2020高中数学 第三章 函数 .4 数学建模活动 决定苹果的最佳出售时间点练习（含解析）第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19-学必求其心得，业必贵于专精3。4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点最新课程标准：1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题。2.掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识。知识点函数模型(1）一次函数模型解析式：y＝kx＋b。(2)二次函数模型①一般式：y＝ax2＋bx＋c.②顶点式:y＝a（x－h)2＋k，其中顶点坐标为(h，k）．（3）分段函数模型有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．eq\x(状元随笔）(1)在函数建模中，通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型．（2)函数模型在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．［基础自测]1．一个等腰三角形的周长是20，则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为(）A．y＝20－2x（x≤10）B．y＝20－2x（x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10）D．y＝20－2x(5<x<10）答案：D2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个,已知该商品每个涨价1元时,其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润,其售价应定为（）A．110元/个B．105元/个C．100元/个D．95元/个解析:设每个商品涨价x元，利润为y元,则销售量为（400－20x）个，根据题意，有y＝（10＋x）（400－20x)＝－20x2＋200x＋4000＝－20(x－5)2＋4500.所以当x＝5时，y取得最大值，且为4500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4500元．答案:D3．某生产厂家的生产总成本y(万元）与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x,若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为（)A．52B．52。5C．53D．52或53解析：因为利润＝收入－成本,当产量为x件时(x∈N），利润f(x）＝25x－(x2－80x），所以f（x）＝105x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（105,2）))2＋eq\f(1052,4)，所以x＝52或x＝53时，f(x）有最大值．答案：D4．某游乐场每天的盈利额y（单位:元）与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示，试分析图像,要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出________张门票．解析:由题图知，盈利额每天要超过1000元时，x∈(200,300]这一区间,设y＝kx＋b（k≠0)，将（200,500)，(300，2000）代入得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝15，,b＝－2500,））即y＝15x－2500。由15x－2500>1000,得x〉eq\f(700，3)，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1000元．答案:234题型一一次函数模型的应用[经典例题］例1(1）某厂日生产文具盒的总成本y(元）与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000。而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92％付款．某顾客需要购买茶壶4个,茶杯若干个（不少于4个），若购买茶杯x（个),付款y（元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？【解析】(1）因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．(2）由优惠办法①可得函数解析式为y1＝20×4＋5（x－4）＝5x＋60(x≥4,且x∈N)．由优惠办法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6（x≥4，且x∈N)．y1－y2＝0.4x－13。6（x≥4，且x∈N)，令y1－y2＝0,得x＝34。所以,当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x〈34时，y1<y2，即优惠办法①更省钱；当x〉34时,y1>y2,优惠办法②更省钱．【答案】（1）D(2)见解析方法归纳(1)一次函数模型的实际应用：一次函数模型应用时,本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．(2)一次函数的最值求解：一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值．跟踪训练1若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm）与燃烧时间t（h)的函数关系用图像表示为图中的（)解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项,更不可能是A、C两项．故选B项．答案：B题型二二次函数模型的应用［经典例题]例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1）求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱）之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少？【解析】（1）根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．（2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40）(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600（50≤x≤55，x∈N）．（3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60）2＋1200，所以当x〈60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125。所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．eq\x(状元随笔)本题中平均每天的销售量y(箱）与销售单价x（元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55］，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元)与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题。方法归纳二次函数的实际应用（1)在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．(2）对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．跟踪训练2有A,B两城相距100km,在A，B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km。已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．(1）把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域；（2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？解析：（1)由题意:y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝7。5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（100,3)）)2＋eq\f（50000,3)。∵x≥10，且100－x≥10,∴10≤x≤90.∴函数的定义域为［10,90]．（2）由二次函数知当x＝eq\f(100,3）时，y最小，因此当核电站建在距离A城eq\f(100,3）km时,供电费用最小．题型三分段函数模型的应用［经典例题]例3WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min），按30元计费；超过500min的部分按0。15元/min计费．假如上网时间过短（小于60min）使用量在1min以下不计费，在1min以上（包括1min）按0.5元/min计费．计费时间均取整数，不足1min的按1min计算．WAP手机上网不收通话费和漫游费．（1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式．(2）12月份小王WAP上网使用量为20h，要付多少钱？（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？【解析】由于上网时间不同，收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准，建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题．（1)设上网时间为xmin，用［x]表示不小于x的最小整数，由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0,0〈x<1，,0。5［x］,1≤x〈60,,30，60≤x≤500,，30＋0。