高中立体几何模拟试题(附答案解析)

..高中立体几何模拟题一．选择题〔共9小题1．在空间直角坐标系中,已知点P〔x,y,z,下列叙述中正确的个数是〔①点P关于x轴对称点的坐标是P1〔x,﹣y,z；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2〔x,﹣y,﹣z；③点P关于y轴对称点的坐标是P3〔x,﹣y,z；④点P关于原点对称的点的坐标是P4〔﹣x,﹣y,﹣z．A．3 B．2 C．1 D．02．空间四边形ABCD中,若向量=〔﹣3,5,2,=〔﹣7,﹣1,﹣4点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为〔A．〔2,3,3 B．〔﹣2,﹣3,﹣3 C．〔5,﹣2,1 D．〔﹣5,2,﹣13．设平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量为,若α∥β,则k=〔A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．44．已知=〔3,﹣2,﹣3,=〔﹣1,x﹣1,1,且与的夹角为钝角,则x的取值范围是〔A．〔﹣2,+∞ B．〔﹣2,∪〔,+∞ C．〔﹣∞,﹣2 D．〔,+∞5．若=〔1,λ,2,=〔2,﹣1,1,与的夹角为60°,则λ的值为〔A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．16．设平面α内两个向量的坐标分别为〔1,2,1、〔﹣1,1,2,则下列向量中是平面的法向量的是〔A．〔﹣1,﹣2,5 B．〔﹣1,1,﹣1 C．〔1,1,1 D．〔1,﹣1,﹣17．若=〔1,﹣2,2是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α法向量的是〔A．〔1,﹣2,0 B．〔0,﹣2,2 C．〔2,﹣4,4 D．〔2,4,48．如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为〔A． B． C． D．9．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为〔A． B． C． D．二．填空题〔共3小题10．设平面α的一个法向量为=〔1,2,﹣2,平面β的一个法向量为=〔﹣2,﹣4,k,若α∥β,则k=．11．在空间直角坐标系中,已知点A〔1,0,2,B〔1,﹣3,1,点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是．12．如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是．三．解答题〔共18小题13．如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,点G为AC的中点．〔Ⅰ求证：EG∥平面ABF；〔Ⅱ求三棱锥B﹣AEG的体积；〔Ⅲ试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直,请证明；若不垂直,请说明理由．14．如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点．〔1求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2求证：A1C∥平面AB1D．15．如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把是BC上的△ABD折起,使∠BDC=90°．〔Ⅰ证明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ设BD=1,求三棱锥D﹣ABC的表面积．16．三棱锥S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=,SB=．〔1证明：SC⊥BC；〔2求三棱锥的体积VS﹣ABC．17．如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点．求证：〔1PA∥平面BDE；〔2BD⊥平面PAC．18．如图,在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD〔1证明：AB⊥平面VAD；〔2求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．19．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,PA=2．〔Ⅰ证明：直线CE∥平面PAB；〔Ⅱ求三棱锥E﹣PAC的体积．20．如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点．〔Ⅰ求证：FG∥平面PBD；〔Ⅱ求证：BD⊥FG．21．如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,AB=2,P为线段AB上的动点．〔I求证：CA1⊥C1P；〔II若四面体P﹣AB1C1的体积为,求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．22．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点．〔1证明EF为BD1与CC1的公垂线；〔2求点D1到面BDE的距离．23．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点．〔Ⅰ求证：PB⊥DM；〔Ⅱ求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．24．在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC．BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G为BC的中点．〔1求证：AB∥平面DEG；〔2求证：BD⊥EG；〔3求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．25．如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中点．〔Ⅰ求证：AM∥面SCD；〔Ⅱ求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值．26．如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2,∠ABC=．