北京市西城区第14中学2022年数学高三上期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。5一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。5BC2

DBCBAD25425

，AD1，则AC（ ）525

2

6x2y10

D．2已知实数x、y满足不等式组2xy10，则z3xy的最大值为（ ）y0A．3 B．2 C．32f(x)ex1x2mnx2axa30且|mn1a的取值范围是（ ）A．[2,4]

B．2,7 3

C．7,3 D．[2,3] 3 已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是数列{an}的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D函数f(x)2cos2x(sinxcosx)22的一个单调递增区间是（ ）A．,

B．

3,

C． ,

D．

,4 4

8 8

8 8

8 86fx2sin0,0f

f0且在上是单调函数，则下列8 22 2说法正确的是（ ）A．1

B．

2 8 26 6 2C．函数fx在,上单调递减 D．函数fx的图像关于点

,0对称 2

4 设等比数列的前nS

，则“a0”是“S 0的（ ）nC．充分必要条件

n 1 2021必要不充分条件D等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，BD6，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为45时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ） 3

2

2

2 33一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表积为（ ）A．4 B．C．4 2π D．3SABCDABCDAD//BCBAD120ΔSAD是等边三角形，且SAAB2 3；若点PS-ABCD的外接球面上运动，记点PABCD的距离为d，若平面SAD平面ABCD ，则d的最大值为（ ）A．131C．151

B．132D．152某个命题与自然数n有关，且已证得假设nkN时该命题成立，则nk1时该命题也成立”．现已知当n7时，该命题不成立，那么（ ）n8时，该命题不成立Cn6

n8时，该命题成立Dn6时，该命题成立 若两个非零向量a、b满足abab0，且ab2ab，则a与b夹角的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．15 5 2

D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。设随机变量服从正态分布N(2,9)若P(c)P(c2)，则c的值是 ．如图，△ABC中是AB的中点在边AC上与BE交于点O，若OB＝2OC，则△ABC面积的最大值．15．数据1,3,5,7,9的标准差为 ．16．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的法共有 种．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）)y单位万元是每日产量x单位:吨)的函数:y

32x2x21

lnxx1.求当日产量为3吨时的边际成本

ymm16x若财团每日注入资金可按数列anln11亿元.

2n (单位亿元递减，连续注入60天，求证这60天的总投入资金大于4n2118（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐sin22acos(a0)

x2的直线l的参数方程为

2t2（为参数，直线l与曲y4 2t 2线C交于M、N两点。lC的直角坐标方程：若M|,|MN|,|PN|a的值。 2x2 219（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数以原点O为极点x轴正半轴为极y 2t 2C26(cossin14.C的直角坐标方程；lCA，BP2,0，求|PA|2

|PB|2的值.20（12分）已知数列

nSn

3n2

8n，n

是等差数列，且an

bb .n n1（Ⅰ）求数列n(a

的通项公式；1)n1 n（Ⅱ）令cnn

(b2)nn

.求数列cn

的前n项和T.n121．12分PABCDPA平面PCDABCD满足ABAPABBC，EAD的中点，ACBEO.HBEHPCD的体积是定值；PABCD的体积；BCPBD所成角的余弦值．

AD2，222（10分ABCAB

ACCA与侧面CBB

都是菱形，

ACCCCB

60，1 1 1

11 1

1 11AC2．（Ⅰ）求证：AB1

CC；1（Ⅱ）

6，求平面

A

所成的锐二面角的余弦值．1 1 1 1参考答案125601、D【解析】在ABD中，由正弦定理得sinB

10；进而得cosADCcos

B

5，在ADC中，由余弦定理可得10 4 5AC.5【详解】

AD BDABDsin

sin

，得sinB4

10BDADB为锐角，所以cosB10

31010 ，cosADCcosB 5，45 45 ADCAC2AD2DC22ADDCcosADC4，AC2.故选：D【点睛】2、A【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】

x2y102xy10画出不等式组y0

所表示平面区域，如图所示，z3xyy3xzy3xzA时，y3xzy轴上的截距最大，目标函数取得最大值，x2y10又由y 0

，解得A(1,0)，所以目标函数的最大值为z3(1)03，故选A．【点睛】三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．3、D【解析】易知f(x)单调递增,由f(1)0可得唯一零点m1,通过已知可求得0n2,则问题转化为使方程x2axa30在区间0,2上有解化简可得ax1【详解】

