2013科学设计艺术课堂

科学的设计艺术的课堂新中国教育出版事业从这里开始……人民教育出版社中学数学室李海东教学是科学也是艺术教学有法，教无定法，贵在得法“科学性”要求遵循规律“艺术性”注重发挥个性特长——加强数学教学的科学性当前数学教学中存在的问题理解数学、做好内容解析重视教学目标的制订做好教学问题诊断，准确把握教学难点加强学习方法引导，提升教学思想性提好的问题，设计自然的教学过程一、当前数学教学中存在的问题新世纪我国基础教育课程改革2001义教数学课程标准实验稿颁布

2005全部使用义教数学课程标准修订

2005开始2007征求意见稿

2011年颁布2012使用新教材借鉴、改革、创新、实践、调整如何形成“继承—创新—发展”的良性循环？教师是课程教材教学改革成败的关键教学层面的问题数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能技巧轻通性通法的概括，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；重逻辑而轻思想，强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。例：如何计算众数

教师层面的问题对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。同位角、内错角、同旁内角（一）知识与技能目标：1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2．能在基本的图形中识别同位角、内错角、同旁内角；（二）过程与方法目标：1．经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；2．从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；3．体会分类分步、化归等数学思维方法；（三）情感与发展目标：1．从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣；2．从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；3．培养学生独立思考、合作学习等能力。好的方面：已经注意了反映内容特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。需要改进的：贴标签；不具体；对教学的定向作用不充分；表述混乱；……特别是：混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。二、理解教学内容、做好内容解析

理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。理解教学内容，弄清“是什么”；理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；理解教学内容所反映的思想方法。例：概率教学中的一些错误理解必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等

价，随机事件的概率大于0而小于1。随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率。用频率估计概率，一定要大量重复试验。例：如何判断一个分数是有理数还是无理数？例：公式法解一元二次方程技能？思想方法？公式法——通法配方法→公式法只与系数有关——根与系数的关系推理的思想特殊到一般例:“函数”概念的核心函数概念的发展历史函数概念的产生——变量说17世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系。牛顿用“流量”表示变量间的依赖关系；莱布尼兹1673年给出了函数概念，用“函数”表示任一个随着曲线上的点变动的量。变量间的依赖关系函数概念的发展——对应说18世纪，函数被认为是由变量x和常量构成的式子。约翰•贝努利：“一个变量的函数是指由这个变量和常数的任一方式（代数式和超越式）所构成的量。”欧拉把这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。欧拉：“一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析表达式”。能用解析式表达的变量间的依赖关系19世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数可以用式子表示，也可以用曲线表示。狄义克莱：“若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管对应方式如何，都称y是x的函数。”黎曼进一步把其中的y值描述为“唯一确定的值”。跳出式子的限制，对应关系，单值对应函数概念的完善——关系说当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。20世纪后，布尔巴基学派给出了完善的函数概念──从集合之间的对应关系来表述。现代函数概念——“集合之间的映射”方式定义：“若存在集合M到N的一个映射f，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)，其中x是M的任一元素，y是x在N中的像。”初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点来刻画函数的概念．分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了是“单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域．初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这包括两个方面的含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。

函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。提高研究教材的水平教教材还是用教材教？仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。

例：负数的引入例：“数轴”中的三个图

——三次抽象的过程问题1在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌往东3ｍ和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌往西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．“三要素”为定向，用直线、点、方向、距离等几何符号表示实际问题．这是实际问题的第一次数学抽象．问题2上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义．我们知道，正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢？继续以“三要素”为定向，将点用数表示，实现第二次抽象，为定义数轴概念提供直观基础．问题3

大家都见过温度计吧？你能描述一下温度计的结构吗？比较上面的问题，你认为它用了什么数学知识？借用生活中的常用工具，说明正数、负数的作用．引导学生用“三要素”表达，为定义数轴概念提供有一个直观基础．问题4

你能说说上述两个实例的共同点吗？进一步明确“三要素”的意义，体会“用点表示数”和“用数表示点”的思想方法，为定义数轴概念提供进一步的直观基础．

例：等腰三角形三、重视教学目标的制订目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。目标：用“了解”“理解”“掌握”以及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。课程目标：

——宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果；包含多方面的、更为具体的目标。

——课程专家制定，用“总体目标+学段目标”的方式呈现。单元目标：

——中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。

——课程专家制定，“内容标准”中所列的都是单元目标。课堂教学目标：

——微观目标，专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用。对“三维目标”的理解“三维目标”是课程目标的设计思路，是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；课堂教学不是为了体现课程目标的“三个维度”而存在，而是要具体而扎实地把课程内容传递给学生，促进学生健康发展。正确理解内容基础上制定目标“三线八角”的内容理解“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角——图形的结构。对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系；核心：根据图形结构特征进行分类——正确识别的前提。“三线八角”的教学目标能以“结构特征”为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，并识别出同位角、内错角、同旁内角。在“三线八角”概念的引入过程中，体验研究几何图形的基本思路，如：两条直线→三条直线，共顶点的角→不共顶点的角，等。目标解析对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般地，核心概念的教学目标都应进行适当分解。要强调把能力、态度等“隐性目标”融合到知识、技能等“显性目标”中，以避免空洞阐述“隐性目标”，使目标对教学具有有效的定向作用。例如何定位教学目标目标：了解（理解）正数与负数的概念①了解：通过实际例子，感受引入负数的必要性，会用正、负数表示一对具有相反意义的量；进而初步获得正数、负数的抽象概念。②理解：能用正负数表示实际问题中的数量，并随着绝对值、相反数等概念的学习，逐渐熟练地进行正、负数的运算。例：“变量与函数”的教学目标目标：了解常量、变量、函数的概念目标解析：结合具体实例，体会常量与变量的特征，能指出具体问题中的常量、变量．结合具体实例，理解具有函数关系的问题中两个变量之间的单值对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，能举出函数的实例。结合函数概念的形成过程,体会变化与对应的数学思想，感知现实世界中变量之间的相互联系并不断运动变化；体会从具体的生活实例中抽象概括出数学知识的方法，四、做好教学问题诊断、析出教学难点教师应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。可以从认知分析入手，即分析学生已经具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标还需要具备哪些条件，通过已有基础和目标之间的差异比较，分析教学中可能出现的障碍。本栏目的内容应当做到言之有物，以具体数学内容为载体进行说明。例：理解有理数的意义，重点是理解负有理数的意义。那么，难点在哪里？难点是用正数、负数表示具有相反意义的量时，描述向指定方向变化的情况，即：向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示．这与学生的日常经验有一定的矛盾，把“体重减少1kg”转换为“体重增长－1kg”，需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解。例“三线八角”中的难点学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，除在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。突破难点的关键：F形？Z形？U形？截线是公共边例：“函数”中的难点分析函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，初次接触函数概念时会感到十分困难。函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型，涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中的层次主要有：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还不很成熟，这个矛盾是函数概念学习中认知障碍的根源。教学难点：函数概念形成中的抽象与概括，对“单值对应”的理解。五、加强学习方法引导，提高教学的思想性在教学中，要特别注意挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本套路”。这有利于学生形成对数学的有一定深度的整体认识，从而体现数学教学的育人价值。代数的核心——运算和运算律各种代数问题中，我们总是运用各种代数运算（如加法、乘法等）来分析量与量的代数关联。运算过程中，运算律的普遍性让我们可以有效地分析所给问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。解决问题的过程中，则要用代数工具去表示现实事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题“代数化”后再加以解决。对于“数与代数”的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，教科书构建了一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程，体现了研究代数的基本方法——归纳法。在内容展开过程中，充分注意“有理数”的基础地位和作用，在相关章节（有理数、实数、整式加减、整式乘除、分式、二次根式）的编写中，加强思想方法的引导，重视“数式通性”，将式的相关内容与数的概念、运算法则和运算律的类比。同时在小结中，阐述“从数到式”的研究内容和方法。

数式通性——整式

数式通性——分式数式通性——二次根式

例：类比的研究问题——函数的研究正比例函数→一次函数→二次函数→反比例函数概念——体现概念教学的一般过程研究内容：函数的图象、函数的性质——增减性研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。函数性质的讨论——三步曲

