2020高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2.2 棱锥和棱台练习（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第2课时棱锥和棱台对应学生用书P5知识点一棱锥概念的理解1．给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面．其中,假命题的个数是(）A．0B．1C．2D．3答案A解析显然命题①②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面,而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．2．能保证棱锥是正棱锥的是（）A．底面为正多边形B．各侧棱都相等C．侧面与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形答案C解析由正棱锥的定义逐一判断．知识点二棱台及其相关概念3．下列三个命题,其中正确的有（）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个答案A解析利用棱台的定义和特殊几何体加以说明．①中的平面不一定平行于底面，故①错误．②③可用反例图去检验，②③错误．知识点三棱锥中基本量的运算4．已知正三棱锥的底面周长为3,侧棱长为2，则该三棱锥的高为________．答案eq\f(\r（33),3）解析由题意，可得侧棱长为2，底面边长为1，则底面正三角形外接圆的半径为r＝eq\f（\r（3),3），所以正三棱锥的高为h＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),3)）)2）＝eq\f(\r（33）,3)．知识点四棱台中基本量的运算5．正三棱台的上、下底面的边长分别为3，6，高为1，求这个棱台的侧棱长和斜高．解如图所示的正三棱台ABC－A1B1C1，设上、下两底面的中心分别是O1，O，连接O1O,则O1O为棱台的高,O1O＝1．连接A1O1，AO并延长分别与B1C1和BC相交于点D1，D，由平面几何的知识，得D1,D分别是B1C1和BC的中点，连接D1D，则D1D为棱台的斜高，∵B1C1＝3，BC＝6，∴A1O1＝3×eq\f(\r(3）,2）×eq\f（2，3）＝eq\r(3),O1D1＝eq\f(\r（3）,2），AO＝6×eq\f(\r(3），2)×eq\f（2，3）＝2eq\r（3)，OD＝eq\r（3)．在直角梯形AOO1A1中,A1A＝eq\r(12＋2\r(3）－\r(3)2）＝2；在直角梯形DOO1D1中，D1D＝eq\r（12＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\r(3)－\f(\r（3),2））)2）＝eq\f(\r(7）,2）．故这个棱台的侧棱长为2，斜高为eq\f（\r(7）,2)．对应学生用书P5一、选择题1．观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是(）A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．2．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱答案B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C,故选B．3．在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(）A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中,取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4．下列命题中，真命题的个数是()①棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③棱台的相对侧棱延长后交于一点．A．0B．1C．2D．3答案C解析棱柱被平行于底面的平面分成的两部分都是棱柱,故①正确；在三棱锥P－ABC中，若有AB＝BC＝AC＝PA＝PB＝2，PC＝1，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故②错误；棱台可以“还原”成棱锥，即侧棱延长一定相交，故③正确．5．一个正四面体的各条棱长都是a，那么这个正四面体的高是(）A．eq\f（\r（3）,3）aB．eq\f（\r（6），3)aC．eq\f（\r(2），2)aD．eq\f(a,2)答案B解析正四面体底面外接圆的半径为eq\f（\r(3),3)a，故正四面体的高是h＝eq\r（a2－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），3)a）)2)＝eq\f(\r（6),3)a．二、填空题6．下列命题中正确的是________．(1)棱柱的底面一定是平行四边形;(2）棱锥的底面一定是三角形;(3）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；（4)棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．答案（4)解析根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断．7．棱台的上、下底面面积分别为9cm2，16cm2，则它的中截面面积为________(注：中截面特指经过高的中点且平行于底面的几何体的截面）．答案eq\f（49，4）cm2解析设棱台上、下底面面积分别为S1，S2,中截面面积为S0．由上下底面、中截面的相似性及梯形中位线定理可知2eq\r(S0）＝eq\r（S1)＋eq\r（S2）,从而S0＝eq\f（\r(S1）＋\r(S2)，2）2＝eq\f(49，4）cm2．8．在侧棱长为2eq\r(3）的正三棱锥P－ABC中，∠APB＝40°，E，F分别是PB,PC上的点,过点A，E，F作截面AEF，则△AEF周长的最小值是________．答案6解析将正三棱锥的三个侧面展开．如图．则当E，F为AA1与PB，PC交点时，△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°＝2×2eq\r（3）×eq\f(\r(3）,2）＝6．三、解答题9．如图，正六棱锥的底面周长为24,H是BC的中点,∠SHO＝60°．求：（1)棱锥的高；（2）斜高;(3）侧棱长．解∵正六棱锥的底面周长为24，∴正六棱锥的底面边长为4．在正六棱锥S－ABCDEF中，∵H是BC的中点，∴SH⊥BC．(1)在Rt△SOH中，OH＝eq\f（\r(3)，2）BC＝2eq\r(3)，∵∠SHO＝60°，∴高SO＝OH·tan60°＝6．（2)在Rt△SOH中，斜高SH＝2OH＝4eq\r（3)．（3)如图，连接OB，在Rt△SOB中，SO＝6,OB＝BC＝4，∴侧棱长SB＝eq\r(SO2＋OB2)＝2eq\r（13）．10．正三棱台A′B′C′－ABC上底面面积为4,下底面面积为64，上底面中心为O′，下底面中心为O，过O′O的三等分点分别作平行于底面的截面,求各截面面积．解将棱台A′B′C′－ABC还原为棱锥S－ABC,则有eq\f（S△A′B′C′，S△ABC)＝eq\f（4,6