〔1证明：AB⊥A1C；〔2求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．27．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点．〔1若PA=PD,求证：平面PQB⊥平面PAD；〔2点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA∥平面MQB；〔3在〔2的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M﹣BQ﹣C的大小．28．如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C．〔I求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．29．在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=．〔Ⅰ求证：BD⊥PC；〔Ⅱ求证：MN∥平面PDC；〔Ⅲ求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．30．如图,平面ABCD⊥平面PAD,△APD是直角三角形,∠APD=90°,四边形ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=2BC,且AB=BC=PD=2,O是AD的中点,E,F分别是PC,OD的中点．〔Ⅰ求证：EF∥平面PBO；〔Ⅱ求二面角A﹣PF﹣E的正切值．2017年03月25日1879804507的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题1．〔2016春•XX期末在空间直角坐标系中,已知点P〔x,y,z,下列叙述中正确的个数是〔①点P关于x轴对称点的坐标是P1〔x,﹣y,z；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2〔x,﹣y,﹣z；③点P关于y轴对称点的坐标是P3〔x,﹣y,z；④点P关于原点对称的点的坐标是P4〔﹣x,﹣y,﹣z．A．3 B．2 C．1 D．0[解答]解：P关于x轴的对称点为P1〔x,﹣y,﹣z；关于yOz平面的对称点为P2〔﹣x,y,z；关于y轴的对称点为P3〔﹣x,y,﹣z；点P关于原点对称的点的坐标是P4〔﹣x,﹣y,﹣z．故①②③错误．故选C．2．〔2015秋•XX校级期末空间四边形ABCD中,若向量=〔﹣3,5,2,=〔﹣7,﹣1,﹣4点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为〔A．〔2,3,3 B．〔﹣2,﹣3,﹣3 C．〔5,﹣2,1 D．〔﹣5,2,﹣1[解答]解：∵点E,F分别为线段BC,AD的中点,∴=,,=．∴=﹣==[〔3,﹣5,﹣2+〔﹣7,﹣1,﹣4]==〔﹣2,﹣3,﹣3．故选：B．3．〔2015•邹城市校级模拟设平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量为,若α∥β,则k=〔A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4[解答]解：平面α的一个法向量为,平面β的一个法向量为,∵α∥β,由题意可得,∴k=4．故选：D．4．〔2014秋•越城区校级期末已知=〔3,﹣2,﹣3,=〔﹣1,x﹣1,1,且与的夹角为钝角,则x的取值范围是〔A．〔﹣2,+∞ B．〔﹣2,∪〔,+∞ C．〔﹣∞,﹣2 D．〔,+∞[解答]解：∵与的夹角为钝角,∴cos＜,＞＜0．且与不共线∴•＜0．且〔3,﹣2,﹣3≠λ〔﹣1,x﹣1,1∴﹣3﹣2〔x﹣1﹣3＜0．且x≠∴x的取值范围是〔﹣2,∪〔,+∞．故选B．5．〔2014秋•从化市校级期末若=〔1,λ,2,=〔2,﹣1,1,与的夹角为60°,则λ的值为〔A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1[解答]解：∵,,,cos60°=．∴,化为λ2+16λ﹣17=0,解得λ=﹣17或1．故选B．6．〔2015春•XX校级期中设平面α内两个向量的坐标分别为〔1,2,1、〔﹣1,1,2,则下列向量中是平面的法向量的是〔A．〔﹣1,﹣2,5 B．〔﹣1,1,﹣1 C．〔1,1,1 D．〔1,﹣1,﹣1[解答]解：∵〔﹣1,1,﹣1•〔1,2,1=﹣1+2﹣1=0,〔﹣1,1,﹣1•〔﹣1,1,2=1+1﹣2=0,∴向量〔﹣1,1﹣1是此平面的法向量．故选B．7．〔2016秋•兴庆区校级期末若=〔1,﹣2,2是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α法向量的是〔A．〔1,﹣2,0 B．〔0,﹣2,2 C．〔2,﹣4,4 D．〔2,4,4[解答]解：∵〔2,﹣4,4=2〔1,﹣2,2,∴向量〔2,﹣4,4与平面α的一个法向量平行,它也是此平面的法向量．故选C．8．〔2015•株洲一模如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为〔A． B． C． D．[解答]解：以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系〔图略,则A〔2,0,0,B〔2,2,0,C〔0,2,0,C1〔0,2,1∴=〔﹣2,0,1,=〔﹣2,2,0,且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜,＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．9．〔2015•广西模拟如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为〔A． B． C． D．[解答]解：取AC的中点为F,连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1∥BB1,又因为DF是三角形ACC1的中位线,故DF=CC1=BB1=BE,故四边形BEDF是平行四边形,所以ED∥BF．过点F作FG垂直与BC交BC与点G,由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB=1,AC=2,BC=,所以∠ABC=,∠BCA=,直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半,故BF=AC=CF,所以∠FBG=∠BCA=．