奥林匹克数学知识点汇总

四点共圆（圆内接四边形）的性质：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）圆内接四边形的对角互补，外角等于其内对角；（3）圆幕定理；（4）托勒密定理Ptolemy；（5）弦切角定理。四点共圆的判定：1把四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等）。2把四点连成四边形，证明其对角互补或一个外角等于其内对角。3把四点连成相交的两条线段，证明它们各自被交点分成的两线段之积相等；或把四点两两连结并延长相交的两线段，证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积。4根据托勒密定理的逆定理。（性质和判定的前4条互为逆定理）5从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。（反证法）6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。即连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。7同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。直角三角形中线定理：直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。（逆定理也成立）射影定理:RT△ABC中,CD是斜边上的高，贝UCD2=AD•DB；AC2=AD-AB；BC2=BD-BA三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例（反之也成立）。三角形的外角平分线也有类似性质。设ADAE是/A及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立（可用于证明切线）圆外切四边形定理：圆外切四边形两组对边的和相等；反之也成立。斯特沃特定理(Stewart):如下图，设BD=p，DC=q，则AD2b2pc2qpq-pq在厶ABD和厶ABC中，运用余弦定理cosB相等可证。该定理可得以下结论:(1)当AD是中线时，p=q=-，得中线长公式AD=丄J2b2+2c2-a2；222■a+b+c(2)当AD是内角平分线时，AD=Jbcs(s-a)，其中s=；b+c2(3)当AD是高时，AD==«2a2b2+2b2c2+2c2a2—a2—b2—c2=2S出BC，2aa其中SABC二.s(s-a)(s-b)(s-c)，即海伦公式。梅涅劳斯定理(Menelaus,简称梅氏定理)：设X、丫、Z分别是△ABC的边BC、CA、AB或其延长线上的点(其中有奇数个点在边的延长线上)，则X、丫、Z三点共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。(此线称为梅氏线)塞瓦定理(Ceva):设X、丫、Z分别是△ABC的边BC、CA、AB或其延长线上的点(其中有偶数个点在边的延长线上)，则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。(此点称为塞瓦点.，可用梅涅劳斯定理或面积方法证明)塞瓦定理推论1.设E是厶ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)-(CE/AE)・(GA/DG)=1。2.塞瓦定理角元形式：AD、BE、CF交于一点的充分必要条件是：(sin/BAD/sin/DAC)*(sin/ACF/sin/FCB)*(sin/CBE/sin/EBA)=1。3.对于圆周上顺次6点A、B、C、D、E、F,直线AD、BE、CF交于一点的充分必要条件是：（AB/BC）*（CD/DE）*（EF/FA）=1。托勒密定理（Ptolemy）:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。托勒密定理的逆定理同样成立：若凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边形内接于圆。广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，”.222222则有：m*n=a*c+b*d-2abcd*cos（A+C）欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，贝UAD-BC+ABCD=ACBD。西姆松定理（Simso门）：过厶ABC外异于顶点的任意一点P作三边的垂线，则三垂足X、丫、Z共线的充要条件是四边形PABC内接于圆。（此线称为三角形关于P点的西姆松线）相关的结果：（1）设三角形的垂心为H,则西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上；（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角；（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。欧拉定理（Euler）:设△ABC的外心、重心、垂心分别为0、G、H，则该三点共线且0G=GH/2（重心分垂心和外心的连线段为2：1）。这条直线叫三角形的欧拉.线..，且九点圆圆心也在该线上，即四点共线，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等。利用向量证明，设D为BC边上的中点，贝UBD0^0，向量OH=OAAH=OA20D=OAOBBDOCCD=OAOB0C;AD=AB+BD=AC+CD=；（AB+AC），二AG=纟AD=g（AB+AC）,05+=3丽+（OA+AB）+（OA+AC））++；•••OG=;OH,•••o、G、H三点共线且。33欧拉公式：设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R和r，则外心与内心的距离为：d—2Rr=jR（R-2r）.（用p.9内心性质②可证）九点圆三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆。九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。证明如图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。连结HL并延长至L'，使LL'=HL;做H关于BC的对称点D'。显然，/BHC=/FHE=180-/A，所以/BD'C=/BHC=180-ZA，从而A，B，D'，C四点共圆。又因为BC和HL'互相平分于L,所以四边形BL'CH为平行四边形。故ZBL'C=ZBHC=180-ZA，从而A，B，L'，C四点共圆。综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即厶ABC的外接圆OO接下来做位似变换，做法是所有的点（。O上的九个点和点0本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在OO上的九个点变成了在。V上的九个点，且OV的半径是OO的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。性质1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3.