观察图象，描述变化规律（上升、下降）结合图、表，用自然语言描述变化规律用数学语言描述变化规律

回到解析式概念教学的基本环节概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；纳入概念系统——建立与相关概念的联系。例：反比例函数概念的教学匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；……让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义——给出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；例题——用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确“求反比例函数”的含义；通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。例：如何进行反比例函数的图象与性质的研究通常的做法：回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。先行组织者策略：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？要研究那些问题？研究的方法是什么？例：平方差公式——公式教学的一般过程一般到特殊的思想方法探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）；（2）；（3）．上面的几个运算都是形如（a＋b）的多项式与形如（a－b）的多项式相乘，由于因此，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．

平方差公式是多项式乘法（a＋b）（m＋n）中m＝a，n＝－b的特殊情形．

对于“图形与几何”的内容，教科书则力求体现研究几何问题的基本思路、内容和一般方法。主要研究图形的性质和判定什么是性质——组成要素（边、角）之间的关系（位置关系和数量关系）什么是判定——组成要素需要具备的条件实验到论证几何直观推理一般到特殊性质和判定的互逆关系例：如何研究平行四边形——章引言的教学研究内容——先行组织者的应用一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊——平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；角的特殊——矩形，边的特殊——菱形，边角都特殊——正方形，都要研究性质和判定。研究的方法——研究几何的一般方法一般到特殊性质和判定推理的思想化归为三角形、平行线等已有知识。平行四边形（第一课时）的具体学习思路章引言的教学生活中的四边形，几何研究由简单到复杂——引入研究四边形类比三角形的研究——四边形的研究思路——平行四边形平行四边形性质的研究性质是研究组成要素的关系——对边角关系的研究边角关系如何研究？——猜想、实验、论证如何证明——角的关系直接可得，边的关系转化为三角形全等组成要素与三角形的不同——对角线的研究对角线如何研究？——猜想、证明如何证明——三角形全等定理的巩固应用——例题练习总结什么——定理本身，定理能干什么，这节课研究思路统计是建立在数据的基础上的，本质上是对数据进行推断，统计的核心就是数据分析，而不是单纯的数字计算或绘图。研究内容数和形－－数据研究方法演绎法——归纳法研究结论

对与错——好与坏典型案例，经历过程，统计思想六.提好的问题，设计自然的教学过程问题引导学习提好的问题，有意义、适度、恰时恰点设计自然的过程体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。核心是引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。

关键点关节点联结点发散点最近发展区

度君子之教，喻也：道而弗牵；强而弗抑；开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和、易、以思，可谓善喻矣。优秀教师的教学，善于诱导。他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出。道而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快、易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案。使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了。

如何提问题

例：不等式的性质的引入不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。（先行组织者）你能回忆一下等式的基本性质吗？等式的基本性质的实质是什么？（运算中的不变性）类似的，不等式有哪些基本性质呢？尝试、验证、归纳。例不恰当的问题设计不反映当前学习内容的本质（例：函数概念的引入）过分强调联系实际引入概念（例：平方差公式）没有思维深度、低水平重复的问题（例：多边形内角和）无效的问题（例：课堂中的“是”“否”回答，要问为什么）

课堂提问时要注意什么？思维需要合适的问题情境；独立思考需要安静的环境和充分的时间；让学生完成关键的概括活动；要面向全体学生；暴露学生的思维过程；（答对了怎么办？答错了怎么办？）例：变量与函数的教学过程设计一、创设情景，引出课题例1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s，行使时间为t.1．填表，再试用t的式子表示s.2．事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？3．变量与常量的定义。5．写出下列问题（实际背景）的表达式，并指出其中的变量与常量．（1）电影票的票房收入与售出票的张数；（2）圆的面积s与圆半径r；（3）周长固定的矩形面积与一边长。4．请你举出一些生活中变量与常量的例子。【设计意图】学习常量和变量，为研究函数的概念做好铺垫.t/时12345678…S/千米…二、探索研究，形成概念问题：上述几个例子中的变量之间有什么关系？你能从两个变量联系的角度，试着描述这种关系吗？（对于x每一个值，y有不同的值和它对应）【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析，让学生从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第一次抽象认识——能写出表达式的变量间依赖关系．例2：人口统计表问题问题：1.表格中有变量吗？是什么？

2.问题中的两个变量之间有上面我们描述的关系吗？

3.对于不同的年份，人口数怎样变化？

4.你能写出年份与人口数之间的表达式吗？年份19841989199419992010人口数10.3411.0