2020高中数学 第一章 三角函数 1.5.1 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象练习（含解析）4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17-学必求其心得，业必贵于专精第13课时函数y＝Asin(ωx＋φ）的图象对应学生用书P29知识点一平移变换1．要得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3）））的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（)A．向左平移eq\f(π，3)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3）个单位长度C．向左平移eq\f(π，6）个单位长度D．向右平移eq\f（π，6)个单位长度答案C解析因为y＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3））)＝sin2x＋eq\f（π,6),所以将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π，6）个单位长度，就可得到函数y＝sin2x＋eq\f（π,6)＝sin2x＋eq\f(π,3）的图象．2．将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π，4)个单位长度,再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是()A．y＝cos2xB．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)）)D．y＝cos2x－1答案B解析将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f（π,4)个单位长度,得到函数y＝sin2x＋eq\f（π，4）的图象，即y＝sin2x＋eq\f(π,2)＝cos2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos2x．3．为了得到函数y＝sin2x－eq\f(π，6）的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（)A．向右平移eq\f(π，6）个单位长度B．向右平移eq\f(π，3）个单位长度C．向左平移eq\f(π,6）个单位长度D．向左平移eq\f(π,3)个单位长度答案B解析y＝sin2x－eq\f(π,6)＝coseq\f（π,2）－2x－eq\f(π,6）＝coseq\f（2π，3)－2x＝cos2x－eq\f(2π，3)＝cos2x－eq\f（π,3)．故选B．知识点二伸缩变换4．把函数y＝f(x）的图象向左平移eq\f（π,4)个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变)，得到函数y＝sinx的图象，则y＝f(x）的解析式为()A．y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4））)＋1B．y＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π，2））)＋1C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)x＋\f(π,4))）－1D．y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）x＋\f(π，2））)－1答案B解析将函数y＝sinx的图象上每个点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2）(纵坐标保持不变），得到函数y＝sin2x的图象,将所得图象向上平移1个单位长度,得到函数y＝sin2x＋1的图象，再将所得图象向右平移eq\f(π，4）个单位长度，得到函数y＝sin2x－eq\f(π,4)＋1＝sin2x－eq\f(π,2)＋1的图象．故选B．5．将函数y＝eq\f(1,2)sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，则所得图象的函数解析式为________．答案y＝eq\f(1，4）sinx解析y＝eq\f（1，2）sin2xeq\o（→,\s\up7(横坐标伸长为）,\s\do5(原来的2倍))y＝eq\f（1，2）sin2eq\f(1,2）x＝eq\f（1，2)sinxeq\o(→,\s\up7（纵坐标缩短为),\s\do5（原来的\f（1,2）)）y＝eq\f（1，4）sinx．即所得图象的解析式为y＝eq\f(1,4)sinx．知识点三图象变换的综合应用6．要得到函数y＝eq\r(2)cosx的图象，只需将函数y＝eq\r(2）sin2x＋eq\f（π，4)图象上的所有点的(）A．横坐标缩短到原来的eq\f(1，2)（纵坐标不变)，再向左平行移动eq\f（π,8）个单位长度B．横坐标缩短到原来的eq\f（1，2)（纵坐标不变），再向右平行移动eq\f(π,4）个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动eq\f(π，4)个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平行移动eq\f（π,8)个单位长度答案C解析∵y＝eq\r(2）cosx＝eq\r（2）sinx＋eq\f(π,2），∴y＝eq\r（2）sin2x＋eq\f(π，4)eq\o(→，\s\up7（纵坐标不变),\s\do5(横坐标伸长到原来的2倍））y＝eq\r（2)sinx＋eq\f（π，4)eq\o（→，\s\up7（向左平移\f（π）,\s\do5(4）个单位长度）)y＝eq\r（2）sinx＋eq\f（π，2)＝eq\r（2)cosx．7．使函数y＝f（x）图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的eq\f（1,2)，然后再将其图象沿x轴向左平移eq\f（π,6）个单位得到的曲线与y＝sin2x的图象相同，求f（x）的表达式．