2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.21 直线与平面垂直练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精第1课时直线与平面垂直对应学生用书P33知识点一线面垂直的概念1．判断题:正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行．()(2）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（）（3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（）（4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．(）（5）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．()答案(1)×（2）×(3）√（4）√(5)√解析(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系有两种：①平行，②异面，∴该命题应打“×”．（2）该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√",正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不能说明面内这无数条线的位置关系,∴该命题应打“×”．（3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4）前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内,∴该命题应打“√”．（5)三条共点直线两两垂直，设为a，b,c且a，b，c共点于O,∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α,同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”．2．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内(）A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直D．以上都不对答案C解析直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线，不过它们都是平行直线,不能是相交直线．知识点二线面垂直的判定3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．证明如图所示，连接AB1,CB1，B1D1，PB1，PO．设AB＝a，则AB1＝CB1＝B1D1＝eq\r(2）a,AO＝OC＝eq\f（\r(2)，2)a，在正方形中，AC⊥平面DBB1D1，B1O⊂平面DBB1D1,所以B1O⊥AC．因为B1O2＝OB2＋BBeq\o\al(2，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2),2）a)）2＋a2＝eq\f(3，2)a2,PBeq\o\al（2，1）＝PDeq\o\al(2，1）＋B1Deq\o\al（2,1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)a)）2＋(eq\r(2）a)2＝eq\f（9,4)a2．OP2＝PD2＋DO2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)a））2＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2）,2）a）)2＝eq\f(3，4）a2，所以B1O2＋OP2＝PBeq\o\al（2,1）,所以B1O⊥OP．又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC．知识点三线面垂直的性质4．已知直线l垂直于△ABC的边AB和AC，直线m垂直于△ABC的边BC和AC，则直线l，m的位置关系是(）A．平行B．异面C．相交D．垂直答案A解析因为直线l垂直于△ABC的边AB和AC,所以l垂直于平面ABC，同理可证，m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m．5．已知点P是△ABC所在平面外一点，点P与AB,AC，BC的距离相等，且点P在△ABC上的正投影O在△ABC内，则点O一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心答案A解析如图所示，过点P作PD⊥AB,PE⊥AC，PF⊥BC,分别交AB，AC，BC于点D，E，F．点O是点P在平面ABC内的正投影，连接OD,OE,OF．因为点P到AB,AC，BC的距离相等，且PO⊥平面ABC,所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO,∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以△POD≌△POE≌△POF，所以OD＝OE＝OF．因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P，所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可得OF⊥BC，OE⊥AC．又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等,故点O为三角形ABC的内心．对应学生用书P33一、选择题1．三条直线两两垂直，下列四个命题：①这三条直线必共点;②其中必有两条直线不同在任一平面内;③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析三条直线两两垂直的情况共有三种:(1)三条直线都不相交,此时任意两条都不在同一平面内；（2)三条直线中只有两条相交，此时这两条在同一平面内；（3)三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内,但这三条直线不在同一平面内．只有命题③是真命题．故正确答案是B．2．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折起，使点G1,G2，G3重合,重合后的点记为G，那么下列结论成立的是（）A．SD⊥平面EFGB．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF答案B解析折起后，SG⊥GE,SG⊥GF，而GF∩GE＝G，∴SG⊥平面EFG．3．用a，b，c表示三条不同的直线,γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b,b∥c，则a∥c；②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ,则a∥b．其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案C解析由平行公理可知①正确;②不正确，若三条直线在同一平面内，则a∥c；③不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是(）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连线的线段D．BC中点与B1C1中点连线的线段答案A解析由BD1⊥AC，BD1⊥AB1,得BD1⊥平面AB1C，又AP⊥BD1，得P∈面AB1C∩面BB1C1C＝B1C．5．P为△ABC所在平面外的一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题，其中正确的个数是(）①PA⊥BC；②AB⊥BC；③P在平面ABC上的射影为△ABC的垂心；④P在平面ABC上的射影为△ABC的内心．A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析PA⊥PB,PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，即①为真；同理PC⊥AB，若AB⊥BC,则AB⊥平面PBC,PA∥AB,矛盾，即②为假命题；设P在平面ABC上的射影为H，易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，即③为真，④为假．二、填空题6．如图，PC⊥平面ABC，PC＝12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则P到直线AB的距离是________．答案eq\f（12\r（29),5）解析过C作CD⊥AB于D，连接PD．∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB,又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴PD⊥AB．∴PD的长即为P到直线AB的距离．在Rt△PCD中，CD＝eq\f(6×8，\r(62＋82））＝eq\f（24,5)，∴PD＝eq\r（PC2＋CD2)＝eq\r（122＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（24，5）））2）＝eq\f（12\r(29)，5)．7．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案2解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，∴QD⊥平面PAQ．∴AQ⊥QD,即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2．8．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A,B的点，则△PAB，△PAC，△PBC，△ABC中，直角三角形的个数是________．答案4解析∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴△PAB,△PAC为直角三角形．又AB为圆的直径，C在圆周上，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．∵PA⊥BC,AC⊥BC，AC∩PA＝A,∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC,∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．证明∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD⊂平面SAC,∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．10．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中,D是BC的中点，AB＝a．（1）求证：A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的