高二数学：4-4 数学归纳法（基础练）

4.4数学归纳法基础练一、单选题1．如果f(n)=1++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于（）A． B．C． D．2．观察下列式子:1+,1+,1+,…,则可归纳出1++…+小于（） A． B． C． D．3．设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立．”则下列命题总成立的是（）A．若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D．若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立4．已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证（）A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立5．在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为（）A． B． C． D．6．已知f(n)=+…+,则（）A．f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=B．f(n)中共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=1+C．f(n)中共有(n2-n+2)项,当n=2时,f(2)=1+D．f(n)中共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=1+二、填空题7．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+,且n≥2)”时,第一步要证明的结论是.

8．用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为.

9．用数学归纳法证明关于n的不等式+…+(n∈N+),由n=k递推到n=k+1时,不等式的左边的变化为.

三、解答题10．用数学归纳法证明12+22+32+…+n2=(n∈N+).

参考答案1．【答案】D【解析】∵f(n+1)=1++…+,f(n)=1++…+,∴f(n+1)-f(n)==.故选D2．【答案】C【解析】所猜测的分式的分母为n+1,而分子3,5,7,…,恰好是第(n+1)个正奇数,即2n+1.故选C3．【答案】D【解析】由数学归纳法原理可得,若f(3)≥9成立,则当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,即A不正确.若f(5)≥25成立,则当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,即B不正确.若f(7)<49成立,则当k≤6时,均有f(k)<k2成立,即C不正确.若f(4)=25>42成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立.故选D4．【答案】B【解析】根据数学归纳法的步骤,若已假设n=k(k≥2,k为偶数)时命题成立,则还需要用归纳假设证下一个偶数,即n=k+2时等式成立.故选B5．【答案】C【解析】∵由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2，∴a2=.∵S3=3(2×3-1)a3,即+a3=15a3,∴a3=.同理可得a4=.据此可猜想an=.故选C6．【答案】C【解析】f(n)中共有n2-(n-1)+1=n2-n+2项,当n=2时,f(n)=1+.故选C7．【答案】【解析】因为n≥2,所以第一步要证的是当n=2时结论成立,即1+12故填8．【答案】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2【解析】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2故填1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)29．【答案】增加【解析】假设n=k时,不等式成立,即+…+,则当n=k+1时,不等式左边=+…+=+…+=+…+=+…+.故填增加10．【答案】证明略【解析】证明：(1)当n=1时,左边=12=1,右边==1,等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式