三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4.九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切；5.九点圆心（V），重心（G），垂心（H），外心（0）四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。圆幂与根轴圆幕：设平面上有一点P，有一圆0,其半径为R，则OP2-R2即为P点到圆0的幕可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；根轴：在平面上任给两不同心的圆，对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴；也可以称到两不同心圆所引切线长恒相等的点的轨迹为根轴。相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。根轴方程设两圆O1,O2的方程分别为：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0和(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y)有(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2，得根轴的方程为：2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2，f2类似。解的不同可能两圆方程连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1)、N(x2,y2)1如果是两组不等实数解，M、N不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。②如果是相等实数解，M、N重合，两圆相切，方程表示两圆的公切线。③如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M、N是共轭虚点。费马点(Fermat)：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1)对于任意厶ABC，若三角形内或三角形上某一点E,使EA+EB+EC有最小值则取到最小值时E为费马点。(2)如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点。(3)如果三个内角均小于120°，则在三角形内部对三边张角均为120°的点，就是费马点；分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形ABCi,ACBi,BCAi，然后连接AAi,BBi,CCi，则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点。(4)当厶ABC为等边三角形时，费马点与外心重合。平面四边形中费马点：(i)在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。(2)在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点(P)。三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：i2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。设三角形三个顶点为(xi,yi),(x2,y2),(X3,y3)平面上任意一点为(x,y)，则该点到三222222顶点距离平方和为：(X1-x)+(y1-y)+(x2-x)+(y2-y)+(x3-x)+(y3-y)22222222=3x-2x(xi+X2+X3)+3y-2y(yi+y2+y3)+x1+X2+X3+y1+y2+y322222222=3(x-(xi+X2+X3)/3)+3(y-(yi+y2+y3)/3)+xi+X2+X3+yi+y2+y322-(X1+X2+X3)/3-(yi+y2+y3)/3显然当x=(xI+X2+X3)/3,y=(yi+y2+y3)/3(重心坐标)时，上式取得最小值222222、22“xi+X2+X3+yi+y2+y3-(x1+X2+X3)/3-(yi+y2+y3)/32222222222若GABC的重心，］则BC+3AG=CA+3BG=AB+3CG=3(AB+BC+CA)；AG2+BG2+CG2=3(AB2+BC2+CA2);AG2+BG2+CG2最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((Xi+X2+X3)/3，(丫1+丫2+丫3)/3);空间直角坐标系一一横坐标：(Xi+X2+X3)/3，纵坐标:(丫1+丫2+丫3)/3，竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3。5、三角形内到三边距离之积最大的点。三角形旁心与三角形的一边及其它两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆；旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心的性质设厶ABC在/A内的旁切圆。Ii(ri)与AB的延长线切于点Pi;内切圆半径为r。1、旁心到三角形三边的距离相等。2、三角形有三个旁切圆，三个旁心；旁心一定在三角形外。3、/BliC=90°-/A/2;ZAIiB=/C/2。4、AP1=r1cot(A/2)=(a+b+c)/2=p;BP1=(a+b-c)/2=p-c。5、SAABC=r1(b+c-a)/2。6、r1=rp(p-a)=(p-b)(p-c)/r=r/(tanB/2)(tanC/2)。7、设AI1的连线交厶ABC的外接圆于D，则Dl1=DB=DC。&直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。ABCr=4Rsin2sin"2sin2；ABCBCra=4Rsin"2Cos2Cos2=rcotqcog;1111+—+—=—rarbrcr三角形垂心的性质：设厶ABC的三条高为AD、BE、CF,D、E、F为垂足，垂心为H;1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。4、三角形的三个顶点、三个垂足、垂心这7个点可以得到6组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一个垂心组）。6、AABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。&三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9、设0,H分别为△ABC的外心和垂心，则/BAO=/HAC，/ABH=/OBC，/BCO=/HCA。10、锐角△的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松定理（Simson西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的三垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、设锐角△ABC内有一点P,那么P是垂心的充分必要条件是：PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。