2018年中考选择填空压轴题专题8：几何变换问题

专题08几何变换问题例1.如图，斜边长12cm,ZA=30。的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至AA'B'C的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为．（结果保留根号）同类题型1.1把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（）A.是一个确定的值B.有两个不同的值C•有三个不同的值D.有三个以上不同的值同类题型1.2已知：如图AABC的顶点坐标分别为A（-4，-3），B（0，-3），C（-2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B点，若设AABC的面积为S，AABC的面积为S，则1112S，S的大小关系为（）12A.PS?A.PS?BS!=S2D.不能确定C/C//\1/卫y1011X£S例2.如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP',已知ZAP'B=150°,P'A：P'C=2：3,则PB：P'A是（）A."72:1B.2：1C.V5:2同类题型2.1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作AABD,使ZADB=120°，再以点C为旋转中心把ACBD旋转到ACAE,则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分ZBDA；③ZE=ZBAC；④DC=DB+DA，其中正确的有（）B.2个B.2个C.3个D.4个同类题型2.2如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN丄DM,CN与AB交于点N,连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB^^DMC；②CON竺ZOM；③△。伽心OAD；④AN25=MN；⑤若AB=2，贝屹仙何的最小值是2，其中正确结论的个数是（）A.2B.A.2B.3C.4D.5同类题型2.3在平面直角坐标系中，已知点A(3,0),B(0,4),将ABOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M直线CD的解析式为同类题型2.4如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF,若ZCEF=a，ZCFE=^，贝tana•tan〃=同类题型2.5如图，在RtAABC中，ZACB=90。，将AABC绕顶点C逆时针旋转得到厶4‘B'C,M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM,若BC=2,ZBAC=30。，则线段PM的最大值是.同类题型2.6如图1,一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H,如图2,将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋例3•如图，折叠菱形纸片例3•如图，折叠菱形纸片ABCD,使得AD的对应边AB过点C，EF为折痕，若ZB=60°,当££丄BEAB时，ae的值等于(B．\'3-16C^1B．\'3-16C^1±1C．83-1D.A•窘同类题型3.1如图，正方形ABCD中，AD=4,点E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF丄ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将AEFC沿EF翻折，得到连接DM,交EF于点N若点F是AB边的中点，则AEMN的周长是DCADCAP3同类题型3.2如图，ZMON=40°，点P是ZMON内的定点，点A、B分别在OM,ON上移动，当ARAB周长最小时，则ZAPB的度数为(A.20°BA.20°B.40°C.100°D.140°同类题型3.3如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上,得到AHAE,再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ.连接AF、EF，已知HE=HF,下列结论:①AMEH为等边三角形；AE丄EF；3APHEsAHAE；④ad=2-^3，其中正确的结论是（）A.①②③A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④同类题型3.4AABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点，将AABD沿AD翻折得到△AED.连CE,则线段CE的长等于.专题08几何变换问题例1.如图，斜边长12cm,ZA=30。的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至AA‘B‘C的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为（结果保留根号）解：如图：连接B‘解：如图：连接B‘B〃，•・•在RtAABC中，AB=12,ZA=30°,••・BC=2AB=6,AC=6V3,:.B1C=6,•AB'=AC-B'C=6、&-6,VBZC〃B〃C〃，B'C=B〃C〃，・•・四边形B〃C〃CB'是矩形，.•・B〃B'//BC,B〃B'=C〃C,.•.△AB〃B's^abc,AB'B〃B'•…AC=BC,日仃^.；3-6B"B'即:花厂=,解得：B"B'=6—2朽.•C"C=B"B'=6—2亦.同类题型1.1把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形,那么x＋y（）A.是一个确定的值B.有两个不同的值C•有三个不同的值D.有三个以上不同的值解：（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x=2,y=3,x＋y=5；（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x=2,y=3,x+y=5；②长边重合，此时x=2,y=5,x+y=7.

