2020高中数学 第章 三角恒等变换 . 三角函数的积化和差与和差化积教案（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精3.3三角函数的积化和差与和差化积学习目标核心素养1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换,推导出积化和差与和差化积公式．(难点）2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点）1．通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2．借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。1．积化和差公式cosαcosβ＝eq\f（1,2)[cos（α＋β)＋cos(α－β）］；sinαsinβ＝－eq\f（1,2）[cos（α＋β）－cos（α－β)]；sinαcosβ＝eq\f（1，2）[sin(α＋β)＋sin（α－β）］；cosαsinβ＝eq\f（1,2）[sin（α＋β）－sin（α－β)]．2．和差化积公式设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝eq\f(x＋y，2),β＝eq\f(x－y,2）.这样,上面的四个式子可以写成，sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2）coseq\f（x－y,2）；sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)sineq\f（x－y，2)；cosx＋cosy＝2coseq\f（x＋y，2)coseq\f（x－y,2)；cosx－cosy＝－2sineq\f（x＋y，2)sineq\f（x－y,2)。思考:和差化积公式的适用条件是什么？［提示]只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．1．计算sin105°cos75°的值是（）A．eq\f(1，2） B．eq\f(1,4）C．－eq\f(1,4) D．－eq\f（1,2）B［sin105°cos75°＝eq\f(1，2）(sin180°＋sin30°)＝eq\f（1，4）。]2．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4)＋α））coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π,4）＋β)）化成和差的形式为(）A.eq\f（1，2）sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋β）)＋eq\f（1，2)coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－β))B。eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋β））＋eq\f（1,2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－β))C。eq\f（1,2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋β））＋eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－β））D.eq\f（1,2）coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α＋β））＋eq\f（1，2)coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－β））B[sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，4）＋α))·coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋β）)＝eq\f(1，2）eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋α＋\f（π,4)＋β）)＋sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,4）＋α－\f(π，4)－β）)））＝eq\f(1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）＋α＋β)）＋sinα－β）)＝eq\f(1,2)［cos(α＋β）＋sin(α－β)］．＝eq\f（1,2）cos（α＋β）＋eq\f(1，2）sin(α－β）．所以选B.]3．下列等式正确的是（)A．sinx＋siny＝2sineq\f（x＋y,2)sineq\f(x－y,2)B．sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2）C．cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y，2)coseq\f(x－y，2）D．cosx－cosy＝2sineq\f(x＋y，2)sineq\f（x－y，2）C［由和差化积公式知C正确．］积化和差问题【例1】（1）求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.（2）求值：sin20°sin40°sin60°sin80°。［思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换,尽量出现特殊角．[解](1)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f（1，2)（sin90°－sin50°)－eq\f（1，2）（cos60°－cos40°）＝eq\f（1,4)－eq\f(1，2）sin50°＋eq\f（1,2）cos40°＝eq\f（1，4）－eq\f（1,2)sin50°＋eq\f(1，2)sin50°＝eq\f（1,4）。（2)原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f（\r（3）,2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3）,2）eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)cos60°＋cos40°·cos70°）)＝eq\f(\r（3)，8)cos70°＋eq\f（\r（3），4）cos40°cos70°＝eq\f（\r（3)，8)cos70°＋eq\f（\r(3),8）（cos110°＋cos30°）＝eq\f（\r（3），8)cos70°＋eq\f（\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16)。积化和差公式的功能与关键1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.1．求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．［解]原式＝eq\f（1－cos40°,2）＋eq\f(1＋cos100°，2)＋eq\f(1,2)(sin70°－sin30°）＝1＋eq\f(1,2)（cos100°－cos40°）＋eq\f（1,2）sin70°－eq\f(1，4）＝eq\f(3,4)＋eq\f（1，2）（－2sin70°sin30°）＋eq\f(1,2）sin70°＝eq\f（3，4)－eq\f(1，2)sin70°＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4).和差化积问题【例2】已知cosα－cosβ＝eq\f(1，2),sinα－sinβ＝－eq\f（1，3），求sin(α＋β）的值．［思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．［解］∵cosα－cosβ＝eq\f（1，2），∴－2sineq\f(α＋β,2）sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1，2). ①又∵sinα－sinβ＝－eq\f（1，3），∴2coseq\f(α＋β,2)sineq\f（α－β,2)＝－eq\f(1,3）。 ②∵sineq\f(α－β，2)≠0,∴由①②,得－taneq\f(α＋β，2)＝－eq\f(3,2),即taneq\f（α＋β，2)＝eq\f（3,2)。∴sin(α＋β)＝eq\f(2sin\f（α＋β，2）cos\f(α＋β,2),sin2\f（α＋β，2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f（2tan\f(α＋β，2），1＋tan2\f(α＋β,2）)＝eq\f(2×\f(3,2），1＋\f(9,4））＝eq\f（12，13）。1．（变结论）本例中条件不变，试求cos（α＋β）的值．[解]因为cosα－cosβ＝eq\f(1，2），所以－2sineq\f（α＋β,2)sineq\f（α－β，2)＝eq\f（1,2)。 ①又因为sinα－sinβ＝－eq\f（1，3)，所以2coseq\f(α＋β，2)sineq\f（α－β，2）＝－eq\f(1,3）. ②因为sineq\f(α－β,2）≠0，所以由①②,得－taneq\f(α＋β，2)＝－eq\f（3，2），即taneq\f(α＋β,2）＝eq\f（3,2).所以cos(α＋β)＝eq\f(cos2\f（α＋β,2）－sin2\f(α＋β,2），sin2\f(α＋β，2）＋cos2\f(α＋β，2））＝eq\f(1－tan2\f(α＋β，2),1＋tan2\f(α＋β,2）)＝eq\f(1－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,2)））eq\s\up8(2),1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,2))）eq\s\up8（2））＝－eq\f(5,13).2．(变条件）将本例中的条件“cosα－cosβ＝eq\f（1，2），sinα－sinβ＝－eq\f（1，3)”变为“cosα＋cosβ＝eq\f（1,2）,sinα＋sinβ＝－eq\f(1，3)”，结果如何？［解]因为cosα＋cosβ＝eq\f（1，2),所以2coseq\f(α＋β，2）coseq\f（α－β,2)＝eq\f(1,2）. ①又因为sinα＋sinβ＝－eq\f（1，3)，所以2sineq\f(α＋β，2）coseq\f（α－β,2)＝－eq\f（1,3). ②所以coseq\f(α－β，2)≠0,所以由①②，得taneq\f(α＋β，2）＝－eq\f(2，3)，所以sin（α＋β）＝eq\f(2sin\f（α＋β,2）cos\f(α＋β,2),sin2\f（α＋β，2）＋cos2\f（α＋β,2）)＝eq\f(2tan\f（α＋β,2),1＋tan2\f（α＋β,2））＝eq\f（2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（2,3）)),1＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（2，3)））eq\s\up8(2))＝－eq\f(12，13).和差化积公式应用时的注意事项1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名，必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.2根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑：①运用公式之后,能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分,能否合并或消项。3为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如eq\f(1,2）－cosα＝coseq\f(π,3）－cosα。公式的综合应用［探究问题］1．解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？［提示]注意三角形中的隐含条件的应用,如A＋B＋C＝π,a＋b>c等．2．在△ABC中有哪些重要的三角关系？［提示］在△ABC中的三角关系：sin（A＋B）＝sinC,cos(A＋B）＝－cosC,sineq\f（A＋B,2)＝coseq\f(C，2)，coseq\f(A＋B,2）＝sineq\f（C，2），sin（2A＋2B）＝－sin2C,cos(2A＋2B【例3】在△ABC中，求证：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f（A,2)sineq\f（B，2）coseq\f（C，2).[思路探究]利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.［解]左边＝sin(B＋C）＋2sineq\f(B－C，2)·coseq\f（B＋C，2)＝2sineq\f（B＋C，2）coseq\f(B＋C，2）＋2sineq\f(B－C，2)coseq\f(B＋C，2）＝2coseq\f(B＋C，2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（sin\f(B＋C，2)＋sin\f(B－C，2)））＝4sineq\f（A，2）sineq\f(B,2）coseq\f(C,2)＝右边,∴原等式成立．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异"化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证。2．在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)coseq\f(B，2）coseq\f(C，2)。［证明]由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即eq\f(C，2)＝90°－eq\f（A＋B,2)，∴coseq\f(C，2）＝sineq\f（A＋B，2)。∴sinA＋sinB＋sinC＝2sineq\f（A＋B,2)·coseq\f(A－B，2)＋sin（A＋B)＝2sineq\f(A＋B，2)·coseq\f(A－B，2)＋2sineq\f（A＋B,2）·coseq\f(A＋B,2）＝2sineq\f（A＋B，2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f（A－B，2)＋cos\f(A＋B,2）)）＝2coseq\f(C，2）·2coseq\f(A，2)·coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（B,2）））＝4coseq\f（A,2)coseq\f(B,2）coseq\f(C，2），∴原等式成立．（教师用书独具)1．公式的记忆和差化积公式记忆口诀:“正和正在前，正差正后迁;余和一色余，余差翻了天．”(正代表sinα，余代表cosα)2．公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．1．sin75°－sin15°的值为()A．eq\f(1,2） B．eq\f（\r(2),2）C．eq\f（\r(3)，2） D．－eq\f（1,2)B[sin75°－sin15＝2coseq\f（75°＋15°，2)sineq\f（75°－15°,2）＝2×eq\f(\r（2），2）×eq\f（1，2）＝eq\f(\r（2),2）.故选B。］2．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π，6)））cosx的最大值为(）A．eq\f(1，2） B．eq\f(1，4)C．1 D．eq\f（\r（2)，2)B［∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（π,6))）cosx＝eq\f（1，2)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6)＋x））－sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6）－x））））＝eq\f(1,2）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,6）)）－\f（1，2)))＝eq\f