新 经济地理学 第二章课件

第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布随机试验的结果随机变量数量化微积分等数学工具随机试验的结果随机变量数量化微积分等数学工具随机变量与分布函数2.1随机变量与分布函数2.1

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。wk={一天中进入商店k个顾客}kk=(1,2,…)X例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。wk={一天中进入kX例2.从一批含有次品的产品中任意抽查一个，观察产品情况。

01X例2.从一批含有次品的产品中任意抽查一0X随机变量的定义对于随机试验E，Ω是其样本空间。如果对每一个样本点w,都对应着一个实数X(w)，则称Ω上的实值函数X(w)为随机变量，简记为X。Ω

wRX(w)X随机变量的定义对于随机试验E，Ω是其样本空间。如果对每一

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示而表示随机变量所取的值随机变量通常用大写字母随机变量的分类通常分为两类：

如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.随机变量的分类通常分为两类：如“取到次分布函数设

X

是一个随机变量，称为X

的分布函数.F(x)

也可记为FX(x).x.分布函数设X是一个随机变量，称为X的分布函数.

问：在上式中，X,x

皆为变量.二者有什么区别？F(x)

是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.问：在上式中，X,x皆为变量.二者已知X的分布函数为

F(x)，下列各事件概率用F(x)

如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(X<x)P(X=x)P(X>x)P(x1<X≤x2)P(x1<X<x2)P(x1≤X≤x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)已知X的分布函数为F(x)，下列各事件概率用F(x)如何分布函数的性质F(x+0)=F(x)1.单调不减2.非负有界3.右连续分布函数的性质F(x+0)=F(x)1.单调不减2.非负有新经济地理学第二章课件例4.

设随机变量X的分布函数为求常数a,b及概率P(|X|<2).解：根据分布函数的性质有：例4.设随机变量X的分布函数为求常数a,b及概率P(|X离散型随机变量及其分布2.2离散型随机变量及其分布2.2Xx1 x2 … xk …Pkp1 p2 … pk …离散型随机变量的概率分布定义:设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值,pk是X取值xk的概率,称为离散型随机变量X的概率分布或分布律。分布列Xx1 x2 … xk …Pkp1 p2 … pk pk(k=1,2,…)满足:概率分布的性质pk(k=1,2,…)满足:概率分布的性质

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1且这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3解:依据概率函数的性质:P(X=k)≥0,

a≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率函数为：k=0,1,2,…,试确定常数a.解:依据概率函数的性质:P(X=k)≥0,a≥0从中新经济地理学第二章课件新经济地理学第二章课件例5.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例5.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投例6.

某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数.解:显然，X可能取的值是1,2,…，

P(X=1)=P(A1)=p,为计算

P(X=k)，

k=1,2,…，Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是例6.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发可见这就是求所需射击发数X的概率函数.

P(X=1)=P(A1)=p,Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A

若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分例7.XPk(1)求常数a;(2)P(X<1),P(-2<X≤0),P(X≥2).例7.XPk(1)求常数a;(2)P(X<1),P(-离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例9，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解:当x<0时，{Xx}=当1x<2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例9，求F(x).F(x)=P(X

x)解:当1x<2时，当x故注意右连续下面我们从图形上来看一下.故注意右连续下面我们从图形上来看一下.概率函数图分布函数图画分布函数图概率函数图分布函数图画分布函

不难看出，F(x)

的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2.在随机变量的每一个可能取值点

x=xk(k=1,2,…),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk离散型随机变量的分布函数特点1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2.在随机变量的每一新经济地理学第二章课件例11.袋中装有5件产品,其中有2件次品,其余为正品,现任取2件,那么取到的次品数X的分布列及分布函数.例11.袋中装有5件产品,其中有2件次几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为

P(X=1)=p，P(X=0)=1-p(0<p<1)则称X服从参数为p的0-1分布.几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布若随机变量X只可能几种常见的离散型随机变量的分布二项分布若随机变量X的概率分布为称X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p).几种常见的离散型随机变量的分布二项分布若随机变量X的概率分例12。

某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104例12。某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，例13.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率不小于0.9?解：X:长度为n的随机数字序列中0的个数X~B(n,0.1)例13.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率例14.某车间有5台车床,由于种种原因(由于装、卸工作等),时常需要停车.设各台车床的停车或开车是相互独立的.