三角形内心的性质：设IABC的内心，连AI交厶ABC外接圆于点K，则11/BIC=9O°+2/A；S=pr，abcr=pAIBICI2三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其到内心的距离相等（即K是厶BIC的外心）。反之，I在AK上且KI=KB，贝UIABC的内心。13PABC的内切圆与边AB的切点，贝UAP=p-a=2（b+c-a）。三角形外心的性质：1设0ABC的外心，则/BOC=2ZA或360°-2/A;R=^。4SA2锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。3设HABC的垂心，贝UOH-OAOB0C。面积方法所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的手段，通过适当的变换，从而导得所考虑的量与量之间的关系，最后得到结论。由于平面上的凸多边形都可以分割成若干个三角形，因此在面积公式中，最基本的是三角形面积公式。三角形面积公式：11RSABCahaabsinC=pr(acosAbcosBccosC)222-p(p-a)(p-b)(p-c)-2RsinAsinBsinC-4R面积定理:1•一个图形的面积等于它的各部分面积的和；两个全等图形的面积相等。2•等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等。3.等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。4•相似三角形的面积比等于相似比的平方。15.四边形ABCD的对角线AC、BD间夹角为a,则四边形面积S=—ACBDsin口26.共边（比例）定理：设AC与BD相交于E，则有SABAC/SADAC=BE/DE。7•共角（比例）定理：等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；四边形对角线的夹角相等或互补，则它们的面积比等于对角线乘积的比。乞哩二人。AE，£^=AD'AES辱BCAB■ACS辱BCAB■AC8.燕尾定理：△ABC,D、E、F为BC、CA、AB上的点，满足AD、BE、CF交于同一点0。贝US^A0B:SAA0C=S^BD0:S^CD0=BD:CD；S^AOC:SAB0C=SAAFO:SABFO=AF:BF；SABOC:SABOA=SACEO:SAAEO=EC:AE。9.下面三图的面积关系aa//b时Si:S3：S2：S4=a2:b2:ab：ab,S=(a+b)2几何不等式的证明几方法大致有三种：几何方法，代数方法，三角方法。三角方法利用三角函數來反映幾何圖形的變化規律，從而將幾何問題轉換成三角問題，此時須利用有關三角函數的性質：正弦定理、餘弦定理、三角形面積公式及其三角不等式，另外面積不等關係的證明常常是幾何不等式的重要內容，一些幾何不等式常運用面積法來處理。代數方法利用變數變換、因式分解及配方等手段將幾何問題轉化成代數問題。思考方式：1適當引入變數或坐標系，將幾何問題化為代數問題。2利用一些重要的幾何不等式及代數不等式。(a)證明關於三角形內各元素的各種不等式，常作如下的變數變換，將幾何不等式化成代數不等式。A設ABC的內切圓分別切BC、CA、AB於D、E、F,記AE=AF=x,BD=BF=y,CD=CE=z,a=yz貝Ub二zx..(*)，且x>0,y>0,z>0。c=xy反過來，若三個正數a,b,c可以表示為(*)的形式，則a,b,c是一個三角形的三邊長。［討論］:由上述的變數變換可知，為了證明一個關於三角形的三邊不等式，可通過變換(*)將三邊a,b,c轉換成三個正數x,y,z的代數不等式。由於a,b,c確定三角形，從而三角形各元素都可通過變換(*)用x,y,z表示，另一方面，三角形中部分的元素亦可用x,y,z來表示：半周长s=2(a+b+c)=x+y+z，面积人=7s(s-a)(s-b)(s-c)=Jxyz(x+y+z)内切圆半径r=弓=\嗟，外接圆半径R=警=：(xy)(y+z)(z+x)s讨x+y+z必钿xyz(x+y+z)半顶角正切tanA2=x，tan|=y，tanC=；。通過上面的式子，可將三角形中的一些幾何量化成三個正數x,y,z=(b)與三角形有關的不等式：三邊長的固有關係：兩邊和大於第三邊。邊長的大小順序關係與對應角的大小順序相同，而與對應的高、中線及分角線長的大小順序相反(c)重要的代數不等式：排序不等式、切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。(d)重要的幾何不等式：1Ptolemy(托勒密)不等式：若ABCD為四邊形，則ABCD+ADBC-ACBD。等號成立=A,B,C,D四點共圓。2Weitzenberk(外森比克)不等式：在ABC中，a+b+c_4,3厶。等號成立ABC為正角形。证明如下a2+b2+c2-43△=a2+b2+a2+b2-2abcosC-23absinC=2a2+2b2-4absin(C+n/6)>2a+2b2-4ab=2(a-b)2>0，当且仅当a=b且c=n/3即厶ABC为正三角形时取等。3Erdos-Mordell(艾尔多斯一莫迪尔)不等式：設P為ABC內部或邊上一點，P到三邊的距離為PD、PE、PF,則UPA+PB+PC2(PD+PE+PF)。等號成立=厶ABC為正三角形且P為中心。证明：设PA=x，PB=y，PC=z，PD=p，PE=q，PF=r。C、D、P、E四点共圆，有DE二.p2q22pqcosC二(psinBqsinA)2(pcosB-qcosA)2_psinBqsinA，从而z=工psinB+qsinA，同理x二rsinB+qsinC，yrsinA*psinC。sinCsinC'sinA’sinBsinBsinC、zsinAsinC、“sinAsinB、、于疋xyz_p()q()r()_2(pqr).sinCsinBsinCsinAsinBsinA可证得如下的几何不等式：设PABC内任一点(包括边界)，/APB、/BPC、/CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于EI、E2、E3,则PA+PB+P>2(PE1+PE2+PE3)。4費馬問題：在ABC中，使PA+PB+PC為最小的平面上的P點稱為費馬點。當.BAC—120時，A點為費馬點；當每個內角鈞小於120時，則與三邊張角為120的P點為費馬點。5.Euler(欧拉)不等式：所以R-2r>0即R>2r。设厶ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R>2r；当且仅当厶ABC为正三角形时取等号。证明：由欧拉公式d=.R(R「2r)，又d>0，当且仅当d=0即内心与外心重合时取等；此时三角形ABC为正三角形6.等周定理(等周不等式)：1底边和顶角一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大、周长最大。2底边和周长一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大。3内接于定圆的所有n边形中，正n边形的面积最大。4周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。