解解法一：(正向变换）y＝f（x）eq\o(→,\s\up7(横坐标缩小到）,\s\do5（原来的\f(1,2））)y＝f（2x）eq\o(→,\s\up7(沿x轴向左平）,\s\do5(移\f（π，6）个单位）)y＝f2x＋eq\f(π,6)，即y＝f2x＋eq\f(π,3），∴f2x＋eq\f（π,3）＝sin2x．令2x＋eq\f(π，3)＝t，则2x＝t－eq\f(π,3），∴f(t)＝sint－eq\f（π,3）,即f（x）＝sinx－eq\f(π,3)．解法二：(逆向变换）根据题意，y＝sin2xeq\o(→，\s\up7（沿x轴向右),\s\do5（平移\f（π，6)个单位）)y＝sin2x－eq\f（π，3）eq\o（→,\s\up7（横坐标伸长到原来的2倍)，\s\do5（纵坐标不变）)y＝sinx－eq\f(π,3)．8．已知函数f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π，3)））(ω>0）的最小正周期为π．（1)求ω的值；(2）用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;（3）函数f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？写出变换过程．解(1）ω＝eq\f（2π，T)＝eq\f（2π，π）＝2．（2）由(1)可知f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3）））．列表：2x－eq\f（π，3）0eq\f(π,2)πeq\f（3π,2)2πxeq\f（π，6)eq\f(5π，12)eq\f（2π，3）eq\f(11π，12)eq\f(7π，6）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)）)010－10作图(如图所示）．(3）把函数y＝sinx的图象上的所有点向右平行移动eq\f（π，3）个单位长度，纵坐标不变，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（π，3）))的图象，再把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(π,3)）)的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的eq\f（1，2），纵坐标不变,得到函数y＝sin2x－eq\f（π，3）的图象．9．将函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x）的图象;将函数y＝cos2x－eq\f（π，6)的图象向左平移eq\f（π，12)个单位长度，可得函数g（x)的图象．(1)在同一直角坐标系中画出函数f（x)和g(x）的图象；(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．解函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x）＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos2x－eq\f（π,6)的图象向左平移eq\f(π，12）个单位长度，可得函数g(x)＝cos2x＋eq\f(π,12)－eq\f（π,6)＝cos2x的图象，即图象C2．（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x）和g(x）的图象如下图所示．其中C1表示函数f(x)的图象，C2表示函数g（x）的图象．（2)由图象可知：两个函数的图象共有5个交点．即方程f(x）＝g（x）解的个数为5．对应学生用书P31一、选择题1．为了得到y＝cos4x，x∈R的图象,只需把余弦曲线上所有点的（）A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的eq\f（1，4)，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的eq\f（1，4），横坐标不变答案B解析因为ω＝4〉1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1，4),纵坐标不变．2．把函数f(x）＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象向左平移φ(0<φ<π）个单位长度可以得到函数g（x）的图象．若g(x)的图象关于y轴对称,则φ的值为(）A．eq\f（5π，12）B．eq\f(7π，12）C．eq\f(5π，6)或eq\f（π，6）D．eq\f（5π，12）或eq\f（11π，12)答案D解析由题意，得g(x)＝sin2(x＋φ）－eq\f（π,3）＝sin2x＋2φ－eq\f(π,3）．∵g（x）的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数,∴2φ－eq\f（π，3)＝kπ＋eq\f（π，2）(k∈Z)，∴φ＝eq\f（kπ,2）＋eq\f（5π,12)(k∈Z）．当k＝0时，φ＝eq\f（5π，12）；当k＝1时，φ＝eq\f（11π，12），故选D．3．下列表示函数y＝sin2x－eq\f(π,3）在区间－eq\f(π，2)，π上的简图正确的是(）答案A解析将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1，2),再将所有点向右平移eq\f（π，6）个单位长度即得y＝sin2x－eq\f(π，3）的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－eq\f（π,3）＝0，eq\f（π,2），π，eq\f（3π,2)，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin2x－eq\f(π,3）的图象．4．