2020高中数学 第三章 概率 1 几何概型练习（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12-学必求其心得，业必贵于专精第23课时几何概型知识点一与长度有关的几何概型的问题1．已知函数f（x)＝x2－x－2,x∈[－5，5]，那么满足f（x0）≤0，x0∈[－5，5]的x0取值的概率为（）A．eq\f（3,10）B．eq\f（3,5)C．eq\f（1，5）D．eq\f（1，10)答案A解析由f（x0)≤0，即xeq\o\al（2，0）－x0－2≤0，解得－1≤x0≤2．∴所求概率为P＝eq\f(2－－1，5－－5)＝eq\f(3，10)．2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f（S，4）的概率是（）A．eq\f（1，4)B．eq\f（1,2)C．eq\f（3,4）D．eq\f（2,3)答案C解析如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq\f(S，4)”等价于事件“|BP｜∶|AB｜＞eq\f（1,4)",即P△PBC的面积大于eq\f（S,4）＝eq\f（|PA｜，｜BA|）＝eq\f(3，4)．知识点二与角度有关的几何概型问题3．如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边,在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是()A．eq\f(1，6)B．eq\f（1，3)C．eq\f(1,4）D．eq\f(1，60)答案A解析任意角的终边OA落在坐标系中任何一个位置是等可能的，而60°角是一周角的eq\f（1,6），∴所求概率P＝eq\f（1，6)．4．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．答案eq\f（1,3)解析作射线OD和OE，使得∠AOD和∠BOE都等于30°．要使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，则射线OC位于射线OD和OE之间,故所求概率P＝eq\f（90°－30°－30°，90°)＝eq\f（1,3)．知识点三与面积有关的几何概型问题5．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．eq\f(1,4）B．eq\f（π,8)C．eq\f(1，2）D．eq\f(π，4）答案B解析设正方形边长为a，则圆的半径为eq\f(a，2)，则正方形的面积为a2，圆的面积为eq\f（πa2,4)．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是eq\f(\f（1,2）·\f(πa2,4)，a2)＝eq\f(π,8),选B．知识点四与体积有关的几何概型问题6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M．（1)求点M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率P1;(2)求点M落在三棱锥B－A1B1C1内的概率P2;（3）求点M到面ABCD的距离大于eq\f（a，3）的概率P3；(4）求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于eq\f(a,3）的概率P4．解V正方体＝a3．(1）∵V三棱柱ABC－A1B1C1＝eq\f（1，2)a2·a＝eq\f(1，2)a3，∴所求概率P1＝eq\f（\f（1，2）a3,a3)＝eq\f(1,2)．(2)∵V三棱锥B－A1B1C1＝eq\f(1，3）·S△A1B1C1·BB1＝eq\f(1，3)·eq\f(1,2）a2·a＝eq\f(1，6)a3,∴所求概率P2＝eq\f(1，6)．（3）所求概率P3＝eq\f（a－\f（a，3）,a)＝eq\f(2，3）．（4）所求概率P4＝eq\f（a－\f(a,3）－\f（a,3)，a）＝eq\f(1,3）．易错点几何概型中测度选取不对致错7．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AM<eq\f（\r(3），3)AC的概率为（)A．eq\f（\r（3）,3）B．eq\f(3,4）C．eq\f(\r(3）,2）D．eq\f(1，4）易错分析易错的原因在于选择的观察角度有问题，题目中条件是过C作射线CM，错在AB上取点，将问题转化为长度之比，事实上,在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度．正解D由题意，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，则AC＝eq\r（3)AD,即AD＝eq\f（\r(3),3）AC，AB＝eq\r（3）AC＝3AD,所以要使过顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M，则AM<eq\f（\r（3），3)AC，只要AM<AD即可,由DA＝DC，得∠ACD＝∠CAD＝eq\f(180°－120°,2)＝30°，所以AM〈eq\f（\r（3），3）AC的概率为eq\f（30°，120°）＝eq\f(1,4)．故选D．一、选择题1．已知直线y＝x＋b，b∈［－2,3］，则直线在y轴上的截距大于1的概率为(）A．eq\f（3，8)B．eq\f（1，3)C．eq\f(2，3)D．eq\f（2，5）答案D解析直线在y轴上的截距大于1，则b∈(1，3］，故P＝eq\f（3－1，3－－2）＝eq\f(2,5）．2．如右图所示，将一个长与宽不等的长方形沿对角线分成四个区域，并涂上四种颜色，中间装个指针,使其可以自由转动，则下列对指针停留在各区域的可能性的说法正确的是（)A．一样大B．蓝白区域大C．红黄区域大D．