若车床在任一时刻处于停车状态的概率是1/3,求车间中恰有一台车床处于停车状态的概率。解：X:处于停车状态的车床数X~B(5,1/3)例14.某车间有5台车床,由于种种原因(由解：X:处于停车

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过

x

的最大整数)n=10,p=0.7nPk对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn0对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)新经济地理学第二章课件设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，击中次数最大可能是多少？设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，击中次数最大几种常见的离散型随机变量的分布泊松分布若随机变量X的概率分布为其中常数λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~P(λ).几种常见的离散型随机变量的分布泊松分布若随机变量X的概率分新经济地理学第二章课件设随机变量Xn~B(n,pn)，其中pn是与n有关的数，又设λ=npn

是常数，则有泊松定理设随机变量Xn~B(n,pn)，其中pn是与n有关的数，又设定理的条件λ=npn意味着当

n很大时，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，当n很大，p

很小时有以下近似式：定理的条件λ=npn意味着当n很大时，pn必定很小.例15为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：例15为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99的最小的N.300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面给出正式求解过程：解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得即N8我们求满足的最小的N.即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得即N8例.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。参加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿费。计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10000元”的概率。解：X:一年内死亡的人数X~B(2000,0.002)亏本——5000X>48000——X>9盈利不少于10000元——48000-5000X≥10000——X≤7例.若一年中某类保险者里面每个人死亡的解：X:一年内死亡的用泊松定理近似计算！=0.0081=0.9489用泊松定理近似计算！=0.0081=0.9489例17.设生三胞胎的概率为0.0001，求在

10000次生育中恰有2次三胞胎的概率。解：X:生三胞胎的次数X~B(10000,0.0001)例17.设生三胞胎的概率为0.0001，求在解：X:生三

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数例18.有一汽车站有大量汽车通过,设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故数X不小于2的概率.例18.有一汽车站有大量汽车通过,设每几何分布在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件A发生的概率为P(A)=p，只要事件A不发生,试验就不断地重复下去，直到事件A发生，试验才停止。设随机变量X为直到事件A发生为止所需的试验次数，X的概率分布为则称X服从参数为p的几何分布，记作X~G(p).几何分布在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件A发生的概例19.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是

0.4，求：

(1)所需射击发数X

的概率分布.(2)至少需要n次才能射中目标的概率。

X~G(0.4)例19.某射手连续向一目标射击，直到命X~G(0.4)超几何分布设N个元素分为两类,有M个属于第一类,N-M个属于第二类.现在从中不重复抽取n个,其中包含的第一类元素的个数X的分布律为其中n≤N,M<N,l=min{n,M},n,N,M均为正整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布，记作X~H(N,M,n).超几何分布设N个元素分为两类,有M个属于第一类,N-M个属于例20.某班有学生20名，其中有5名女生，今从班上任选4名学生去参观展览，求被选到的女同学人数X的分布律。X~H(20,5,4)例20.某班有学生20名，其中有5名女生，X~H(20,连续型随机变量及其分布2.3连续型随机变量及其分布2.3概率密度设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对任意的实数x,都有则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或分布密度。概率密度设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负概率密度的性质

f(x)xoo

f(x)xab概率密度的性质f(x)xoof(x)xa连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因由此得，对连续型r.vX,有由此得，对连续型r.vX,有概率分布的性质概率分布的性质

由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件概率分布的性质密度函数f(x)在某点处x0的高度，并不反映X取值的概率.在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.概率分布的性质密度函数f(x)在某点处x0的高度，并不例1.若X的概率密度为例1.若X的概率密度为例2.

设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(x),并计算P(1<X<3.5).例2.设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(例3.

设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(x),并计算P(0.5<X<2).解：例3.设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(例4.向半径为R的圆形靶射击，假设不会