综上可得：x+y=5或7.选B．同类题型1.2已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,—3),C(—2,1),如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B点，若设△ABC的面积为S,△ABC的面积为S，则1112S，S的大小关系为()111212121212C/\1卫y1011X\A.S>SB.S121212C/\1卫y1011X\解:aabc的面积为丁2x4x4=8，将B点平移后得到B点的坐标是(2,1),所以AABC的面积为S=2X4X4=8,122所以S=S.12选B.同类题型1.3同类题型1.4例2.如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP',已知ZAP'B=150°,P'A：P'C=2：3,则PB：P'A是()A.迈:1B.2：1C.V5:2D.;3:1解：如图，连接AP,TBP绕点B顺时针旋转60°到BP',.•・BP=BP',ZABP+ZABP'=60°,又•••△ABC是等边三角形，.•・AB=BC,ZCBP'+ZABP'=60°,:.ZABP=ZCBP',在△ABP和厶CBP'中，c.BP=BP'•\ZABP=ZCBP!,、AB=BC:.△ABP◎△CBP'CSAS),:.AP=P'C,•:P‘A：P'C=2：3,3.•・AP=2P'A,连接PP',则厶PBP'是等边三角形，:./BP'P=60°,PP'=PB,•:ZAP'B=150°,:.ZAP'P=150°-60°=90°,•••△APP'是直角三角形，3设P'A=x,贝0AP=2x,根据勾股定理，PP'='AP2-P'A2='j*—x2=#x,则PB=¥x,PB：P'A=2x：x=\"5:2.选C．

同类题型2.1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作AABD,使ZADB=120°，再以点C为旋转中心把ACBD旋转到ACAE,则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分ZBDA；③ZE=ZBAC；④DC=DB+DA，其中正确的有(B．2个CB．2个C．3个D．4个解：①设Z1=x度，则Z2=(60-x)度，ZDBC=(x+60)度，故Z4=(x+60)度,.°.Z2+Z3+Z4=60—x+60+x+60=180度,②•••△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到AACE,ACD=CE，ZDCE=60°，.•.△CDE为等边三角形,AZE=60°,AZBDC=ZE=60°,AZCDA=120°—60°=60°,ADC平分ZBDA；③VZBAC=60°,ZE=60°，AZE=ZBAC．④由旋转可知AE=BD,