由指针转动圈数决定答案B解析哪个区域的张角大，则指针停留在哪个区域的可能性大,显然，蓝、白区域的角度大．故选B．3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（)A．eq\f（\r(2）,2）B．eq\f(\r(2)π,2)C．eq\f（1,6)D．eq\f(π，6)答案D解析事件“点P到点A的距离小于或等于a"构成的区域是以A为球心，a为半径的球的eq\f（1，8），故P＝eq\f(\f（1,8）×\f(4,3)πa3，a3)＝eq\f（π,6)．4．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a,b，则使得函数f（x）＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为（）A．eq\f(7，8）B．eq\f(3，4）C．eq\f（1,2）D．eq\f（1，4）答案B解析方程有实根,则Δ＝4a2－4（－b2＋π)＝4a2＋4b2－4π≥0,即a2＋b2≥π，如右图．所求概率P＝eq\f(2π·2π－π·\r（π）2，2π·2π）＝eq\f(3,4）．5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A．eq\f(1，8)B．eq\f(1，16）C．eq\f(1,27）D．eq\f（3,8）答案C解析由题意知蜜蜂“安全飞行”的范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝eq\f（1,27）．故选C．二、填空题6．在区间eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2），\f（π,2))）上随机取一个数x，则cosx的值介于0到eq\f(1，2)之间的概率为________．答案eq\f（1，3)解析∵当x∈－eq\f（π，2)，－eq\f（π,3)∪eq\f（π，3），eq\f(π,2)时，cosx∈0，eq\f(1，2）,∴P＝2×eq\f（\f(π，6），π）＝eq\f(1,3)．7．已知函数f（x)＝ax2－bx＋1，若a是从区间［0，2]上任取的一个数，b是从区间[0,2］上任取的一个数,则此函数在［1，＋∞)上递增的概率为________．答案eq\f（3，4）解析若f（x）在［1，＋∞)上为增函数，则有a〉0且eq\f（b,2a）≤1，如图：所求概率P＝eq\f（2×2－\f（1,2）×2×1,2×2)＝eq\f(3,4)．8．在平面直角坐标系xOy中，设不等式组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－1≤x≤1，，0≤y≤2））所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M(x,y),则｜OM|≤2的概率是________．答案eq\f(2π＋3\r(3）,12）解析如图所示，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－1≤x≤1，,0≤y≤2））所表示的平面区域W是图中正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是2×2＝4．从区域W中随机取点M（x，y),使｜OM｜≤2，则点M落在图中阴影部分．在Rt△AOM中，MA＝eq\r（3），∠AOM＝eq\f（π，3)，所以阴影部分的面积是2eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)×1×\r(3）＋\f（1,2）×\f(π,6)×22))＝eq\r(3)＋eq\f(2π，3）,故所求的概率是eq\f(\r(3）＋\f（2π,3），4)＝eq\f（2π＋3\r(3）,12)．三、解答题9．（1）在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过eq\r(3）的概率是多少？(2）在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长度超过eq\r(3）的概率是多少？（3）在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长度超过eq\r(3）的概率是多少？解（1）设事件A＝｛弦长超过eq\r（3)｝,弦长只与它跟圆心的距离有关,当且仅当它与圆心的距离小于eq\f（1，2）时才能满足条件．由几何概型概率公式知P(A)＝eq\f(1,2）．(2)设事件B＝{弦长超过eq\r（3）｝，弦被其中点唯一确定，当且仅当弦中点在半径为eq\f(1，2）的同心圆内时才能满足条件．由几何概型概率公式知P（B)＝eq\f（π×\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）2,π×12）＝eq\f（1，4）．(3）设事件C＝{弦长超过eq\r（3）｝，如图，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作圆的内接正三角形ABC，易知正三角形ABC的边长为eq\r(3），显然只有当弦的另一端点D落在eq\x\to（BC）上时，才有|AD|＞｜AB｜＝eq\r(3),由几何概型概率公式知P（C）＝eq\f(1,3）．10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜时间内随机到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．解设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y,则所有的基本事件构成的区域Ω＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（\b\lc\{\rc\（\a\vs4\