发生脱靶，且击中任意同心圆盘的概

率与该靶的面积成正比，设随机变量

X表示击中点与靶心的距离.(1)求X的分布函数与分布密度;(2)把靶的半径10等分，若击中点落在以靶心为中心，内外半径分别为iR/10及(i+1)R/10的圆环内时记为10-i环。求一次射击得到10-i环的概率。例4.向半径为R的圆形靶射击，假设不会(1)求X的分布函数几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,记作X~U[a,b].几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布若随机变量X的概率密新经济地理学第二章课件例5.设随机变量X~U[1,6],求二次方程有实根的概率。解：有实根→Δ=X2-4≥0例5.设随机变量X~U[1,6],求二次方程有实根的概率。解新经济地理学第二章课件几种常见的连续型随机变量的分布指数分布若随机变量X的概率密度为其中,λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,记作X~E[λ].几种常见的连续型随机变量的分布指数分布若随机变量X的概率密λλ例7.某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量，其概率密度为一台电子仪器内装有5个这种类型的元件，任一元件坏仪器即停止工作，求仪器能正常使用1000小时以上的概率。例7.某电子元件的使用寿命X是一个连续一台电子仪器内装有5个例8.某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量，其概率密度为(1)确定常数C;(2)寿命超过100小时的概率；(3)已知该元件已正常使用200小时，求它至少还能正常使用100小时的概率。例8.某电子元件的使用寿命X是一个连续(1)确定常数C;若随机变量X对任意的s>0,t>0有则称X的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性泊松分布具有无记忆性指数分布和泊松分布有着特殊的联系若随机变量X对任意的s>0,t>0有则称X的分布具有无记忆性例9.某机场在任何长为t的时间内飞机来到的数目X服从参数为λt的泊松分布，求跑道的“等待时间”即相继两架飞机到来的时间间隔Y的概率分布。

例9.某机场在任何长为t的时间内飞机来到几种常见的连续型随机变量的分布正态分布若随机变量X的概率密度为其中μ和σ都是常数,σ>0，则称X服从参数为μ和σ2的正态分布.记作X~N(μ,σ2)几种常见的连续型随机变量的分布正态分布若随机变量X的概率密关于x=μ对称在x=μ±σ处有拐点以x轴为渐近线关于x=μ对称在x=μ±σ处有拐点以x轴为渐近线μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度.μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度.X~N(μ,σ2)X~N(μ,σ2)

我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海99年下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数

除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下μ=0,σ=1时的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准正态分布μ=0,σ=1时的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.正态分布的概率计算1.若X～N(0,1)正态分布的概率计算1.若X～N(0,1)2.若X~N(μ,σ2)正态分布的概率计算2.若X~N(μ,σ2)正态分布的概率计算例10.设X～N(0,1),求:例10.设X～N(0,1),求:例11.设X～N(2,4),求:例11.设X～N(2,4),求:例12.设X～N(μ,σ2),求:——3σ原则例12.设X～N(μ,σ2),求:——3σ原则新经济地理学第二章课件例14.设测量某一目标的距离时发生的误差

X(米)的概率密度为求三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。例14.设测量某一目标的距离时发生的误差求三次测量中至少有判断正误设X～N(3,4),求判断正误设X～N(3,4),求分位点设X～N(0,1),对于给定的0<α<1,存在uα满足即则称uα为X关于α的上侧分位点.分位点设X～N(0,1),对于给定的0<α<1,存在uα满足例15.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,36),问车门高度应如何确定?例15.公共汽车车门的高度是按男子与车分位点设X～N(0,1),对于给定的0<α<1,存在uα/2满足则称±uα/2为X关于α的双侧分位点.分位点设X～N(0,1),对于给定的0<α<1,存在uα/2伽玛分布伽玛分布随机变量函数的分布2.4随机变量函数的分布2.4一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=

的分布.例如，已知圆轴截面直径d

的分布，一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函一、问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.已知t=t0

时刻噪声电压V的分布，求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布等.一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函

设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面进行讨论.

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(随机变量X的分布随机变量Y的分布???Y=g(X)随机变量X的分布随机变量Y的分布???Y=g(X)二、离散型随机变量函数的分布解：当X

取值1，2，5时，

Y取对应值5，7，13，例1设X求Y=2X+3的概率函数.～而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故二、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为X～则

Y=g(X)～如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当一般，若X是离散如：X～则Y=X2

的概率函数为：Y～如：X～则Y=X2的概率函数为：Y～离散型随机变量函数的分布例2.已知X的分布列为a.求Y=3X-1的分布列；X-2

-1

0

1

2 3Pk0.1 0.15 0.3 0.2 0.1 0.15b.求Z=X2的分布列.离散型随机变量函数的分布例2.已知X的分布列为a.求Y=如果yk=g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若X是离散型r.v，X的分布列为Yy1 y2 … yn …Pkp1 p2 … pn …Xx1 x2 … xn …Pkp1 p2 … pn …若yk=g(xk)的值互不相等,Y=g(X)的分布列为如果yk=g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.三、连续型随机变量函数的分布例3设X~

的概率密度.三、连续型随机变量函数的分布例3设X~的概率密度.三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，例4设X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函数三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)故注意到0<x<4时，