又VZDAE=180°,.•・DE=AE+AD.•••△CDE为等边三角形，.•・DC=DB+BA.同类题型2.2如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B,C重合），CN丄DM,CN与AB交于点N,连接OM，ON,MN.下列五个结论：①△CNB^^DMC；②△CON9ADOM:③厶OMNs^OAD；④AN2+CM2=MN；⑤若AB=2,贝屹的最小值是1，其△OMN2中正确结论的个数是（）A.2A.2B.3C.4D.5解：••正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90°,AZBCN+ZDCN=90°,又•CN丄DM,AZCDM+ZDCN=90°,AZBCN=ZCDM,又VZCBN=ZDCM=90°,:.△CNB^^DMC(ASA),故①正确;根据△CNB^ADMC，可得CM=BN,又VZOCM=ZOBN=45°,OC=OB,:.△0CM340BN(SAS),,\OM=ON,ZCOM=ZBON,；./DOC+/COM=/COB+/BPN，即ZDOM=ZCON,又•：DO=CO,:.△CON^KDOM(SAS),故②正确；•：/BON+/BOM=/COM+ZBOM=90°,.•・ZMON=9O°，即KMON是等腰直角三角形，又•••△AOD是等腰直角三角形，.•.△OMNsKOAD,故③正确；•AB=BC,CM=BN，:.BM=AN,又•RtKBMN中，BM2+BN2=MN2,:.AN2+CM2=MN2，故④正确;•△OCM^KOBN,・•・四边形BMON的面积=ABOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,・•.当AMNB的面积最大时，AMNO的面积最小，设BN=x=CM，贝BM=2-x,•△MNB的面积•△MNB的面积=*x(2-x)1=-2x2＋x，・•.当x=1时，AMNB的面积有最大值1,此时S^OMN的最小值是1-2=2，故⑤正确;综上所述，正确结论的个数是5个，选D．同类题型2.3在平面直角坐标系中，已知点A(3,0),B(0,4),将ABOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M直线CD的解析式为解：解：•••△BOA绕点A按顺时针方向旋转得ACDA,:.△BOA^^:.△BOA^^CDA,.°.AB=AC,OA=AD,•B、D、C共线，AD丄BC,.BD=CD=OB,•OA=AD,BO=CD=BD,.OD丄AB,设直线AB解析式为y=kx＋b,把A与B把A与B坐标代入得：3k+b=Ob=4解得：k=-3,、b=444・•直线ab解析式为y=—3x+4,3・•・直线OD解析式为3・•・直线OD解析式为y=4x,<联立得：3ly=4x48解得：<x=48解得：<x=2536，5=25483625，25)，'：M为线段OD的中点,D(9672D(25，25设直线CD解析式为y=mx＋n[26,=72把B与D坐标代入得：125m^n25,、n=4解得：m=解得：m=z24，n=47则直线cd解析式为y=—24x+4.同类题型2.4如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE,CF,若ZCEF=a,ZCFE=^,贝tana•tan〃=交BG于交BG于M,交EF于N,由旋转变换的性质可知，ZABG=ZCBE,BA=BG=5,BC=BE=3,由勾股定理得，CG=ljBG2+DG2=4,:.DG=DC~CG=1,+dg2=\；T0,+dg2=\；T0,..BA=BG.BC=BE,ZABG=ZCBE,:.△ABGsMBE,.CE_BC_3:ag=ab=5，解得,一解得,一3^10CE七•.•ZMBC_ZCBG,ZBMC_ZBCG_90°,：△BCMsMGC,.CMBC叩CM3…cg_BG，即~T_512・12・cm_w:.MN_BE_3,：・CN_3—12_355：・CN_3—12_355：・EN__9_5:.FN_EF—EN_5—9_165_533nCNCN55丄t皿-t哪_en-FN_9辿_16-5T同类题型2.5如图，在Rt^ABC中，ZACB_90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到AA'B'C,M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM,若BC_2,ZBAC_30。，则线段PM的最大值是解：如图连接PC．在Rt^ABC中，TZA=30°,BC=2,.°.AB=4,根据旋转不变性可知，A'B'=AB=4,.•・A‘P=PB',.PC^2A'B'=2,•：CM=BM=1,又•.•PMWPC+CM，即PMW3,.PM的最大值为3(此时P、C、M共线).同类题型2.6如图1,一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H,如图2,将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是，点H运动的路径长是.EB(E)GBCHDA图1EB(E)GBCHDA图1解：如图1中，作HM丄BC于M,设HM=a,则CM=HM=a.

在Rt^BHM中，BH=2HM=2a,BM=fa,•:BM+FM=BC,:，'’3a+a=12,••a=6讨3—6,:BH=2a=12\'3—12.如图2中，当DG丄AB时，易证GH丄DF,此时BH的值最小，易知BH=BK+KH=3、冃+3,1111@2A:HH=BH—BH=9V3—15,11当旋转角为60°时，F与H重合，此时BH的值最大，易知最大值BH=6书,22观察图象可知，在ZCGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH]+HH2=18“加一30+[6羽一(12V3—12)]=12^3—18.例3•如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边AB过点C，EF为折痕，若ZB=60°,当££丄BEAB时，AE的值等于(

B．\'3-16C^3±1B．\'3-16C^3±1．83-1D.解：如图所示，延长AB，DA交于点G，VAE丄AB,ZEAC=ZA=120°,11.•・ZG=120°—90°=30°,又VZABC=60°,?.ZBCG=60°-30°=30°,?.ZG=ZBCG=30°,：・BC=BG=BA,设BE=1,AE=x=AE,则AB=1+x=BC=BG,AG=2x,11GE=1+x+1=x+2.VRtAAGE中，AE2+GE^=AG2,111.x2＋（x＋2）2=（2x）2,解得x=1+、；5,（负值已舍去）.•.ae=1+V3,.be=1V3-1••AE=1^,'3=2,选D．同类题型3.1如图，正方形ABCD中，AD=4,点E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF丄ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将AEFC沿EF翻折，得到连接DM,交EF于点N若点F是AB边的中点，则AEMN的周长是.DCAPB解：解法一：如图1,过E作PQ丄DC,交DC于P,交AB于Q,连接BE,•.•DC〃AB,:.PQ丄AB,•・•四边形ABCD是正方形,:.ZACD=45°,:△PEC是等腰直角三角形，：・PE=PC,设PC=x,贝yPE=x,PD=4-x,EQ=4-x,:・PD=EQ,VZDPE=ZEQF=90°,ZPED=ZEFQ,:△DPE^HEQF,：・DE=EF,•DE丄EF,.△DEF是等腰直角三角形,易证明△DEC竺MEC,:.DE=BE,:.EF=BE,TEQ丄FB,:.fq=bq=2BF,•••AB=4,F是AB的中点,：・BF=2,•：FQ=BQ=PE=1,：・CE=V2,PD=4—1=3,Rt^DAF中，DF=42+22=^'5,DE=EF=V1B,如图2,TDC〃AB,DC卫FB图2:、△DGCs'FGA,.cg_dc_DG_4：AG=AF=FG=2：.CG=2AG,DG=2FG,:.FG_|x^，5_235•AC=\i，42+42_^''2,：.CG_|x^'，2_832,8y[2・EG十