5周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。若P为封闭曲线的周界长，A为曲线所包围的区域面积，贝U4nAWP2。17.面积不等式：SAABC<-AB-AC，当/A=90°时取等号。2几何变换(运动)：通过平移、对称(翻折，反射)、旋转、相似等方式，把几何图形变换到所需要的位置或变为所需要的图形，使题设条件相对集中，使隐含的关系得以显现，以利于问题的解决。处理几何变换的关键是从变中抓住不变的量。(祥见p.67)对称变换是平面到自身的一一变换，每对对应点P、P'所连接的线段PP都被定直线I垂直平分，则这种变换称为关于直线I的对称或反射，记为S(l)。定直线I称为对称轴,点P'称作点P关于轴I的对称点。平移变换是平面到自身的一一变换，任意一对对应点P、P'连接的有向线段等于定向量a，则称这种变换为平移变换，记作T(a)。a叫做平移向量，其方向称为平移方向，其T(a)-长度称做平移距离。PTP'表示点P经过平移T(a)变到P'。平移变换前后的对应线段平行且相等，对应角的两边分别平行且方向一致。旋转变换是平面到它自身的—变换，任意一对对应点P、P'与平面上一定点0的距离总相等，且/POP等于定角9,这种变换称为关于点0的旋转，记作R(0,0)。点0称为旋转中心，9称作旋转角。旋转变换前后的图形全等，且顺序不变。旋转角0=180°的旋转变换叫作中心对称变换，用C(O)表示关于点O的中心对称，C(O)=R(O,180°。相似变换是平面到它自身的一一变换，线段AB是AB的像，且A'B7AB=k(常数)，这种变换称为相似变换，用s表示，常数k称作相似系数或相似比。图形F相似变换为图形F',记作FsF'。在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角，三点A、B、C的线段比不变AB/BC=AB7B。。位似变换是平面到它自身的一一变换，点A是任意点A的像，且OA二kOA'(点O和数k固定)，称这种变换为以0为(位似)中心、以k为位似比的位似变换，记为H(0,k)。k>0时，A与A在点0的同侧，0为外分点，此种变换叫做外位似(或正位似、顺位似)；k<0时，A与A在点0的两侧，0为内分点，此种变换叫做内位似(或反位似、逆位似)。k=1时，就是恒等变换(平面上每个点与它自身对应的变换)，即H(0,1)=1;k=-1时为中心对称变换，即H(0,-1)=R(0,n)=C(0)在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线(直或曲)上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点。除内含非同心圆外，任何两圆都是位似形，两圆相切时切点为位似中心，两圆外离时外(内)公切线的交点为其正(反)位似中心，两非等圆相交时外公切线交点为正位似中心。位似变换是相似变换的特殊情形，平移变换可看作中心在无穷远点的位似变换。接连施行两次几何变换称为变换的乘法，其结果称为变换的积。记点P在变换5的作用下的像为01(P)，记51(P)在变换5的作用下的像为0201(P)，则有如下性质：⑴对于两次反射S(ll)、S(l2)，若11//12，则S(ll)S(l2)=T(2v)，v为ll、12之间的距离；若l1、|2相交于0,且交角为9,则S(l1)S(l2)=R(0，29。即任何平移都是反射的乘积，任何旋转都是两个反射的乘积。⑵对于同一旋转中心0,连续两次旋转的积R(0，9)R(0，9)=R(0，9+9)。⑶对于不同旋转中心，连续两次旋转有：若9+9吃n,则R(01，9)R(02，9)=R(0，9+9)，点0按下图方法确定；若9+9=2n，贝UR(01，9)R(02，9)=T(2v)。证明：令R(Oi,9i)=S(b)S(li),R(02,©)=S(l3)S(b)，则R(02,伍)R(Oi,Gi)=S(l3)(S(l2)S(l2))S(li)=S(l3)S(li)，若Gi+血吃n,由性质1及上式知R(Oi,R(02,&)=R(0,9|+佥)，其中O是li、2的交点；若5+佥=2n,则(®+$)/2=n,有li//I3,由性质1及上式得R(Oi,5)R(O2,5)=T(2v)。［例］P是。O的弦AB的中点，过P点引。O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M,连结CF交AB于N。求证：MP=NP。(蝴蝶定理)S(GH)［分析］设GH为过P的直径，FTF显然FO。又P€GH，二PF'=PF。S(GH)S(GH)•••PFTPF',PATPB,•••/FPN=/F'PM,PF=PF,又FF'丄GH,AN丄GH，二FF'//AB。二/F,M+/MDF，/FPN+/EDF，=/EFF'+/EDF'=180°,二P、M、D、F'四点共圆。二/PFM=/PDE=/PFN。•••△PFNPFM,PN=PM。一般结论为：已知半径为R的。O内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r,P到AB中点的距离为a,贝U|1/PM-1/PN|=2a/(R2-r2)。(解析法证明：利用二次曲线系知识)非纯几何解法：几何题都是有关图形性质的，图形是点的集合，将点与复数、向量、平面坐标(直角坐标、极坐标)之间建立对应关系，就可将几何问题解法转化为其它方法，如代数法、三角法、解析法、向量法、复数法。当解题关键在于算出某个几何量的大小时，可用代数法求得关键量；三角法主要借助正、余弦定理，利用三角函数的定义和有关三角公式；解析法是把几何问题转化为代数问题来处理的更一般的方法，要注意选择适当的坐标系，尽可能化为较简单的代数问题，采取便于使用的方程形式，综合运用几何图形的性质及代数、三角知识；向量法可充分运用向量的运算定律及几何意义；复数法与解析法相比，优点在于可以进行乘法运算，乘以复数rei"相当于作相似变换：将长度(模)乘以r，再逆时针旋转角位似中心和旋转中心均为原点。复数乘法的几何表示为向量的拉伸与旋转的合成，不同于向量的乘法(数量积或向量积)。与位似、旋转有关的问题常用复数去解，还常用复数取模而产生的不等式。多面角：有公共端点且两两不共面的n（n三3）条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，叫做多面角。组成多面角的射线叫做多面角的棱，多面角有几条棱，就叫几面角；棱的公共端点S叫做多面角的顶点；相邻两棱间的平面部分叫做多面角的面；相邻两棱组成的角，叫做多面角的面角；相邻两个面组成的二面角叫做多面角的二面角。构成多面角的必要条件是：各面角和小于360°,且任一面角小于其他各面角和。面角由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作/O-ABC。特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。三面角的补三面角：由三条自已知三面角顶点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角性质1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°二面角相关定理：设三面角/O-ABC的三个面角/AOB、/BOC、/AOC所对的面角依次为/OC，ZOA，/OB1、三面角正弦定理:sin/OA/sin/BOC=sin/OB/sin/AOC=sin/OC/sin/AOB。2、三面角第一余弦定理:cos/BOC=cos/OA<sin/AOB<sin/AOC+cos/AOB<cos/AOC。