即8<y<16时，

此时Y=2X+8故注意到0<x<4时，即8<y从分布函数定义出发，通过等概率事件的转化，建立随机变量X与它的函数Y的分布函数之间的关系，进而求解随机变量函数分布问题。这种方法称为分布函数法。从分布函数定义出发，通过等概率事件的转化，建立随机变量X与它例5设

X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.求导可得当y>0时,

注意到Y=X20，故当y0时，解：设Y和X的分布函数分别为和

，例5设X具有概率密度,求Y=X2的概率若则Y=X2

的概率密度为：若则Y=X2的概率密度为：

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2

≤

y}

这样做是为了利用已知的

X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过设随机变量X的概率密度为fX(x),又设y=g(x)严格单调且可导,则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为定理其中,(α,β)是y=g(x)的值域.公式法设随机变量X的概率密度为fX(x),又设y=g(x)严格单调例6.设X～N(μ,σ2),求:例6.设X～N(μ,σ2),求:例7

设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.当y0时,当y1时,

当时故解：注意到,例7设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.当

=P(0Xarcsiny)+P(-arcsiny

X

）

解：当0<y<1时,

例8

设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度.=P(0Xarcsiny)+P(-a当0<y<1时,解：

=P(0Xarcsiny)+P(-arcsiny

X

）

而当0<y<1时,解：=P(0求导得:求导得:例9

已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数F-1

存在且严格递增.证明:设Y的分布函数是G(y),于是对y>1,G(y)=1;对y<0,G(y)=0;由于例9已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,对0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分布函数是对0≤y≤1,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)求导得Y的密度函数可见,Y服从[0，1]上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.求导得Y的密度函数可见,Y服从[0，1]上的均匀分布.本例10

设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在区间(0,1)上,函数lnx<0,故

y=-2lnx>0,

于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数由前述定理得注意取绝对值例10设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2l已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入

的表达式中得即Y服从参数为1/2的指数分布.已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入新经济地理学第二章课件第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布随机试验的结果随机变量数量化微积分等数学工具随机试验的结果随机变量数量化微积分等数学工具随机变量与分布函数2.1随机变量与分布函数2.1

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如，掷一颗骰子面上出现的点数；

七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。wk={一天中进入商店k个顾客}kk=(1,2,…)X例1.观察一天中进入某商店的顾客人数。wk={一天中进入kX例2.从一批含有次品的产品中任意抽查一个，观察产品情况。

01X例2.从一批含有次品的产品中任意抽查一0X随机变量的定义对于随机试验E，Ω是其样本空间。如果对每一个样本点w,都对应着一个实数X(w)，则称Ω上的实值函数X(w)为随机变量，简记为X。Ω

wRX(w)X随机变量的定义对于随机试验E，Ω是其样本空间。如果对每一

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示而表示随机变量所取的值随机变量通常用大写字母随机变量的分类通常分为两类：

如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.随机变量的分类通常分为两类：如“取到次分布函数设

X

是一个随机变量，称为X

的分布函数.F(x)

也可记为FX(x).x.分布函数设X是一个随机变量，称为X的分布函数.

问：在上式中，X,x

皆为变量.二者有什么区别？F(x)

是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.问：在上式中，X,x皆为变量.二者已知X的分布函数为

F(x)，下列各事件概率用F(x)

如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(X<x)P(X=x)P(X>x)P(x1<X≤x2)P(x1<X<x2)P(x1≤X≤x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)已知X的分布函数为F(x)，下列各事件概率用F(x)如何分布函数的性质F(x+0)=F(x)1.单调不减2.非负有界3.右连续分布函数的性质F(x+0)=F(x)1.单调不减2.非负有新经济地理学第二章课件例4.

设随机变量X的分布函数为求常数a,b及概率P(|X|<2).解：根据分布函数的性质有：例4.设随机变量X的分布函数为求常数a,b及概率P(|X离散型随机变量及其分布2.2离散型随机变量及其分布2.2Xx1 x2 … xk …Pkp1 p2 … pk …离散型随机变量的概率分布定义:设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值,pk是X取值xk的概率,称为离散型随机变量X的概率分布或分布律。分布列Xx1 x2 … xk …Pkp1 p2 … pk pk(k=1,2,…)满足:概率分布的性质pk(k=1,2,…)满足:概率分布的性质

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例1且这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3解:依据概率函数的性质:P(X=k)≥0,

a≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有这里用到了常见的幂级数展开式例2.设随机变量X的概率函数为：k=0,1,2,…,试确定常数a.解:依据概率函数的性质:P(X=k)≥0,a≥0从中新经济地理学第二章课件新经济地理学第二章课件例5.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值

P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01

P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18

P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例5.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投例6.

