工科数学分析全微分课件

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二、全微分在数值计算中的应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义1一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分

若函数在域D

内各点都可微,则称函数

f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D

内可微.记作2(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在

函数可微

即3定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有4反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微

!即:5定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.6所以函数在点可微.注意到,故有7推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是8例1.

计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.

计算函数的全微分.解:

9可知当二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)10例3.计算的近似值.

解:

设,则取则11内容小结1.微分定义:2.重要关系:偏导存在函数可微偏导数连续函数连续123.微分应用近似计算13思考与练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.

选择题142.

设解:

利用轮换对称性,可得注意:x,y,z

具有轮换对称性

15在点(0,0)可微.在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连3.证明函数所以16同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)

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