3、三面角第二余弦定理:cos/OA=cos/BO<sin/OB<sin/OC-cos/OE<cos/OC。正多面体：多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体5种。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矶的结晶体是正八面体。类型面数棱数6顶点数每面边数每顶点棱数正4面体正6面体正8面体正12面体4648343533343121230308612202012正20面体5对偶性：把一个正多面体每个面的中心连起来，可以得到一个新的多面体。如果原来是正六面体，那么得到的是正八面体；如果原来是正八面体，那么得到的是正六面体。把这一性质称为正六面体与正八面体对偶。正十二面体与正二十面体对偶。而正四面体则与自己对偶。正多面体体积与表面积公式:V4=2/12*a3，S4=.3a2V6=a3，S6=6a2;V8=2/3*a3,S8=23a2;Vi2=(15+7、5)/4*a3，Si2=15/.^-25*a2;V20=(15+55)/12*a3，S2o=53a2。欧拉公式：设凸多面体的顶点数为V，棱数为E,面数为F，贝UV+F-E=2数论是研究整数性质的一门理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研究。初等数论(古典数论)是利用整数本身的性质(奇偶、整除、同余)和逻辑推理的方法来论证数论命题。两个计数的基本原理乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有mi种方法，做第二步有m2种方n法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这这件事共有mixm2X・・・xmn=|]mi种方法。应i4用乘法原理的关键是将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程。加法原理：如果所要计数的对象有n类，第一类有mi种，第二类有m2种，…，第n类n有mn种，那么这些对象总计有mi+m2+・・・+mn=^mi种。应用加法原理的关键是将所有计i经数对象，依据同一标准，分为不重、不漏的若干类。整数的进位制表示正整数的十进制表示法：anan」..aao，(an,an-i,…,ai,ao都是0到9的整数，且an^0)是和式an10n+an-i10n-1+…+a2102+ai10+ao的简单记法。这种以10的方幕的降幕形式表示整数的方法又叫科学计数法。以二进制表示为an2n+an-12n-1+…+a222+a12+a。，简记为(anan-1…a1a0)2，其中an,an-1,…,a1,a0取0或1，且an^0。整除：对于两个整数a,b(b^0)，若存在一个整数q，使得a=bq，则称b整除a,或a被b整除，记作b|a,且称a是的b倍数，b是的a约数(因数)。若不能整除，则记作ba。整除性质⑴如果b|a,那么b|(-a)，-b|a,(-b)|(-a)，|b|||a|0(2)如果c|b,b|a,那么c|a。(传递性)⑶如果c|a,c|b,m、n是整数，那么c|ma+nb。n特别地，当m=1,n=±1时，c|a±b;一般地，若b|a,Xi€Z(i=1,2,…,n),则b|'aixi。i=1⑷如果b|a,c为整数（0除外），那么b|ac,bc|ac；反之，若bc|ac,则b|a。⑸如果c|a,clb,那么ca+b。⑹如果|a|v|b|,且|b|||a|,那么a=0。⑺如果b|a,d|c，那么bd|ac。⑻如果a=b+c,d|b,d|c，那么d|a。⑼如果a|b,b|a，那么|a|=|b|。⑽如果b|a,c|a,且（b,c）=1，那么bc|a。（11）如果bc|a,那么b|a,c|a（12）如果b|ac，且（b,c）=1，那么b|a。（13）n个连续整数中有且仅有一个能被n整除；n个连续整数之积一定能被n整除。⑭）n个连续自然数的乘积一定能被n!整除。（15）若f（x）=anxn+an-ixn-1+…+aix+ao是整系数多项式且d|b-c,则d|f（b）-f（c）。整除的规则个位上是偶数，就能被2整除。各位数字之和能被3（或9）整除，就能被3（或9）整除。末两位能被4（或25）整除，就能被4（或25）整除。个位上是0或5,就能被5整除。末三位与其前的差能被7（或11,13）整除，就能被7（或11,13）整除。末三位能被8（或125）整除，就能被8（或125）整除。把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，就能被11整除。末四位与前面的数的差能被73（或137）整除，则这个数能被73（或137）整除。末4位与前面的数的和能被101整除，则这个数能被101整除；末2位与前面的数的差能被101整除，则这个数能被101整除。末五位与前面的数的差能被9091整除，则这个数能被9091整除。当k为正整数时，则a-b|ak-bk,a+b|a2k-1+b2k-1质数•合数。正整数依据其正约数的个数分为三类：只有一个正约数的，单位数1;只有两个正约数的(1和它自身)，叫质数(又称素数)；有两个以上正约数的，叫合数。2是最小的质数，也是唯一的偶素数。相差为2的两个素数叫孪生素数，截至20XX年底，人们发现的最大的孪生素数是：(33218925X2169690-1，33218925X2169690+1)。素数有无穷多(欧几里得证明在他的几何学原本中)：假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为P1，P2，…，Pn。取X=P1P2…Pn+1，则它被p1，P2，…，Pn中的任何一个素数整除都会余1。由假设X是合数，它必有一个素约数p,显然P不同于P1，P2，…，Pn，这与假设P1，P2，…，Pn为全部素数矛盾。素数可用爱拉托斯散筛选法进行判定：若自然数N不能被不大于.N的所有素数整除，则N是一个素数。(可用孙子定理证明)费尔马猜想Fn=221(n€N)是素数，他验算了n=0〜4。但欧拉证明：F5=641X6700417是合数。以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数；现在数学家们取得Fn的最大值为n=1495，其位数多达1010584位，但它不是质数。梅森猜想Mp=2P-1(P是质数)是素数，他验算了p=2、3、5、7、17、19。欧拉证明M31是质数。但M11=2047=23X89不是素数。美国数学家科勒证明，M67=193707721X761838257287是合数，这是第九个梅森数。第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：232582657-1。质数的规律：10之内的质数是2，3，5，7;其余质数的个位为1，3，7，9。质数不能被个位数是9的自然数整除；个位数是9的质数不能完全开方和不能被个位数是7的自然数整除；个位数是7的质数不能被个位数是7的自然数整除；个位数是3的质数不能被个位数是3的自然数整除；个位数是1的质数不能完全开方和不能被个位数是3的自然数整除。