高中总复习理科数学配人教A版-课后习题Word-考点规范练考点规范练24　解三角形

考点规范练24解三角形基础巩固1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=()A.12 B.1 C.3 答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选2.在△ABC中,已知acosA=bcosB,则△ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案:D解析:∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面积S=3,则b等于()A.13 B.4 C.3 D答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=12,∴B=又S=12ac·sinB=12×1×c×32又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12∴b=134.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30° B.45°C.60° D.75°答案:B解析:依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5 B.7 C.6 D.5答案:D解析:∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.设△ABC的三内角A,B,C成等差数列,sinA,sinB,sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案:D解析:∵△ABC的三内角A,B,C成等差数列,∴B=π∵sinA,sinB,sinC成等比数列,∴sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac.在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosπ3∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c.∴△ABC为等边三角形.7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为.答案:63解析:∵b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=6即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).∴a=2c=43∴S△ABC=12acsinB=12×43×28.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.

答案:-1解析:由题意得BD=2AB=6,BC=AC2+∵D,E,F重合于一点P,∴AE=AD=3,BF=BD=6,∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos∠CAE=12+(3)2-2×1×3cos30°=1,∴CE=CF=1.∴在△BCF中,由余弦定理,得cos∠FCB=BC2+9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75°,观察C点的俯角为30°;在B位置时,观察D点的俯角为45°,观察C点的俯角为60°,且AB=3km,则C,D之间的距离为.

答案:5km解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,由正弦定理可得ABsin即3sin60∴AD=3sin45由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB=3km,∴AC=3km,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADsin∠DAC=5,即CD=5km.10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3nmile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10nmile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?参考数据:解:设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.能力提升11.(2021全国Ⅱ,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473答案:B解析:过点C作CD⊥BB'于点D,过点B作BE⊥AA'于点E(图略),由题意,CD=C'B'=100tan15°,AE=BE=B'A',AA'-CC'=AE+100=B'A'+100,在△A'B'C'中,由正弦定理得B'C'sin∠B'A'C'=B'A'sin∠B'C'12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosA.43 B.23 C.2 D.答案:A解析:∵在△ABC中,2a∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=12,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=12acsinB=34ac≤43,故选13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果△ABC的面积等于8,a=5,tanB=-43,那么a+b+答案:5解析:在△ABC中,∵tanB=-43∴sinB=45,cosB=-又S△ABC=12acsinB=2c=8,∴c=∴b=a∴14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=b(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.解:(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsin因为sinA≠0,所以sinA+C2=sin由A+B+C=180°,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2因为cosB2≠0,所以sinB2=1(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a由正弦定理得a=c由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12<a<2,从而38<S△ABC因此,△ABC面积的取值范围是3高考预测15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为