4 2,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.x1f(xex1x2单调递增且有惟一的零点为m1，所以|1n10n2，问题转化为：使方程x2axa30

0,2

上有解，即a

x23(x1)22(x1)4x1 4 2x1 x1 x1在区间0,2上有解，而根对勾函数可知函数yx1 4 2在区间0,2的值域为[2,3]，∴2a3.x1D．【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.4、C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，故选C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5、D【解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简fxfx.【详解】f(x)2cos

x(sinxcosx)221cos2x1sin2x2

2 sin 2x f(x2

2x

2k

（kZ，解得4 4 kxk（kZ，当k1时，D选项正确.C选项是递减区间，，B.8 8故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.6、B【解析】fx，在上是单调函数，确定01，然后一一验证，1

fx2sin1x

f

3

fsin1 A.若 ，则2

2 ，由

2 ，得

4，但

.B.由

8 2 8 4 2f

，f0，确定fx2sin2x2，再求解f22

验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调8

2

3 3

82 2性判断.D.

5是否为0.4 4 【详解】因为函数fx，在0,上是单调函数，T2

，所以01，若1fx2sin1x

1 f 0

0，解得，而 22 222 1 2

2222 42222f8sin

，故A错误. 2 8 4 2由f2sin

0

，得 2 2 2 22由fsin

，得

2k+

或

2k+38 8 2 8 4 8 42 2当8

2k+4

2k3

2，不合题意.当

2k+

2k

2fx2sin2x8 4 3 3 33 26 2sin 833 26 2sin 832 122 ，在0,3上是单调递增，故C错误 f82sin3832sin3

，故B正确. 因为x,,2x0,，函数fx .23 3 35

2 3f 42sin3432sin 23

0，故D错误. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.7、C【解析】根据等比数列的前n项和公式，判断出正确选项.【详解】由于数列a

n

a2021 1

1q2021 1q20211q ，由于1q

0，所以a0S1

2021

0，故

0”是

2010的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n8、A【解析】EBD中点，连接CE，过AAOCEO，连接DO，得到ADOADBCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAEACABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E为BD中点，连接AE、CE，AEBDCEBDBDAEC，AAOCEODOAOBDC，所以ADOADBCD所成角的平面角，22所以sinADO AO，可得 ，222 AD在△AOE中可得OE3，1

AO 3又OC

2BD3OCACBCD，过C作CFAE与点F，又BD平面AEC，所以BDCF，所以CF平面ABD，从而角CAEACABDsinCAEA.【点睛】

CEAE

3333 3 ，333该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.9、B【解析】根据正四棱锥底边边长为2，高为21.【详解】因为正四棱锥底边边长为2，高为2所以OB 2,SB2，OSB的距离为dSOOB1，SB同理O到SC,SD,SA所以O为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为4.故选：B【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.10、A【解析】SADABCDABCDBCE的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过F.【详解】依题意如图所示：取BC的中点E，则E是等腰梯形ABCD 外接圆的圆心，F的外心，作OEABCD,OFSAB则OSABCD的外接球球心，且OF3,SF2，SABCDRR2SF2OF213，而OE1，所以d

ROE 131，maxA.【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.11、C【解析】 写出命题假设nkkN* 时该命题成立，则nk1时该命题也成的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】 由逆否命题可知，命假设nkkN* 时该命题成立，则nk1时该命题也成的逆否命题“假设当nk1N时该命题不成立，则当nk时该命题也不成立”，n7时，该命题不成立，则当n6【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.12、A【解析】设平面向量a与b的夹角为abab2ab算律可求得cos的值，即为所求.【详解】设平面向量a与b的夹角为，ba2b2

a2b2

0，可得aab，ab2ab两边平方得a22abb2故选：A.