连接GM、GN,交EF于H,•：/GFE=45°,:.△GHF是等腰直角三角形,GH=FH=EH=EF-FH=\'10—\'T03由折叠得：GM丄EF,MH=GH=\iT03.•・/EHM=/DEF=90°,:.DE//HM,:.△DENs^MNH,.DE=EN：MH=NH,10—EN_3：並nh=3,3:EN=3NH，•:EN•:EN+NH——EH=2<1034T0•EN七NH=NH=EH—EN=2^/10—fT0=[T03—2=6Rt^GNH中，GN=pGH2+NH2=、[(^^★(谱尸二乎由折叠得：MN=GN,EM=EG,:△EMN的周长=EN+MN+EM=¥+耳^+晋二衣2严0；解法二：如图3,过G作GK丄AD于K,作GR丄AB于R,@4@4DCDC图3VAC平分/DAB,:・GK=GR,KGAD4，，SAAGFGRAF2=2,KGAD4，，SAAGFGRAF2=2,S△ADG・S△AGF2DG•h1GF•h=2,.DG…GF同理,—=DF=DNS=FM=MN△MNF同理,其它解法同解法可得：.•.△EMN的周长=EN+MN+EM=¥^6-+叩=^2+-J0；解法三：如图4,过E作EPIAP,EQ丄AD,DCDC・AC是对角线,.EP=EQ,易证ADQE和AFPE全等,：・DE=EF,DQ=FP,且AP=EP,设EP=x,贝9DQ=4_x=FP=x_2,解得x=3,所以PF=1,.•・AE=\；‘32+32=3V2,•.•DC〃AB,:、\DGCs\FGA,・•・同解法一得：CG=fx^112=832,：・EG=^—：/2=年,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1W2AG=3AC—3,过G作GH±AB,^M作MK±AB,^M作ML丄AD,则易证△GHF竺5FKM全等，.42：・GH=FK=3,HF—MK—3,TML-AK-AF+FK-2+扌=乎DL—AD—MK—4—2—-3°即DL—LM，：.ZLDM—45°：DM在正方形对角线DB上过N作NI丄AB贝NI—IB设NI—y•.•NI〃EP.NI—FI:ep—fp.y—2—y:3—1，解得y—1.5所以FI—2—y—0.5

・•・/为FP的中点,••・N是EF的中点,；・EN=0.5EF=\'102；・EN=0.5EF=\'102•/△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5,/.BN=^；2,BK=AB—AK=4—•△EMN的周长=EN+MN+EM=¥+畔+半=5辽『10.102T=3，BM=，MN=BN—BM=同类题型3.2如图，ZMON=40°，点P是ZMON内的定点，点A、B分别在OM,ON上移动，当ARAB周长最小时，则ZAPB的度数为（）C．100°D．C．100°D．140°A．20°B．40°解：如图所示：分另U作点P关于OM、ON的对称点P'、P〃，连接OP'、OP〃、P'P〃，P'P〃交OM、ON于点A、B，连接PA、PB,此时APAB周长的最小值等于P'P〃.如图所示：由轴对称性质可得，OP'=OP〃=OP,ZP'OA=ZPOA,ZP〃OB=ZPOB,所以ZP'OP〃=2ZMON=2X4O°=8O°,

所以ZOPZP〃=ZOP〃P'=(180°—80°)三2=50°,又因为ZBPO=ZOP〃