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f(π，3)））图象上的点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，4)，t）)向左平移s（s〉0)个单位长度得到点P′．若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t＝eq\f(1,2），s的最小值为eq\f(π,6）B．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f(π，6）C．t＝eq\f（1,2)，s的最小值为eq\f(π,3）D．t＝eq\f(\r(3),2)，s的最小值为eq\f（π,3)答案A解析因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,4),t)）在函数y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3)））的图象上，所以t＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2×\f(π，4)－\f（π，3)))＝sineq\f（π,6）＝eq\f(1，2）．又P′eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4）－s，\f（1，2）)）在函数y＝sin2x的图象上，所以eq\f（1，2)＝sin2eq\f（π,4）－s，则2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，4）－s））＝2kπ＋eq\f（π，6），k∈Z或2eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1()）eq\f(π，4）－seq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（）)＝2kπ＋eq\f(5π，6)，k∈Z,解得s＝－kπ＋eq\f（π,6)，k∈Z或s＝－kπ－eq\f（π,6）,k∈Z．又s>0，故s的最小值为eq\f(π,6)．故选A．5．已知a是实数,则函数f（x）＝1＋asinax的图象不可能是(）答案D解析当a＝0时，f(x）＝1，选项C符合；当0<|a｜<1时，T>2π，且f（x）的最小值为正数，选项A符合；当｜a|>1时，T〈2π，且f（x）的最小值为负数,选项B符合；在选项D中,由振幅得|a|〉1，则T〈2π,而由图象知T>2π,矛盾，故选D．二、填空题6．将函数f(x）＝sinωx（其中ω〉0）的图象向右平移eq\f(π，4)个单位长度，所得图象经过点eq\f(3π，4),0,则ω的最小值是________．答案2解析把f（x）＝sinωx的图象向右平移eq\f（π,4）个单位长度,得y＝sinωx－eq\f（π，4)．又所得图象经过点eq\f（3π,4），0,∴sinωeq\f(3π,4)－eq\f(π,4）＝0．∴sineq\f（ωπ,2)＝0．∴eq\f(ωπ，2)＝kπ（k∈Z)．∴ω＝2k（k∈Z)．∵ω〉0，∴ω的最小值为2．7．将函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，6）)）的图象向左平移φ(φ>0）个单位长度后所得的函数图象关于坐标原点对称，则φ的最小值是________．答案eq\f(π,6）解析由题意，知y＝coseq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（2x＋φ＋\f(π,6）))＝coseq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋））eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（2φ＋\f（π，6）)）是奇函数，所以2φ＋eq\f(π，6）＝eq\f(π，2)＋kπ，k∈Z,则φ＝eq\f(π，6）＋eq\f(kπ，2），k∈Z．当k＝0时，正数φ取得最小值eq\f（π,6)．8．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq\f（1,2)；②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移eq\f（π，3）个单位长度；④图象向左平移eq\f（π，3)个单位长度;⑤图象向右平移eq\f（2π，3)个单位长度；⑥图象向左平移eq\f(2π,3)个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,2）＋\f(π，3））)的图象，那么这两种变换正确的标号是________（按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．答案④②或②⑥解析y＝sinxeq\o(→,\s\up7(④）)y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3)））eq\o(→,\s\up7（②)）y＝sineq\b\lc\（\rc\（\a\vs4\al\co1（))eq\f(x,2)＋eq\f（π，3)eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1（）)或y＝sinxeq\o（→，\s\up7（②))y＝sineq\f(x,2)eq\o（→，\s\up7（⑥)）y＝sineq\f(1,2)eq\b\lc\（\rc\（\a\vs4\al\co1()）x＋eq\f（2π,3）eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1（）)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x，2)＋\f（π，3)）)．三、解答题9．函数f（x）＝5sin2x－eq\f（π,3）－3的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的？解先把函数y＝sinx的图象向右平移eq\f(π