初中数学竞赛辅导讲义第17讲-解直角三角形(含习题解答)

第十七讲解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(最罕有一条是边)求得其他元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下双方面的应用：1．为线段、角的计算供给新的门路．解直角三角形的基础是三角函数的见解，

三角函数使直角三角形的边与角得以转变，

打破纯粹几何关系的限制．2．解实诘问题．丈量、航行、工程技术等生活生产的实诘问题，很多问题可转变为解直角三角形获解，解决问题的重点是在理解相关名词的意义的基础上，正确把实诘问题抽象为几何图形，从而转变为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆

AB

直立于地面上，它的影子恰巧照在土坡的坡面

CD

和地面

BC

上，假如CD

与地面成

45°，∠

A＝60°，CD＝4m，BC＝(46

22)m，则电线杆

AB

的长为

．思路点拨

延伸

AD

交

BC

于E，作

DF⊥BC

于F，为解直角三角形创办条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=42，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )A．60°B．67．5°C．75°D．没法确立思路点拨经过对内切割或向外补形，结构直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的门路常不唯一，选择如何的门路最有效、最合理呢？请记着：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常经过作垂线结构直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，常常先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最后可解．【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC是方程3(x21)5(x1)2的一个较大的根?求CD的长．x2x思路点拨解方程求出tan∠ADC的值，解Rt△ABC求出AC值，为解Rt△ADC创办条件．【例4】如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0．5米，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精准到1米)思路点拨作协助线将问题转变为解直角三角形，如何作协助线结构基本图形，张开空间想象，就能获得不一样样的解题寻路【例5】如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至正午12时太阳光芒与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)假如两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)假如甲楼的影子恰巧不落在乙楼上，那么两楼的距离应该是多少米?思路点拨(1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A的影子落在地面上某一点C，求BC即可．注：在解决一个数学识题后，不可以只知足求出问题的答案，同时还应付解题过程进行多方面分析和观察，思虑一下有没有多种解题门路，每种门路各有什么长处与缺点，哪一条门路更合理、更简捷，从中又能给我们带来如何的启示等．若能养成这类优秀的思虑问题的习惯，则可逐渐培育和提升我们分析研究能力．学历训练1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=1，BC=10，则AB的长为．32．如图，在矩形ABCD中．E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠AEH=4，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为．33．如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前北进10m，达到D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为．4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分抵达B处，从A、B两处罚别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为()A．20海里B．20海里C．153海里D．2035．已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若对于x的方程(bc)x22axcb0有两个相等的实根，且sinB·cosA—cosB·sinA＝0，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD的面积是( )A．42B．43C．4D．67．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CD=1，已知AD、BD的长是对于x的方程x2pxq0的两根，且tanA—tanB=2，求p、q的值．8．如图，某电信部门计划修筑一条连接B、C两地的电缆，丈量人员在山脚角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高多少米?(精准到0.1米)

A点测得B、C两地的仰200米，则电缆BC最少长9．如图，在等腰

Rt△ABC

中，∠

C=90°，∠

CBD＝30，则

AD

=

．DC10．如图，正方形

ABCD

中，N

是

DC

的中点．

M是

AD

上异于

D的点，且∠

NMB=

∠MBC，则

tan∠ABM＝

．11．在△ABC中，AB=62，BC=2，△ABC的面积为l，若∠B是锐角，则∠C的度数是．12．已知等腰三角形的三边长为a、b、c，且ac，若对于x的一元二次方程x22bxc0的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是()A．15°B．30°C．45°D．60°13．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=1AC，CE=1BC，则∠1和∠2的大小关系是()33A．∠1>∠2B．∠1<∠2C．∠1＝∠2D．没法确立14．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延伸线上，EF交AB于点G．(1)求证：DF×FC＝BG×EC；(2)当tan∠DAF=1时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=2时，△AEF的面积是多少?3315．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾祸，它以台风中心为圆心在四周数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的损坏力．据气象观察，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，此中心最狂风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方神往C处挪动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超出四级，则称为受台风影响．(1)该城市能否会遇到此次台风的影响?请说明原因．(2)若会遇到台风影响，那么台风影响该城市的连续时间有多长?(3)该城市遇到台风影响的最狂风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物四周没有广阔平坦地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的丈量工拥有皮尺、测角器．(1)请你依据现有条件，充分利用矩形建筑物，

设计一个丈量塔顶端到地面高度