梅森合数的进展1p=4r+3，如果8叶7也是素数，贝(8叶7)|(2P-1)，即2p+1|2P-1；如：11=4X2+3，23|(211-1)；23=4X5+3，47|(223-1)；83=4X20+3，167|(283-1)2p=2nX32+1，则6p+1|2P-1；如：37=2X3+1，223|2-1；73=2X3+1，439|(2-1)；577=2X3+1，3463|(2-1)3p=2nX3m>5-1，则8p+1|2P-1;29221794239如：29=2X3X5-1,233|229-1；179=2X32X5-1,1433|2-1;239=2X3X5-1,1913|2-1威尔森定理(Wilson)：p是一个素数，当且仅当(p-1)!=-1(modp)。拉格朗日定理：如果n是素数，那么(n-1)!+1一定是n的倍数。奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充分必要条件是：p=1(mod4)。四平方定理(Lagrange):每一个正整数都能表示成4个整数的平方和。设n=q2p,n>0,且p没有平方因数，则n能表示成两个整数的平方和的充分必要条件是：p没有形如4m+3的质因数(即只有因数2或4m+1型质因数)。算术基本定理：任何合数N，都可以唯一分解成若干个质数的乘积，N二p1a1p：2...p：n,其中P1<P2<-<Pn是质数，诸方幕ai是正整数。又叫唯一分解定理.。这样的分解称为正整数N的素因数标准分解式，由乘法原理可得：(1)它的正因数个数为:(1+a“(1+a2)…(1+an)。当且仅当N为(完全)平方数时，正约数个数为奇数。奇数的平方都可以表示为8k+1,奇数平方的十位数字是偶数；偶数的平方(为4的倍数)都可表示为8k或8k+4;即任何平方数被4除的余数只能是0或1;四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。“4”比其真因子（1、2）之和要大，这样的数叫做亏数；“12”比其真因子（1、2、3、4、6）之和要小，这样的数就叫做盈数。最大公约数•最小公倍数设正整数a，b的素因数分解式为p<1p22...pmm，b=p「P2「.pmm。其中Pi<P2<…<Pm为素数，a，B为自然数（i=1，2，…，m），并记ti=min（a，0），s=max（a，B），贝U：最大公约数（a，b）=p^p；2…p；m，最小公倍数[a，b]=p/pj…pmm。例：a=1008=24x32X5°X71，b=270=21X33X51X7，则12004311（a，b）=21X32X50X70=18，[a，b]=24X33X51X71=15120=ab/（a，b）。求最大公约数可用辗转相除法（又名欧几里德算法Euclid）。其原理为：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数差的最大公约数，这样较大的数缩小了，继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零，这时所剩下另一个数就是两数的最大公约数。如：（252，105）=（147，105）=（105，42）=（63，42）=（21，0）=21。最大公约数与最小公倍数的性质：1如果b|a，则（a,b）=b，[a,b]=a;2对任意正整数m，有（am,bm）=m（a,b），[am,bm]=m[a,b];3（a,b,c）=（（a,b）,c）;4ab=（a,b）[a,b]；特别地，若（a,b）=1，则[a,b]=ab;5设（a,b）=d，则（f,d）=1；6若a=bq+r（a>b,0<rvb），则有（a,b）=（b,r）;这样可将求（a,b）转化为求（b,r），就更简便，重复这一性质直到r=0，则此时的b即为所求，这就是辗转相除法。2701987232310088101981114454541854018若（ai,a2）=1则称ai,a2互素（既约）；若（ai,a2,...,ak）=1则称ai,a2,...,ak互素（此时不一定两两互素）。互素有如下性质：1若（a,b）=1，则（a,a±b）=1,（a±b,b）=1,（a±b,ab）=1;2若（a,b）=1，a|c,b|c，则ab|c；3若（a,b）=1，则（ac,b）=（c,b）；推论：若（a,b）=1，b|ac，贝Ub|c；4若（a,b）=1,c|a,则（c,b）=1。奇数•偶数奇偶分析时可将偶数记作0,奇数记作1。贝U0+0=0,1+仁0,0+1=1；0X0=0,0x仁0,1X1=1。奇数和偶数有如下性质：将奇数加到整数上则改变原整数的奇偶性，而将偶数加到整数上不改变原数的奇偶性；任意多个偶数的和（差）、积仍为偶数；奇数个奇数的和（差）仍是奇数，偶数个奇数的和（差）为偶数，任意多个奇数的积为奇数；奇数与偶数的和（差）为奇数，积为偶数。在加法中，仅当奇数的个数为奇时和才为奇；在乘法中，仅当全为奇数时积才为奇。任何一个正整数n,都可以写成n=2mt，其中m为自然数，t为奇数。带余除法（定理）•剩余类对任意两个整数m、n（n>0），都有唯一的整数q、r使得m=nq+r（0<r<n）成立；其中q=[m]叫商，r叫余数。即一个整数被n除时，余数只能为0,1,2，…，（n-1）这n个数中的一个，它们彼此对模n不同余，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。由此，把全体整数按对模n的余数进行分类，余数为r（0<r岳1）的所有整数归为一类，记作Kr={nk+r|k€Z},r=0,1,2,…,n-1,Kr称为模n的一个剩余类（或同余类）。如取n=2便得到偶数（2k）、奇数（2k+1）两大类。剩余类的性质1每一个整数必包含而且仅包含在上述一个集合里；2两个整数同在一个集合的充分必要条件是它们对模n同余。完全剩余系（完系）：从模n的每个剩余类Kr中各取一个数ar,得到一个由n个数组成的数组｛ao,ai,…,a-i｝，叫做模n的一个完全剩余系，其中｛0,1,…,(-1)｝叫非负最小完全剩余系。n个整数｛ai,a2,…,a｝是模n的一个完系的充分必要条件是：当i工时，a壬aj(modn)。设(a,n)=1,b€Z,若｛xi,x2,…丙｝是模n的一个完系，则｛axi+b,ax2+b,…,axn+b｝也是模n的一个完系。简化剩余系(简系，缩系)：如果一个模n的剩余类Kr中任一数与n互质(只要r与n互质即可)，则称Kr是与模n互质的剩余类；在与模n互质的每个剩余类中各取一个数所组成的数组，称为模n的一个简化剩余系。在模n的一个完系中，取出所有与n互质的n互素的数的个数记作©(n，P时，©P)=P—1(xi,n)=1且xi,xj对模n不同余数组成的数组就是一个模n的简系。在非负最小完系中与称为欧拉函数，其值为简系中数的个数。显然当模为奇素数©(n个整数｛xi,x2,…,x©(n)｝是模n的一个简系的充要条件是(i勺i,j=1,2，…,©(n)。设(a,n)=1,若｛X1,X2，…,x©(n｝是模n的简系,则｛ax1,ax2,…,ax©(口｝也是模n的简系。设n的标准分解式为n二p1a1p；2...pa，则欧拉函数©(n=n(1-十)(1-佥)...(1-十)推论：若(m1，m2)=1，贝U©(mm2)=©(m)©(m);当n为奇数时，©(2n)=©(n)二次剩余一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x2除以p得到的余数。若(a,m)=1，m|(x2—a)即x2=a(modm)有解，则a叫模m的二次剩余(或平方剩余);否则，a叫模m的二次非剩余(或平方非剩余)。欧拉判别条件：设p是奇素数，(a，p)=1，则a是模p的二次剩余的充分必要条件为a(p-1)/2三(modp)；a是模p的二次非剩余的充分必要条件为a(p-1)/2三1(modp)。对任意整数a,欧拉判别式用勒让德符号记为(勺二a(p')/2(modp)。