15［x]－500，x〉500。）)(2）当x＝20×60＝1200(min)时，x>500，应付y＝30＋0.15×（1200－500)＝135（元）．（3)90元已超过30元，所以上网时间超过500min，由解析式可得上网时间为900min.方法归纳分段函数的实际应用（1)在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题．（2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个．跟踪训练3某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入）为0.5万元,但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为R（x)＝5x－eq\f（x2,2）(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）．(1)把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时,工厂所得利润最大？(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？解析：(1）设利润为L（x)，成本为C（x）．当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500台，故利润函数为L（x）＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(5x－\f(x2,2)）)－0.5＋0.25x,0≤x≤5，，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(52，2))）－0.5＋0.25x，x>5，）)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4。75x－\f(x2,2)－0。5,0≤x≤5，,12－0.25x，x〉5.)）(2)当0≤x≤5时,L（x）＝4。75x－eq\f(x2,2)－0。5,当x＝4。75时，L(x)max＝10.78125(万元);当x〉5时，L（x)<12－1.25＝10.75(万元）．∴生产475台时利润最大．（3）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0≤x≤5,,4.75x－\f(x2,2）－0。5≥0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x>5,，12－0.25x≥0，））得5≥x≥4。75－eq\r(21。5625)≈0。11或5<x≤48，∴产品年产量在11台到4800台时,工厂不亏本．eq\x（状元随笔）本题考查分段函数问题,生产不超过500台时，产量等于销售量;产量超过500台时，销售量为一个常数500台．课时作业21一、选择题1．某种生物增长的数量y（个）与时间x(小时)的关系如下表:x/个123…y/小时138…下面函数解析式中，能表达这种关系的是(）A．y＝x2－1B．y＝2x＋1C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2。5x＋2答案:D2．商店某种货物的进价下降了8％，但销售价不变,于是这种货物的销售利润率eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(销售价－进价,进价）×100％）)由原来的r％增加到（r＋10)％,则r的值等于()A．12B．15C．25D．50解析:设原销售价为a，原进价为x,可以列出方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(a－x,x)×100％＝\f(r，100)，，\f（a－x1－8%，x1－8%）×100%＝\f(10＋r,100），））解这个方程组，消去a，x，可得r＝15。答案：B3．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14％纳税；超过4000元的按全部稿酬的11。2%纳税，已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为（)A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元解析：由题意,知纳税额y(单位：元)与稿费（扣税前）x（单位：元）之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0,x≤800，，0。14x－800，800<x≤4000，,0。112x,x〉4000。）)由于此人纳税420元，所以800〈x≤4000时，令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，x〉4000时，令0。112x＝420，解得x＝3750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前）为3800元．故选C.答案:C4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y＝f（x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x),如f（2）＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2）＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图像，实线表示y＝f（x),虚线表示y＝g（x)，其中可能正确的是（）解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图像可能正确．答案：C二、填空题5．经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格(单位：元/件)均为时间t（单位：天）的函数．日销售量为f（t)＝2t＋100,价格为g(t）＝t＋4，则该种商品的日销售额S（单位：元)与时间t的函数解析式为S(t）＝________。解析：日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g（t)＝（2t＋100）×(t＋4）＝2t2＋108t＋400，t∈N.答案：2t2＋108t＋400，t∈N6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法:①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢;③5分钟以后的温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(只填序号)解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢,因为此段内曲线越来越“缓"，故②正确;5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了,故④正确．答案：②④7．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．解析:设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝（50＋x－45)（50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2（x－10)2＋450,所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．答案:60三、解答题8．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60％收费）优惠．"若全票价为240元．(1）设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?解析：（1）y甲＝120x＋240（x∈N＋)，y乙＝(x＋1)×240×60%＝144（x＋1)（x∈N＋)．（2）由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样．（3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时，甲旅行社更优惠．9．某企业实行裁员增效．已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等）1万元,据评估,在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗人员每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的eq\f（3,4）,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；(2)当140〈a≤280时，该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益？（注：在保证能取得最大经济效益的情况下,能少裁员，应尽量少裁）解析：（1）由题意可得y＝（a－x）×（1＋0。01x）－0。4x＝－eq\f（1，100）x2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a－140,100））)x＋a。∵a－x≥eq\f（3,4)a,∴x≤eq\f（1，4）a，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f（a,4）)）中的自然数．(2）∵y＝－eq\f（1,100）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（x－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a，2）－70）)）)2＋eq\f（1,100)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a,2）－70))2＋a，且140<a≤280,∴当a为偶数时,x＝eq\f（a，2)－70，y取最大值．当a为奇数时，x＝eq\f(a－1,2)－70，y取最大值．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(∵尽可能少裁员，∴舍去x＝\f(a＋