4a28ab4b2，化简得cos .5【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.452013、1【解析】由题得cc22，解不等式得解.2【详解】P(c)P(c2)cc22，2所以c=1.故答案为1【点睛】2本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14、82【解析】先根据点共线得到OCOD，从而得到O的轨迹为阿氏圆，结合三角形ABC和三角形BOD 的面积关系可.COCOCDCACB3CECB

2 2 2 2B，O，E共线，则

3 1，解得 ，从而O为CD中点，故OB 2OC 2OD.3 2 2 22在△BOD中，BD＝2，OB 2OD，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径r2 ，22故S 4S 2BDr8 ．2△ABC △BOD2故答案为：8 .2【点睛】本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21522【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】x135795,5这组数据的方差是S211523525527529525 S2＝8,2标准差,22故答案为：22【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.16、80【解析】A到C，再从CDDB.【详解】A到CC1种2走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有C3种走法；6DB，由①可知有C1种走法.2由分步乘法计数原理可知，共有C1C3C1

80种不同的走法.2 6 280.【点睛】本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.7017（）123ln3（）（）证明见解析.【解析】y

32x2x21

lnxx1的导函数，由此求得求当日产量为3吨时的边际成本.将所要证明不等式转化为证明2lnxx1

0hx2lnxx1，利用导数证得hx0，由x x此证得不等式成立.利的结论判断出a 2n

12n1 2n1

ln2n1S

ln11. n 4n21 42n1 2n1 2 2n1 【详解】y

32x2x21

lnx,x32x 64xlnxy'

x21

x212x3y

123ln3x3

y16，x2lnxx21x1，即证2lnxx

0，x x xhx2lnxx1x

x

x20x2hx在1,hxh0y16，即m16；x因为a

2n 12n12n1 n 4n21 4 2n1 2n1 又由（2）x1x1x

2lnx 2n12n12ln2n1 2n1 2n1 2n1a

1ln2n1n 2 2n1 S

1ln3ln5ln1211ln121ln11 60 2 3 119 2 【点睛】18（）l的普通方程yx2；C的直角坐标方程y2ax（）a1.【解析】利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程；将直线lC|PM||PN|a的方程，求解即可．【详解】

22x2 2tl的参数方程y4

消去参数t得,2t22y4x2，即yx2为l的普通方程sin22acos2sin22acosy2ax为C的直角坐标方程.222ax得t2x2ax得t2将y4

t2y22t2

2 2(a4)t328a0(2 2(a4))24(328a)0tt1

2 2(a4)0tt 328a012t0,t 01 2由已知M|,|MN|,|PN|成等比数列，|MN|2|PM||PN|即tt1

2tt1

，1

t2tt2 1

tt1

，t1

t2

5tt，12(2 2(a4))25(328aa23a40a4（舍去）或a1.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．19（1）(x3)2y

4（）20【解析】xcosysin即可得到答案；PA2PB

t2t2

2tt.1 2 1 2 12【详解】（）由

6(cossin14C的直角坐标方程为x2y26x6y14，即(x3)2y3)24.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，22得( t1)2( t3)24，222 21 即t24 2t60，设两交点A，B所对应的参数分别为t，t，1 从而tt 41 2

，tt 62122则A2PB2t2t2tt2tt

321220.1 2 1 2 12【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.20（Ⅰ） ;（Ⅱ）【解析】试题分析（1先由公式a

SS

求出数列a

n n n1 n n n（）由（）可得cn

3n12n1，再利用”求数列n

的前n项和T.n试题解析（）由题意知当n2时，a S S 6n5，n n n1n1a1

S11，所以a1

6n5．设数列bn

的公差为d，abb 11d由{1

1 2，即{

1 ，可解得

4,d3，abb2 2 3

172b1

1所以bn

1．

6n6n1 （2）由（1）知c n

n3n

3n1

2n1，又Tn

cc1

cc，得3 nnnT3222323424n2n1，T3223324425n2n2，两式作nn

42n1 差，得Tn

322223242n1

n1

2n234

21

n12n23n2n2所以 T 3n2n2．n考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n项和.求数列的前n.“错位相减法求数列的前n错位相减法错位相减法（一个等差数列与一个等比数列的积错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q.21（1）证明见解析（2）VPABCD

2 2 （3）31111【解析】因为底面ABCD为梯形，且BCED，所以四边形BCDE为平行四边形，则BE∥CD，又BE平面PCD，CD平面PCD，所以BE 平面PCD，又因为H为线段BE上的动点，PCD的面积是定值，从而三棱锥HPCD的体积是定值.PAPCDPACDBE∥CDAPBE，ABBCABBC1ADEADABCEBEAC，结合2APACABE平面APCPOBE