在模p的简系｛1,2,…,p-1｝中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p-1)/2，平方剩余与且仅与序列12，22,…，(罟)2中的一个数同余。当a是模p的二次剩余时，同余式2x=a(modp)恰有两解。勒让德Legendre符号（詈）定义：设p是奇素数，如果a是p的平方剩余则记（-^）=1,1若a是模p的平方剩余如果a是p的平方非剩余则记（疳）=-1,即（別1,若a是模p的平方非剩余。0,右p|a推广为雅克比（Jacobi）符号冷）：设m=pip2…pr是奇素数pi的乘积（m为奇数），对任意整数a,定义冷）二倚）（却…（詔o注意（詁=1时，不能判断a是否为模m的平方剩余。勒让德符号的性质（设p是奇素数）：21G）J,闫=（-1）3）/2;（庆（-1）（p）/8;」2（普）=（鲁），进一步，若a三b（modp），则（冷）=筛）;223（爭）=（：）毎），进一步，若（a,p）=1,则（令）=1;若（a,p）工1，则冷）=0;4高斯二次互反律：设p和q为不同的奇素数，则的乍）十1）（5」）/4或尙十1）（5」）飞）o二次互反律的一个特殊情形：2永远是8n±1型质数的平方剩余，永远是8n±3型质数的非平方剩余。定理：若n=pq,p、q为素因子，则整数a为模n的二次剩余，当且仅当（冷）=（峙）二1。二次同余一般式ax2+bx+c=0（modm），其中m是正整数，a_-0（modm）等价于22同余式y=d（modm），其中y=2ax+b,d=b-4ac。若m1,m2,…,m（是k个两两互质的正整数，m=m1m2…mk，则二次同余方程x2-A=0（modm）与同余方程组x2-A=0（modmi）,i=1,2,…,k同解。同余：若两个整数a,b被正整数m除有相同的余数，那么称a与b对模m同余，记为a三b（modm）。否则，就说a与b对模m不同余，记为ab（modm）。显然，有a=b（modm）=a=km+b（k€Z）二m|（a-b）（三种定义等价）两数的和（差、积）除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和（差、积）性质(同余是一种等价关系)：1反身性：a=a(modm)；2对称性：若a=bmodm)，贝Ub=a(modm)；3传递性：若a=b(modm)b=c(modm)贝Ua=c(modm)；4可加性：若ai=b(modm),a2=b2(modm)，贝Uai±a2=bi±b2(modm)；特别地，若a=bmodm)，贝Ua±k=b±k(modm)；5可乘性：若ai=b(modm)，a2=b2(modm)，贝Uaia2=bib2(modm);特别地，若a=b(modm)，贝Uan=n(modm)，an=b(modm)；6除法：若ac=bc(modm)c^0,则当(c，m)=i时a=b(modm)当(c，m)=d时a=b(modmd);特别地，ac=bc(modna)若a=b(modm)n|m，贝Ua=b(modn)若a=b(modm)，i=i，2，…，n，且M=[ma(b+c)Fb+ac(modm)。n=b(modm)m2，…，mn]，贝Ua=b(modM)；nnbi(modm)；l丨ai三[]bi(modm)；i吕i4nn-ianx+an-ixn-i+•••+aix+ao=bnx+bn-ix+・・・+bix+bo(modm)。i0若ai=bi(modm)，i=0,i,2,…,n，贝U'ai同余式具有一些类似等式的性质，用同余处理问题的关键在于合理选择模数。设f(x)=anxn+an-ixn-i+…+aix+ao是关于x的整系数多项式，m是正整数，则f(x)老(modm)称为模m的同余方程，若a^"0(modm)称n为该同余方程的次数。若a是使f(a)司(modm)成立的整数，则称xF(modm)为同余方程的一个解。欧拉定理：设n>i，若(a,n)=i，贝Ua"(n)=i(modn)。证明：设rig…,r"(n是模n的一组缩系，则ari,ar2,…,ar©(n也是模n的一组缩系，故(ari)(ar2)…(ar"(n)=rir2…打们)(modn)，即a"(n)(rir2…r"(n)=rir2…r"(n)(modn)。①因(ri，n)=i(i=i,2,…,"(n)，故(rit…r©们)，n)=i。②由①，②式利用同余性质⑹可得a"(n)=i(modn)。推论：对于互质的数a、n，满足a"(n)+i=a(modn)。费马小定理：若p为素数，则ap=a(modp)或ap-1=1(modp)。证：若(a,p)=1，贝U©p)=p-1，由欧拉定理可证；若(a,p)工,1则p|a,从而ap=a(modp)。孙子定理(中国剩余定理)：设mi,m2,…,mk是k个两两互素的正整数，m=mim2…mk,m=miMi(i=1,2,…,k)对每一个Mi,求Mi，使MiMi=1(modmi)。则同余方程组：x=b1(modm1)，x=b2(modm2)，...，x=bk(modmk)必有唯一解x=M1M1B+M‘2M2b2+…+M'kMkbk(modm))中国剩余定理的一个基本功效，能将“找连续n个正整数具有某种性质”的问题转化为“找r个两两互素的数具有某种性质”。裴蜀定理：若a,b是整数，且(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y，ax+by都一定是d的倍数；特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。推论：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1。裴蜀定理推广设自耳,…,an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数X1,X2,…,xn使得X1*a1+X2*a2+…+xn*an=d。特别地，如果a1,a2,…,an互质(不是两两互质)，那么存在整数X1,X2,•…,Xn使得X1*a1+X2*a2+•…+xn*an=1。即：对任意两整数a、b,设(a,b)=d，那么关于未知数X和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式)：ax+by=m有整数解(x,y)的充分必要条件是d|m;特别地，方程ax+by=1有整数解的充分必要条件是a和b互素。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。定理：若(a,b)=1，且(x°,yo)为二元一次方程ax+by=c之一解，则方程的全部解为x=xo+bt，y=yo-at(t€Z)。例：①(12,42)=6，则方程12x+42y=6有解。事实上有(-3)>12+1X42=6及4X12+(-1)M2=6。2证明对任意自然数n，(21n+4)/(14n+3)为既约分数。证明：3(14n+3)-2(21n+4)=1，由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)/(14n+3)为既约分数。35x+4y+3z可表示全部整数。因为3，4，5互质，所以5x+4y+3z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数裴蜀等式可用来定义最大公约数：d就是最小的可以写成ax+by形式的正整数。高斯函数[X]设x€R,不大于x的最大整数叫作x的整数部分，记作[x]。记{x}=x-[x]，称{x}为x的小数部分或尾数部分（非负纯小数OW{x}<1）。注意：当x<0时，|[x]|耳x|,为避免出现错误，可将负数记成负首数正尾数的形式，如-1.2=2.8，表示[-1.2]=-2,{-1.2}=0.8。