高等固体物理

第四自由电子模——不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作特鲁德—洛伦兹金属——平衡态下电子具有确定平均速——电子气体服从麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布规律，对电子进行统计计算,得到金属的直流电导、金属电子的经典电子论解释金属的特征——电导、热导、温差电、电磁输运等按照经典能量均分定理，N个电子

3NkBT/对热容量的

3NkB/C大多数金C

/

V量子力学对金属中V——索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生的平均势场中运动，电子气体—狄拉克分布——计算了电子的热容，解决了附：Sommerfeld的自一、自由电电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统电子的填充满足Pauli不相容原二、运动方程及其运动方2 2 2m

V0

V0：电子在势阱底部所具有的势能，取V0 k

2 2k22krkriA：归一化因子，由归一化条件确

d(V)krkr1expikr

kVA V

V:k：电子波kk2kk2kV周期性边界条设N是金属沿基

a（＝1，2，3）方向的原胞数krkrNkrkrNa周期性边VkrVkrVkNkNkNa

，＝1,2,h为整kk1b12kNa1b12b23b3NaNNkk b b

h为整数＝1,2, k每一个量子态在空间中所占的体积为kb b k在k空间中，波 的分布密度kkNN

v

在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关能态密Ek

k22k2kxkyz在能量为2k2kxkyzk

4k3考虑电子自旋，如将每一个自旋态看作一个能态能量为E的球体中，电子能态总数ZE

2

k

4k

2V4

2m E 3E333E33

V2m2 定义：能态

NE

dZ

V2m2 其中

3V2m233

3E能态密度：在E－E＋dE之间单位能量间隔中的能态电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大量子统计基经典统计—Boltzmann统计

f(E)

EkBTFermi－Dirac统计和Bose－Einstein统计费米子：自旋为半整数（n＋1/2）的粒子（如：电子、质子、中子等），费米子遵从Fermi－Dirac统计律，费米子的填充满足Pauli原玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等玻色子遵从Bose－Ein统计规律，玻色子不遵从Pauli原§4.1费米统计和电子——量子自由电子论(近自由电子近似)：电子近似看作不受——一般金属问题只涉及“自由电1.电子气体服从泡利不相容原理和费米———热平衡下时，能量为E

f(E)

EEFe ——费米分布函物理意义：能量为E的本征态被一个电子占据的概平均占有费米能量或化学势µ(可由统计理论推出——体积不变时，系统增加一个电电子的总数

i

(Ei简并

对所有的本征态求注意：本征态、能态、量子态费米分布函f(E)

EEFe 电子填充能 几f(EF

1/

f(E)f(E)费米分布函f(E)

EEFe f(E)f(E)3)在较低温度时，分布函数 处发生很大变费米分布函f(E)

EEFe 能量变化范f(E

EF

1

f(E

EF)任何温度下，该能——温度上升，能量变k空间的费米面的费米面内所有状态均被电子费米能量降低，一部分电子被激发到费米面外T＝0时，电子的分布函数 E2k2kF

E>E0 费米E 费米半2F2

费米kF kF kBE0物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于

金属：TF104~105对于金属而言，由于TTF总是成立的，因（T＝0）的状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。2.的确EE+dE之间状态数N(E)4V(2m)3/2N(E)4V(2m)3/2E1/hN0

f(E)N(E)dE——取决于费米统计分自由电子的能态密 自由电子的费米能

2E金属：n：1022E金属：n：1022~1023 EF0~几个

2)2/电子的平均能量——平均动E30EKin E30结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平——电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两——所有的电子不可能都填充在最 能量E以下的电子的费米能量 能量E以下的引入函能态密度因NQ(E)(0

fNQ(E)(0

f分布函NQ(E)(

f

的偶函 只 附近有显著的值，具有函数特NQ(E)(

f

在附近按泰勒级在附近按泰勒级第一第二 的偶函 NQ(EF)

2Q''(EF

)(E

)2

NQ(EF)

2Q''(EF

)

)2

f引入积分变(kT)2

NQ(EF)

Q''(EF2

1)(e 按泰勒级数 附近展开，只保留到第二NQ(ENQ(EF)6Q''(EF)(kBT将Q’’(EF)按泰勒级数展开EF

Q'EE(2 )EE(2

(kBT

2

0 lnQ'(E)]

(kBT)E6EF EF F

E0{1

[dlnQ'(E)]

(kT)2}E0B206EF E0B20因F F

[dlnN(E)]EB200EB20

(kT)2}6EF 对于近自由0

kTEF

EF[1

( )E0FE0

温度升费米能级下——温度升费米能级下E0 E03.金属中电子

U0

f(E)EN(E)dE引入函 E以下的量子态被电子填满时的应用分部积金属中电子 比应用费米能量的结

2 NQ(EF)Q'(EF

)(EF

EF)6Q''(EF)(kBT UR(EF)R'(EF)(EFEF)6R''(EF)(kBT UR(EF)R'(EF)(EFEF)6R''(EF)(kBT因T＝0K时电子总能2 UR(EF)6N(EF)(kBT

——热激发——热激发电子 每个电子获总的激发能

00 [3N(EF

)(kBT近自由电子模型下能态密度函 得的能态密

N(E0

/2E0102 102 T300FF近自由电子模型下

N (kBTE 220E 220——金属中大多数电子的能量远远低于费米能量，由于受——只有在附近约~kBT范围内电子参与热激发，对金属的——一般温度下，晶格振动的热容量比电子——在温度较高下，晶格振动的热容量是主——热容量基本低温范围

CMetal CElectron

——不能忽略电子的热研究金属热容量的 [3N(EF

)(kBT——许多金属的基本性质取决于能量在EF附近的电子，电子的热容量与成正比——从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的过渡元素——Mn、Fe、Co和Ni具有较高的电子热

~N(E0 ——d壳层