2020高中数学 第一章 解三角形 1.1.1.1 正弦定理（1）练习（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精第1课时正弦定理(1)知识点一已知两边及一边的对角解三角形1．在△ABC中,a＝3，b＝5，sinA＝eq\f（1,3)，则sinB＝()A．eq\f（1，5）B．eq\f(5，9）C．eq\f(\r（5），3)D．1答案B解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b，sinB）,知eq\f(3，\f(1,3））＝eq\f(5，sinB）,即sinB＝eq\f（5，9)．故选B．2．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________．答案eq\f(3\r(3)，14）解析由正弦定理，得eq\f（AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即sinC＝eq\f（ABsinA，BC)＝eq\f（5sin120°,7）＝eq\f(5\r（3),14）．由题意可知C为锐角，∴cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(11,14）．∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C）＝sin60°cosC－cos60°sinC＝eq\f（3\r（3）,14）．知识点二已知两角及一边解三角形3．一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边的长是6，那么60°角所对的边的长是（）A．3eq\r(6）B．3eq\r（2）C．3eq\r(3）D．2eq\r（6）答案A解析设60°角所对的边的长为x，由eq\f(6，sin45°)＝eq\f（x,sin60°)，x＝eq\f（6sin60°,sin45°)＝eq\f（6×\f(\r(3）,2），\f（\r(2）,2)）＝3eq\r（6)，故选A．4．在△ABC中，a，b，c分别是角A,B,C的对边,若A＝105°，B＝45°,b＝2eq\r(2),则边c＝________．答案2解析由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，由eq\f(c，sinC)＝eq\f(b,sinB），得c＝eq\f(bsinC，sinB）＝eq\f(2\r（2)×\f（1，2),\f（\r（2）,2）)＝2．知识点三判断三角形解的个数5．△ABC中,b＝30，c＝15,C＝26°,则此三角形解的情况是(）A．一解B．两解C．无解D．无法确定答案B解析∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝bsin30°〉bsinC，又c<b，如图，∴此三角形有两解．6．在△ABC中，a＝80,b＝100,A＝45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解答案B解析∵bsinA<a<b,∴此三角形有两解，故选B．7．已知在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，A＝60°,b＝4eq\r（3），若此三角形有且只有一个，则a的取值范围是（)A．0＜a＜4eq\r（3)B．a＝6C．a≥4eq\r（3）或a＝6D．0＜a≤4eq\r（3)答案C解析当a＝bsinA＝4eq\r（3)×eq\f（\r（3），2)＝6时，△ABC为直角三角形，有且只有一解；当a≥b＝4eq\r（3)时，此三角形只有一解,此时B≤A＝60°．综上，a≥4eq\r（3)或a＝6时,此三角形有且只有一解．故选C．易错点一忽视三角形中的边角关系8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝（)A．±eq\f(\r(6)，3)B．eq\f（2\r（2），3)C．－eq\f(\r（6),3）D．eq\f（\r(6）,3）易错分析本题在求出sinB＝eq\f(\r(3），3)后，对cosB的符号判断不清，误选A或C．答案D解析根据正弦定理eq\f（a，sinA)＝eq\f（b，sinB）,得sinB＝eq\f(bsinA，a)＝eq\f（\r(3），3），又a＞b,所以角B为锐角，所以cosB＝eq\f(\r(6），3)．故选D．9．在△ABC中，已知a＝2eq\r(3），b＝2，A＝60°，则B＝________．易错分析（1）由sinB＝eq\f(1，2)，得B＝30°或150°，而忽视b＝2〈a＝2eq\r(3)，从而易出错．(2）在求出角的正弦值后,要根据“大边对大角"和“内角和定理”讨论角的取舍．答案30°解析由正弦定理，得sinB＝b×eq\f(sinA,a）＝2×eq\f(sin60°，2\r(3）)＝eq\f（1，2）．∵0°<B〈180°,∴B＝30°或B＝150°．∵b〈a,根据三角形中大边对大角可知B〈A,∴B＝150°不符合条件,应舍去，∴B＝30°．易错点二解三角形时忽略对角的讨论10．已知在△ABC中，a＝eq\r（3），b＝eq\r(2)，B＝45°,求角A，C和边c．易错分析本题易出现求出角A的正弦值后默认A为锐角，从而漏解A＝120°的情况．解由正弦定理eq\f(a,sinA）＝eq\f（b,sinB），得eq\f（\r（3）,sinA)＝eq\f(\r(2）,sin45°），∴sinA＝eq\f(\r（3),2），∴A＝60°或A＝120°．当A＝60°时,C＝180°－45°－60°＝75°．∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6），4），∴c＝eq\f（bsinC，sinB）＝eq\f(\r(6)＋\r(2）,2）．当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°．