某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X的概率函数.解:显然，X可能取的值是1,2,…，

P(X=1)=P(A1)=p,为计算

P(X=k)，

k=1,2,…，Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是例6.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发可见这就是求所需射击发数X的概率函数.

P(X=1)=P(A1)=p,Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是可见这就是求所需射击发数X的概率函数.P(X=1)=P(A

若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.不难验证:若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分例7.XPk(1)求常数a;(2)P(X<1),P(-2<X≤0),P(X≥2).例7.XPk(1)求常数a;(2)P(X<1),P(-离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例9，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解:当x<0时，{Xx}=当1x<2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例9，求F(x).F(x)=P(X

x)解:当1x<2时，当x故注意右连续下面我们从图形上来看一下.故注意右连续下面我们从图形上来看一下.概率函数图分布函数图画分布函数图概率函数图分布函数图画分布函

不难看出，F(x)

的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2.在随机变量的每一个可能取值点

x=xk(k=1,2,…),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk离散型随机变量的分布函数特点1.它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2.在随机变量的每一新经济地理学第二章课件例11.袋中装有5件产品,其中有2件次品,其余为正品,现任取2件,那么取到的次品数X的分布列及分布函数.例11.袋中装有5件产品,其中有2件次几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布若随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为

P(X=1)=p，P(X=0)=1-p(0<p<1)则称X服从参数为p的0-1分布.几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布若随机变量X只可能几种常见的离散型随机变量的分布二项分布若随机变量X的概率分布为称X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p).几种常见的离散型随机变量的分布二项分布若随机变量X的概率分例12。

某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8)，把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验,“成功”的概率为0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104例12。某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，例13.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率不小于0.9?解：X:长度为n的随机数字序列中0的个数X~B(n,0.1)例13.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率例14.某车间有5台车床,由于种种原因(由于装、卸工作等),时常需要停车.设各台车床的停车或开车是相互独立的.

若车床在任一时刻处于停车状态的概率是1/3,求车间中恰有一台车床处于停车状态的概率。解：X:处于停车状态的车床数X~B(5,1/3)例14.某车间有5台车床,由于种种原因(由解：X:处于停车

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值；([x]表示不超过

x

的最大整数)n=10,p=0.7nPk对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn0对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)新经济地理学第二章课件设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，击中次数最大可能是多少？设射手每一次击中目标的概率为p，现连续射击n次，击中次数最大几种常见的离散型随机变量的分布泊松分布若随机变量X的概率分布为其中常数λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~P(λ).几种常见的离散型随机变量的分布泊松分布若随机变量X的概率分新经济地理学第二章课件设随机变量Xn~B(n,pn)，其中pn是与n有关的数，又设λ=npn

是常数，则有泊松定理设随机变量Xn~B(n,pn)，其中pn是与n有关的数，又设定理的条件λ=npn意味着当

n很大时，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，当n很大，p

很小时有以下近似式：定理的条件λ=npn意味着当n很大时，pn必定很小.例15为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.设共有300台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理.问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：例15为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?

设X为300台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可见，300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.

问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99的最小的N.300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配备N个维修人员，所求的是满足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面给出正式求解过程：解：设X为300台设备同时发生故障的台数，X~B(n,p)，即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得即N8我们求满足的最小的N.即至少需配备8个维修人员.查书末的泊松分布表得即N8例.若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。参加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿费。计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10000元”的概率。解：X:一年内死亡的人数X~B(2000,0.002)亏本——5000X>48000——X>9盈利不少于10000元——48000-5000X≥10000——X≤7例.若一年中某类保险者里面每个人死亡的解：X:一年内死亡的用泊松定理近似计算！=0.0081=0.9489用泊松定理近似计算！=0.0081=0.9489例17.设生三胞胎的概率为0.0001，求在

10000次生育中恰有2次三胞胎的概率。解：X:生三胞胎的次数X~B(10000,0.0001)例17.设生三胞胎的概率为0.0001，求在解：X:生三

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数例18.有一汽车站有大量汽车通过,设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故数X不小于2的概率.例18.有一汽车站有大量汽车通过,设每几何分布在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件A发生的概率为P(A)=p，只要事件A不发生,试验就不断地重复下去，直到事件A发生，试验才停止。设随机变量X为直到事件A发生为止所需的试验次数，X的概率分布为则称X服从参数为p的几何分布，记作X~G(p).几何分布在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件A发生的概例19.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是