故选A．二．填空题〔共3小题10．〔2016秋•碑林区校级期末设平面α的一个法向量为=〔1,2,﹣2,平面β的一个法向量为=〔﹣2,﹣4,k,若α∥β,则k=4．[解答]解：∵α∥β,∴∥,∴存在实数λ使得．∴,解得k=4．故答案为：4．11．〔2009•XX在空间直角坐标系中,已知点A〔1,0,2,B〔1,﹣3,1,点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是〔0,﹣1,0．[解答]解：设M〔0,y,0由12+y2+4=1+〔y+32+1可得y=﹣1故M〔0,﹣1,0故答案为：〔0,﹣1,0．12．〔2016秋•XX期末如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是．[解答]解：如图所示,建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA1,不妨取AB=2,则E〔0,1,0,F〔0,0,1,C1〔2,0,2．∴=〔0,﹣1,1,=〔2,0,2．∴===．∴异面直线EF和BC1的夹角为．故答案为：．三．解答题〔共18小题13．〔2015•XX校级模拟如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD∥FE,∠AFE=60°,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,点G为AC的中点．〔Ⅰ求证：EG∥平面ABF；〔Ⅱ求三棱锥B﹣AEG的体积；〔Ⅲ试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直,请证明；若不垂直,请说明理由．[解答]〔I证明：取AB中点M,连FM,GM．∵G为对角线AC的中点,∴GM∥AD,且GM=AD,又∵FE∥AD,∴GM∥FE且GM=FE．∴四边形GMFE为平行四边形,即EG∥FM．又∵EG⊄平面ABF,FM⊂平面ABF,∴EG∥平面ABF．…〔4分〔Ⅱ解：作EN⊥AD,垂足为N,由平面ABCD⊥平面AFED,面ABCD∩面AFED=AD,得EN⊥平面ABCD,即EN为三棱锥E﹣ABG的高．∵在△AEF中,AF=FE,∠AFE=60°,∴△AEF是正三角形．∴∠AEF=60°,由EF∥AD知∠EAD=60°,∴EN=AE∙sin60°=．∴三棱锥B﹣AEG的体积为．…〔8分〔Ⅲ解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：∵四边形ABCD为矩形,且平面ABCD⊥平面AFED,∴CD⊥平面AFED,∴CD⊥AE．∵四边形AFED为梯形,FE∥AD,且∠AFE=60°,∴∠FAD=120°．又在△AED中,EA=2,AD=4,∠EAD=60°,由余弦定理,得ED=．∴EA2+ED2=AD2,∴ED⊥AE．又∵ED∩CD=D,∴AE⊥平面DCE,又AE⊂面BAE,∴平面BAE⊥平面DCE．…〔12分14．〔2014•XX模拟如图,已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是BC的中点．〔1求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；〔2求证：A1C∥平面AB1D．[解答]证明：〔1因为B1B⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,所以AD⊥B1B〔2分因为D为正△ABC中BC的中点,所以AD⊥BD〔2分又B1B∩BC=B,所以AD⊥平面B1BCC1〔4分又AD⊂平面AB1D,故平面AB1D⊥平面B1BCC1〔6分〔2连接A1B,交AB1于E,连DE〔7分因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点,所以E为AB1的中点〔8分又D为BC的中点,所以DE为△A1BC的中位线,所以DE∥A1C〔10分又DE⊂平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D〔12分15．〔2011•XX如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把是BC上的△ABD折起,使∠BDC=90°．〔Ⅰ证明：平面ADB⊥平面BDC；〔Ⅱ设BD=1,求三棱锥D﹣ABC的表面积．[解答]解：〔Ⅰ∵折起前AD是BC边上的高,∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DB∩DC=D,∴AD⊥平面BDC,∵AD⊂平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC〔Ⅱ由〔Ⅰ知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,∵DB=DA=DC=1,∴AB=BC=CA=,从而所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：16．〔2016•徐汇区一模三棱锥S﹣ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC且AC=2,BC=,SB=．〔1证明：SC⊥BC；〔2求三棱锥的体积VS﹣ABC．[解答]解：〔1∵SA⊥ABSA⊥ACAB∩AC=A∴SA⊥平面ABC,∴AC为SC在平面ABC内的射影,又∵BC⊥AC,由三垂线定理得：SC⊥BC〔2在△ABC中,AC⊥BC,AC=2,BC=,∴AB==,∵SA⊥AB,∴△SAB为Rt△,SB=,∴SA==2,∵SA⊥平面ABC,∴SA为棱锥的高,∴VS﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．17．〔2016秋•XX期末如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点．求证：〔1PA∥平面BDE；〔2BD⊥平面PAC．[解答]证明〔1连接OE,在△CAP中,CO=OA,CE=EP,∴PA∥EO,又∵PA⊄平面BDE,EO⊂平面BDE,∴PA∥平面BDE．〔2∵PO⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC∵AC∩PO=O,AC,PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC18．