高斯函数的性质（利用定义x=[x]+{x}即可证明）：⑴0<{x}<1，当且仅当{x}=0时，x为整数。⑵x-1<[x]W<[x]+1。⑶[n+x]<n+[x]；当n为整数时，[n+x]=n+[x]。埃米特恒等式：对任x>0，恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+…+[x+（n-1）/n]=[nx]。⑷[x]+[y]Wx+y]，{x}+{y}氓x+y};当x为，yX）时，[x][y]Wxy]。-[x]，xEZ，-[x]-1,x更Z;”=0,x"，J-{x},x老Z.⑹若n€N，则[畔]=[臥];当n=1时，[[x]]=[x]⑺若x乞y,则'xkly1；若[x]<[y]，则x<y。（不减函数）⑻若整数a,b适合a=bq+r（b>0,q,r是整数，0W<b），则[学]=q。⑼x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有[x/n]个。⑽在n!的质因数标准分解式中（p[n!）,质因数p的指数尸|『」|弓'|丄『+...-P」一一关于[x]的问题，通常只需要利用它的定义或等价的不等式[x]W<[x]+1。另一个有关的函数是\1,它表示不小于.实数x的最小整数，被称为天花板函数；高斯函数[x]也被记为Hx并称之为地板函数。它们之间恒有：x丄X二xI当x不是整数时xLX：【X;当x是整数时，三者合一格点平面直角坐标系中，纵、横坐标均为整数的点称为格点（latticepoint或整点）顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。性质1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。2、格点关于格点的对称点为格点。3、格点多边形面积公式（皮克公式）：设某格点多边形内部有格点a个，边上有格点b个，则该格点多边形面积为S=a+b/2-1。4、格点正多边形只能是正方形。5、格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，贝U该点为此三角形的重心。6、设f（x）在闭区间［a,b］上连续且非负，则区域a<x弐，0<y务（x）内的格点数T=v［f（t）］，其中t表示（a,b］中的整数。a4：ib［r］,2227、圆内格点：区域x+y孕（r是正实数）内的格点数A（r）=1+4［r］+,［；r2-s2］，当半径r充分大时A（r）接近于nr。8、区域x>0，y>0，xyq（n>0）内的格点数T=2'住］一［•.n］2。0::x：：：n9、若（p，q）=1，则'时x］'［吟y］二耳字。0::x::q/20:y--p/210、闵可夫斯基定理：如果凸图形K关于原点对称，且K的面积大于4,则K的内部除原点（0，0）外，一定还有其它个格点。最小数原理（极端原理）⑴设M是自然数集的一个非空子集，则M中必有最小数。⑵设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数，必有最大数。⑶良序公理：任意非负整数集合都有一个最小的元素。任何非空的自然数集必有最小的数即最小数原理，等价于数学归纳法。它是一个存在性定理，因而与大量存在性问题有着密切的关系无穷递降法费马无穷递降法基于最小数原理，是数学归纳法的另一种形式(走相反的方向)一般有两种形式：①由一组解出发通过构造得出另一组解，使得两组解之间有某种特定的关系，而且这种构造可以无限重复，从而得到矛盾；②假设方程有正整数解并从中选出一组最小解，设法构造出方程的另一组解，比选出的最小解还要小，从而导出矛盾。22例1证明方程x+y-19xy-19=0无整数解。证明：假设(x,y)是原方程的一组整数解，显然x，丫都不等于0。而19(xy+1)=x2+y2>0，因此xy>-1，有xy为，即x,y一定同号。不妨设x,y均为正整数，由于对称性假定x司，将原方程看成x的一元二次方程x2-(19y)x+(y2-19)=0①y2-19x若x是①的解，则由韦达定理知x'=19y-x是①的另外一个解。在x,y均为整数时x也是整数，所以(x:y)也是原方程的整数解。由上面的讨论可知x与y同号，即x'也是正整数。根据韦达定理得x=所以，由原方程的一组解(x,y)可导出它的另一组正整数解(x：y)，且0Wx'<x如此下去，原方程将有无穷组正整数解。另一方面，x为一个给定的正整数，比它小的正整数只能有有限个，矛盾。故原方程没有正整数解，从而也没有整数解。例2:对于任意正整数N,证明：、234....(N-1).、.N：：：3直接证明这个命题有一定难度，有时候推广后的命题更容易证明。来证明其推广：对于任意整数N才n》1都有.m.(m1)…iN::m1①证明：m=N时，不等式相当于:：N1，显然成立；假设不等式不成立，使得①式不成立的最大正整数为K，KKWN1，则.Ky(K1)..^.N-K1。两边平方，可得K、(K1).(K2)..「N-K(K2)1，因此,(K1).(K2)…N-(K2)，即①式对于更大的K+1也不成立，矛盾。所以①式对于所有整数N沏》都成立。取m=2即得不定方程：是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数)的方程或方程组，也称丢番图方程。(1)一次不定方程1.二元一次不定方程即裴蜀等式，ax+by=c(ab工与一次同余式ax=c(modb)等价。2.a^iV2X2•a.Xn=c,(ai,a2,...,an,c.N)有解的充要条件是(a-a?,...,a.)|c.可先顺次求出(印耳)加2,©月3)M3，…,©丄®)"..若dnC，则方程无解；若d“|C，则方程有解，作方程组:aiXiV2X2=d2t2d2t2'43X3=d3t3«……求出最后一个方程的一切解，然后把tn」的每一个值代入倒数第dn_2+an」Xn丄=dn」tn」dnltnjanXn二C个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。3.m个n元一次不定方程组成的方程组，其中m：：：n,可以消去m-1个未知数，从而消去了m-1个不定方程，将方程组转化为一个n-m•1元的一次不定方程。(2)高次不定方程1•因式分解法：其理论基础是整数的唯一分解定理，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2.同余法：如果不定方程F(Xi,...,Xn^=0有整数解，则对于任意m^N，其整数解区…人)满足F(XI,...,XJ三O(modm)，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4.无限递降法：若关于正整数n的命题P(n)对某些正整数成立，设n。是使P(n)成立的最小正整数，可以推出：存在n1•N•，使得ni：：：n。成立，适合证明不定方程无正整数解。(3)特殊的不定方程1.ax•by=cxy(abc=0)利用分解法：转化为(x-a)(cy-t)=ab，若ab可分解为a^aabnaQ=...=ajbjeZ，则解的一般形式为《x=.，再取舍得其整数解;bj+by-c知x,y,z两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。勾股数方程X寸=Z满足条件21y的一切解可表示为：x=a2_b2,y=2ab,z=a2b2，其中ab0,（a,b）=1且a,b为一奇一偶。3.x2-dy2二1,_4（x,y・Z,d・N■且不是平方数）称为沛尔（Pell）方程