0.4，求：

(1)所需射击发数X

的概率分布.(2)至少需要n次才能射中目标的概率。

X~G(0.4)例19.某射手连续向一目标射击，直到命X~G(0.4)超几何分布设N个元素分为两类,有M个属于第一类,N-M个属于第二类.现在从中不重复抽取n个,其中包含的第一类元素的个数X的分布律为其中n≤N,M<N,l=min{n,M},n,N,M均为正整数,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布，记作X~H(N,M,n).超几何分布设N个元素分为两类,有M个属于第一类,N-M个属于例20.某班有学生20名，其中有5名女生，今从班上任选4名学生去参观展览，求被选到的女同学人数X的分布律。X~H(20,5,4)例20.某班有学生20名，其中有5名女生，X~H(20,连续型随机变量及其分布2.3连续型随机变量及其分布2.3概率密度设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对任意的实数x,都有则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称为概率密度或分布密度。概率密度设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负概率密度的性质

f(x)xoo

f(x)xab概率密度的性质f(x)xoof(x)xa连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因由此得，对连续型r.vX,有由此得，对连续型r.vX,有概率分布的性质概率分布的性质

由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件概率分布的性质密度函数f(x)在某点处x0的高度，并不反映X取值的概率.在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.概率分布的性质密度函数f(x)在某点处x0的高度，并不例1.若X的概率密度为例1.若X的概率密度为例2.

设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(x),并计算P(1<X<3.5).例2.设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(例3.

设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(x),并计算P(0.5<X<2).解：例3.设连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F(例4.向半径为R的圆形靶射击，假设不会

发生脱靶，且击中任意同心圆盘的概

率与该靶的面积成正比，设随机变量

X表示击中点与靶心的距离.(1)求X的分布函数与分布密度;(2)把靶的半径10等分，若击中点落在以靶心为中心，内外半径分别为iR/10及(i+1)R/10的圆环内时记为10-i环。求一次射击得到10-i环的概率。例4.向半径为R的圆形靶射击，假设不会(1)求X的分布函数几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布若随机变量X的概率密度为则称X服从区间[a,b]上的均匀分布,记作X~U[a,b].几种常见的连续型随机变量的分布均匀分布若随机变量X的概率密新经济地理学第二章课件例5.设随机变量X~U[1,6],求二次方程有实根的概率。解：有实根→Δ=X2-4≥0例5.设随机变量X~U[1,6],求二次方程有实根的概率。解新经济地理学第二章课件几种常见的连续型随机变量的分布指数分布若随机变量X的概率密度为其中,λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布,记作X~E[λ].几种常见的连续型随机变量的分布指数分布若随机变量X的概率密λλ例7.某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量，其概率密度为一台电子仪器内装有5个这种类型的元件，任一元件坏仪器即停止工作，求仪器能正常使用1000小时以上的概率。例7.某电子元件的使用寿命X是一个连续一台电子仪器内装有5个例8.某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量，其概率密度为(1)确定常数C;(2)寿命超过100小时的概率；(3)已知该元件已正常使用200小时，求它至少还能正常使用100小时的概率。例8.某电子元件的使用寿命X是一个连续(1)确定常数C;若随机变量X对任意的s>0,t>0有则称X的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性泊松分布具有无记忆性指数分布和泊松分布有着特殊的联系若随机变量X对任意的s>0,t>0有则称X的分布具有无记忆性例9.某机场在任何长为t的时间内飞机来到的数目X服从参数为λt的泊松分布，求跑道的“等待时间”即相继两架飞机到来的时间间隔Y的概率分布。

例9.某机场在任何长为t的时间内飞机来到几种常见的连续型随机变量的分布正态分布若随机变量X的概率密度为其中μ和σ都是常数,σ>0，则称X服从参数为μ和σ2的正态分布.记作X~N(μ,σ2)几种常见的连续型随机变量的分布正态分布若随机变量X的概率密关于x=μ对称在x=μ±σ处有拐点以x轴为渐近线关于x=μ对称在x=μ±σ处有拐点以x轴为渐近线μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度.μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度.X~N(μ,σ2)X~N(μ,σ2)

我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海99年下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数

除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下μ=0,σ=1时的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：标准正态分布μ=0,σ=1时的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.正态分布的概率计算1.若X～N(0,1)正态分布的概率计算1.若X～N(0,1)2.若X~N(