝sinx＋sinxcoseq\f(π,3)＋cosxsineq\f(π,3)＝sinx＋eq\f（1，2）sinx＋eq\f（\r（3),2）cosx＝eq\f（3,2)sinx＋eq\f（\r(3），2)cosx＝eq\r(3)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(sinxcos\f（π,6）＋cosxsin\f(π，6)）)＝eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6))),当sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,6)))＝－1时,f(x)min＝－eq\r（3)，此时x＋eq\f（π，6)＝eq\f(3π,2）＋2kπ（k∈Z）,所以x＝eq\f（4π，3）＋2kπ（k∈Z）．所以f（x）的最小值为－eq\r(3)，x的集合为eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（4π,3）＋2kπ,k∈Z））)).(2)将y＝sinx的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的eq\r(3）倍，得y＝eq\r（3）sinx的图象；然后将y＝eq\r(3)sinx的图象上所有的点向左平移eq\f（π,6）个单位长度，得f(x)＝eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)））的图象。(变结论)例题中的条件不变，试求函数f（x)的单调区间？[解]由本例解析知函数可化为f(x)＝eq\r(3）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)）)，当2kπ－eq\f（π，2）≤x＋eq\f（π,6）≤2kπ＋eq\f(π，2）(k∈Z），即2kπ－eq\f（2π，3）≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)时，函数为增函数;当2kπ＋eq\f（π,2)≤x＋eq\f(π,6）≤2kπ＋eq\f（3π,2），即2kπ＋eq\f(π，3）≤x≤2kπ＋eq\f(4π，3）（k∈Z）时，函数为减函数．所以函数f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3））)(k∈Z),函数f（x）的单调减区间为eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（2kπ＋\f(π,3）,2kπ＋\f（4π,3))）（k∈Z)．1．把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．2．函数图象可通过y＝sinx→y＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,6)）)→y＝eq\r（3）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)））的顺序得到．(教师用书独具）1．两角和与差的正弦公式的结构特点（1)公式中的α，β均为任意角．（2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．（3）两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.1．若cosα＝－eq\f(4，5），α是第三象限的角，则sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π，4)))＝（)A．－eq\f(7\r（2),10) B．eq\f(7\r(2）,10）C．－eq\f（\r(2)，10) D．eq\f（\r（2),10）A[∵cosα＝－eq\f（4,5）,α为第三象限角,∴sinα＝－eq\f(3,5）,由两角和的正弦公式得sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,4）)）＝sinαcoseq\f（π,4）＋cosα·sineq\f(π,4）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f（\r(2），2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（4,5)））×eq\f(\r(2)，2)＝－eq\f(7\r(2），10)。]2．函数f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,6）））的值域为(