∵sin15°＝sin(45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f（\r（6)－\r（2），4），∴c＝eq\f(bsinC，sinB)＝eq\f（\r（6）－\r(2),2)．∴A＝60°，C＝75°,c＝eq\f(\r(6）＋\r（2）,2）或A＝120°，C＝15°，c＝eq\f（\r(6)－\r（2)，2)．一、选择题1．在钝角三角形ABC中,AB＝eq\r（3)，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为（)A．120°B．45°C．30°D．15°答案C解析由于eq\f(AB，sinC）＝eq\f(AC，sinB），将AB＝eq\r（3)，AC＝1，B＝30°代入,求得sinC＝eq\f(\r（3)，2）．又由△ABC是钝角三角形，知C＝120°,所以A＝30°．故选C．2．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c，若A＝30°，a＝eq\r(3),则△ABC的外接圆的半径为()A．1B．2C．eq\r（3）D．2eq\r(3)答案C解析由正弦定理，得2R＝eq\f(a，sinA)＝eq\f(\r（3）,\f（1,2）)＝2eq\r(3)，则R＝eq\r（3）．故选C．3．在△ABC中，一定成立的等式是（)A．asinA＝bsinBB．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinAD．acosB＝bcosA答案C解析由正弦定理eq\f（a,sinA）＝eq\f(b，sinB）＝eq\f（c，sinC)，得asinB＝bsinA．4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20,C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定答案C解析由正弦定理eq\f（b，sinB）＝eq\f(c，sinC），得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f（40×\f(\r（3）,2）,20)＝eq\r(3)〉1．∴B不存在．即满足条件的三角形不存在．5．在△ABC中,内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若C＝120°,c＝eq\r(3）a，则(）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案C解析由正弦定理可得eq\f(a，sinA)＝eq\f(c，sinC)＝eq\f（\r（3）a，\f(\r(3），2)）＝2a．所以sinA＝eq\f（1,2）,又显然A为锐角,可得A＝30°．所以B＝180°－A－C＝30°，所以a＝b．故选C．二、填空题6．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则eq\f(2sinA－sinB，sinC)＝________．答案1解析设a＝4k，b＝3k，c＝5k（k>0)，由正弦定理，得eq\f(2sinA－sinB，sinC)＝eq\f（2×4k－3k，5k）＝1．7．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知A＝75°，B＝45°，c＝3eq\r（2），则边b的值为________．答案2eq\r（3）解析因为A＝75°,B＝45°，所以C＝60°，由正弦定理可得b＝eq\f(csinB，sinC)＝eq\f(3\r(2）×\f（\r（2)，2)，\f（\r（3）,2))＝2eq\r（3）．8．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B．下面三个不等式成立的是________．①sinA＞sinB;②cosA＜cosB；③sinA＋sinB＞cosA＋cosB．答案①②③解析∵0〈B<A<eq\f（π，2)且函数y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2）)）上是增函数,∴sinA>sinB,故①成立．函数y＝cosx在区间[0，π］上是减函数，∵A＞B，∴cosA＜cosB，故②成立．在锐角三角形中，∵A＋B＞eq\f（π,2)，∴A＞eq\f（π，2）－B，则有sinA＞sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）－B）)，即sinA＞cosB，同理sinB＞cosA，故③成立．三、解答题9．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°,解这个三角形．解∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－（A＋C）＝105°．由eq\f（a,sinA）＝eq\f（c，sinC）,得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f（10×sin45°，sin30°）＝10eq\r(2)．由eq\f(b,sinB)＝eq\f（c,sinC），得b＝eq\f（csinB,sinC）＝eq\f（10×sin105°,sin30°）＝20sin75°．∵sin75°＝sin（30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f（\r（2)＋\r(6)，4)，∴b＝20×eq\f(\r(2)＋\r（6），4)＝5eq\r（2)＋5eq\r（6）．10．在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6),∠B＝2∠A．（1)求cosA的值；（2）求c的值．解（1）因为a＝3,b＝2eq\r（6)，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得eq\f（3，sinA)＝eq\f(2\r(6),sin2A），所以eq\f（2sinAcosA,sinA）＝eq\f（