〔2014•嘉定区校级二模如图,在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD〔1证明：AB⊥平面VAD；〔2求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．[解答]证明：〔1平面VAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,平面VAD∩平面ABCD=AD,∴AB⊥面VAD〔2取VD中点E,连接AE,BE,∵△VAD是正三角形,∴∵AB⊥面VAD,AE,VD⊂平面VAD∴AB⊥VD,AB⊥AE∴AE⊥VD,AB⊥VD,AB∩AE=A,且AB,AE⊂平面ABE,DVD⊥平面ABE,∵BE⊂平面ABE,∴BE⊥VD,∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．在RT△ABE中,,cos∠AEB=19．〔2012•XX模拟如图,在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=1,PA=2．〔Ⅰ证明：直线CE∥平面PAB；〔Ⅱ求三棱锥E﹣PAC的体积．[解答]解：〔1取AD中点F,连接EF、CF∴△PAD中,EF是中位线,可得EF∥PA∵EF⊈平面PAB,PA⊆平面PAB,∴EF∥平面PAB∵Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴AC==2又∵Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴AD=4,结合F为AD中点,得△ACF是等边三角形∴∠ACF=∠BAC=60°,可得CF∥AB∵CF⊈平面PAB,AB⊆平面PAB,∴CF∥平面PAB∵EF、CF是平面CEF内的相交直线,∴平面CEF∥平面PAB∵CE⊆面CEF,∴CE∥平面PAB〔2∵PA⊥平面ABCD,CD⊆平面ABCD,∴PA⊥CD又∵AC⊥CD,PA、AC是平面PAC内的相交直线∴CD⊥平面PAC∵CD⊆平面DPC,∴平面DPC⊥平面PAC过E点作EH⊥PC于H,由面面垂直的性质定理,得EH⊥平面PAC∴EH∥CDRt△ACD中,AC=2,AD=4,∠ACD=90°,所以CD==2∵E是CD中点,EH∥CD,∴EH=CD=∵PA⊥AC,∴SRt△PAC==2因此,三棱锥E﹣PAC的体积V=S△PAC×EH=20．〔2016春•XX校级月考如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点．〔Ⅰ求证：FG∥平面PBD；〔Ⅱ求证：BD⊥FG．[解答]证明：〔Ⅰ连接PE,G、F为EC和PC的中点,∴FG∥PE,FG⊄平面PBD,PE⊂平面PBD,∴FG∥平面PBD…〔6分〔Ⅱ∵菱形ABCD,∴BD⊥AC,又PA⊥面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA,∵PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,FG⊂平面PAC,∴BD⊥FG…〔14分21．〔2009•XX二模如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,AB=2,P为线段AB上的动点．〔I求证：CA1⊥C1P；〔II若四面体P﹣AB1C1的体积为,求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．[解答]〔I证明：连接AC1,∵侧棱AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AB,又∵AB⊥AC．∴AB⊥平面A1ACC1．又∵CA1⊂平面A1ACC1,∴AB⊥CA1．〔2分∵AC=AA1=1,∴四边形A1ACC1为正方形,∴AC1⊥CA1．∵AC1∩AB=A,∴CA1⊥平面AC1B．〔4分又C1P⊂平面AC1B,∴CA1⊥C1P．〔6分〔II解：∵AC⊥AB,AA1⊥AC,且C1A1⊥平面ABB1A,BB1⊥AB,由,知=,解得PA=1,P是AB的中点．〔8分连接A1P,则PB1⊥A1P,∵C1A1⊥平面A1B1BA,∴PB1⊥C1A1,∴PB1⊥C1P,∴∠C1PA1是二面角的平面角,〔10分在直角三角形C1PA1中,,∴,即二面角的余弦值是22．〔2003•天津已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点．〔1证明EF为BD1与CC1的公垂线；〔2求点D1到面BDE的距离．[解答]解：〔1取BD中点M．连接MC,FM．∵F为BD1中点,∴FM∥D1D且FM=D1D．又ECCC1且EC⊥MC,∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．〔Ⅱ解：连接ED1,有VE﹣DBD1=VD1﹣DBE．由〔Ⅰ知EF⊥面DBD1,设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1=2,AB=1．∴,,∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．23．〔2013•XX三模如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点．〔Ⅰ求证：PB⊥DM；〔Ⅱ求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．[解答]〔本题满分13分解：〔Ⅰ解法1：∵N是PB的中点,PA=AB,∴AN⊥PB．∵PA⊥平面ABCD,所以AD⊥PA．又AD⊥AB,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,AD⊥PB．又AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN．∵DM⊂平面ADMN,∴PB⊥DM．…〔6分解法2：如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,设BC=1,可得,A〔0,0,0,P〔0,0,2,B〔2,0,0,C〔2,1,0,,D〔0,2,0．因为,所以PB⊥DM．…〔6分〔Ⅱ解法1：取AD中点Q,连接BQ和NQ,则BQ∥DC,又PB⊥平面ADMN,∴CD与平面ADMN所成的角为∠BQN．设BC=1,在Rt△BQN中,则,,故．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．…〔13分解法2：因为．所以PB⊥AD,又PB⊥DM,所以PB⊥平面ADMN,因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角．