名师对话高考总复习北师大版数学文科课时作业27(含答案详析)

课时作业(二十七)一、选择题1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()13A.4B.422C.4D.3剖析：由已知得b2＝，＝，acc2aa2＋c2－b25a2－2a23∴cosB＝2ac＝4a2＝4.答案：B2．(2012年上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能够确定剖析：由正弦定理可知a2＋b2<c2，从而cosa2＋b2－c2C＝2ab<0，∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．答案：C3．(2012年深圳调研)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形必然是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形a2＋b2－c2剖析：由于a＝2bcosC，因此由余弦定理得：a＝2b·2ab，整理得b2＝c2，因此三角形必然是等腰三角形．答案：C4．(2011年辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2，则b＝()AsinB＋bcosA＝2aaA．23B．22C.3D.2剖析：∵asinAsinB＋bcos2＝2a，由正弦定理可得2＋sinAsinAsinB2bBcosA＝2sinA，∴sinB＝2sinA，即a＝2.答案：D→→)5．(2012年湖南)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC等于(A.3B.7C．22D.23→→→→剖析：∵AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)→＝2·|BC|(－cos

B)＝1，∴cos

B＝－

1→

.2|BC|→2→2→2→2|AB|＋|BC|－|AC|4＋|BC|－9又∵cosB＝→→＝→＝2|AB||BC|2×2×|BC|－1，→2|BC|→2→∴|BC|＝3.∴BC＝|BC|＝3.答案：A6．(2012年陕西)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若222C的最小值为()a＋b＝2c，则cos32A.2B.211C.2D．－222222剖析：由于cosC＝a＋b－c＝2c－c＝c2，2ab2ab2ab又由于a2＋b2＝2c2≥2ab，因此c2≥ab.c2ab1因此cosC＝2ab≥2ab＝2，当且仅当a＝b时等号成立．答案：C二、填空题7．(2012年湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.剖析：∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋2－2＝－，∴bcabcosCa2＋b2－c2－ab12π＝2ab＝2ab＝－2，∴C＝3.2π答案：38．(2012年福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．剖析：设△ABC的最小边长为a(m>0)，则其余两边长为2a,2a，故最大角的a2＋2a2－2a2－a22余弦值是cosθ＝2·a·2a＝22a2＝－4.答案：－249．(2013年长春调研测试)△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosA·sinC，则b的值为________．剖析：由正弦定理与余弦定理可知，b2＋c2－a2sinB＝6cosA·sinC可化为b＝6·2bc·c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，可计算得b＝3.答案：3三、解答题10．(2013年宁夏育才中学月考)已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sinBsinC＝2sinA.(1)求边长a的值；△＝3sinA，求cosA的值．(2)若SABC解：(1)依照正弦定理，sinB＋sinC＝2sinA可化为b＋c＝2a.联立方程组a＋b＋c＝42＋1，解得a＝4.b＋c＝2a，△1A，∴bc＝6.2又由(1)可知，b＋c＝42，由余弦定理得b2＋c2－a2b＋c2－2bc－a21cosA＝2bc＝2bc＝3.11．(2012年江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知Aπππ＝4，bsin4＋C－csin4＋B＝a.π(1)求证：B－C＝2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)证明：由bsinππ4＋C－csin4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinππ＋C－sinCsin＋B＝sinA，4422222sinB2sinC＋2cosC－sinC2sinB＋2cosB＝2，整理得

sin

Bcos

C－cos

Bsin

C＝1，即

sin(B－C)＝1，由于

30<B，C<4π，从而

πB－C＝2.3π(2)B＋C＝π－A＝4，因此

5ππB＝8，C＝8，由a＝

π2，A＝4，得

asinb＝sin

BA＝2sin

5πasin8，c＝sin

CA＝2sin

π8，因此△ABC的面积

1S＝2bcsin

A＝

2sin

5π8sin

π8ππ12cos8sin8＝2.12．(2012年辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，1因此cosB＝2.21(2)解法一：由已知b＝ac，及cosB＝2，依照正弦定理得sin2B＝sinAsinC，23因此sinAsinC＝1－cosB＝4.21解法二：由已知b＝ac，及cosB＝2，a2＋c2－ac依照余弦定理得cosB＝2ac，解得a＝c，3因此A＝C＝B＝60°，故sinAsinC＝4.[热点展望]13．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则a＋b的最小值为()4A.3B．8－43C.233D.433剖析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab又c2＝(a＋b)2－4，∴3ab44a＋b243因此有ab＝3≤2，解得a＋b≥3.答案：D14．在△ABC中，A＝30°，BC＝25，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长为________．1θ△25525＝5，则cosθ＝±5，BD＝20＋4－85×±5＝16或32，即BD＝4或42.①当BD＝4时，sinθsinB4＝2，5sinBsinAsinB·BC即sinB＝5，此时AC＝BC，即AC＝sin30°＝4；②当BD＝4sinθsinB2时，＝2，42sinBsinA即sinB＝10，此时AC＝BC，sinB·BC即AC＝sin30°＝22.综上，AC＝4或22.答案：22或4ππb＝15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3<C<2且－absin2CsinA－sin2C.(1)判断△ABC的形状；→→→→的取值范围．＋BC＝，求·(2)若|BA|2BABC解：(1)由b＝sin2C及正弦定理得：a－bsinA－sin2CsinB＝sin2C.因此B＝2C或B＋2C＝π.ππ若B＝2C，由于3<C<2，2π因此3<2C<π，则B＋C>π(舍去)，因此B＋2C＝π.A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C，故△ABC为等腰三角形．→→B＝4，cosB＝4－a2－c2(2)由于|BA＋BC|＝2，因此a2＋c2＋2accos2ac＝2－a22.a