因为．所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为．…〔13分24．〔2014•XX二模在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC．BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G为BC的中点．〔1求证：AB∥平面DEG；〔2求证：BD⊥EG；〔3求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．[解答]〔1证明：∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC,∵BC=2AD,G为BC的中点,∴AD∥BG,且AD=BG,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DG因为AB不在平面DEG中,DG在平面DEG内,∴AB∥平面DEG．〔2证明：∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE,∵AE⊥EB,∴EB、EF、EA两两垂直．以点E为坐标原点,EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,由已知得：A〔0,0,2,B〔2,0,0,C〔2,4,0,D〔0,2,2,F〔0,3,0,G〔2,2,0．∵,∴∴BD⊥EG．〔3解：由已知得是平面EFDA的法向量,设平面DCF的法向量为∵,∴,令z=1,得x=﹣1,y=2,即．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ,则,∴∴二面角C﹣DF﹣E的正弦值为．25．〔2015•XX模拟如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中点．〔Ⅰ求证：AM∥面SCD；〔Ⅱ求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；〔Ⅲ设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值．[解答]解：〔Ⅰ以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A〔0,0,0,B〔0,2,0,D〔1,0,0,,S〔0,0,2,M〔0,1,1．则,,．设平面SCD的法向量是,则,即令z=1,则x=2,y=﹣1．于是．∵,∴．又∵AM⊄平面SCD,∴AM∥平面SCD．〔Ⅱ易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α,则==,即．∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．〔Ⅲ设N〔x,2x﹣2,0,则．∴===．当,即时,．26．〔2011•琼海一模如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2,∠ABC=．〔1证明：AB⊥A1C；〔2求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．[解答]解：〔1证明：在△ABC中,由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A为原点,分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图则A〔0,0,0B〔2,0,0即AB⊥A1C．〔2由〔1知设二面角A﹣A1C﹣B的平面角为α,=∴27．〔2012•日照二模如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点．〔1若PA=PD,求证：平面PQB⊥平面PAD；〔2点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的值,使PA∥平面MQB；〔3在〔2的条件下,若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,求二面角M﹣BQ﹣C的大小．[解答]〔1证明：连BD,∵四边形ABCD菱形,∠BAD=60°,∴△ABD为正三角形,∵Q为AD中点,∴AD⊥BQ∵PA=PD,Q为AD的中点,∴AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,AD⊂平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD；〔2当t=时,使得PA∥平面MQB,连AC交BQ于N,交BD于O,连接MN,则O为BD的中点,又∵BQ为△ABD边AD上中线,∴N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=a,AC=a．∴PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN∴==即：PM=PC,t=；〔3由PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,则PQ⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为A〔1,0,0,B〔0,,0,Q〔0,0,0,P〔0,0,设平面MQB的法向量为,可得,而PA∥MN,∴,∴y=0,x=∴取平面ABCD的法向量∴cos=∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．28．〔2015•玉山县校级模拟如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C．〔I求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；〔II求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．[解答]证明：〔Ⅰ由侧面AA1B1B为正方形,知AB⊥BB1．又AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,∴AB⊥平面BB1C1C,又AB⊂平面AA1B1B,∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．〔Ⅱ由题意,CB=CB1,设O是BB1的中点,连接CO,则CO⊥B